辽宁省葫芦岛市2025届高三下学期一模数学试题 含解析

这是一份辽宁省葫芦岛市2025届高三下学期一模数学试题 含解析，共22页。
注意事项：
1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，姓名并
核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规
定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效.
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式可求得 ，再由交集运算可得结果.
【详解】易知 ，又 ，
可得 .
故选：A
2. 若复数 ，则 的共轭复数的模为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算求出 ，再写出 的共轭复数，然后由模的定义计算模.
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【详解】因为 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
3. 将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图像的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象平移满足“左加右减”即可求解.
【详解】函数 的图像向左平移 个单位得到的函数图象的解析式为
.
故选：A.
4. 已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到该抛物线准线的距离之和的
最小值为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线定义将点 到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第
三边且三点共线时能取得最值，即得结果.
【详解】依题意，抛物线 中， ，点 到准线的距离 ，
故点 到点 的距离 与 到该抛物线准线的距离之和为：
，
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当且仅当 A,P,F 三点共线时等号成立.
所以 的最小值为 .
故选：C.
5. 已知圆心角为 的扇形面积为 ，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆锥侧面展开图以及扇形面积公式求出圆锥母线长和底面圆半径，即可得出结果.
【详解】根据题意设围成的圆锥为 ，如下图：
设扇形的半径为 ，则 ，解得 ；
可知圆锥母线为 4
又扇形弧长为 ,
设圆锥底面半径为 ，则 ，因此 ；
所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于 .
故选：D
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6. 平面向量 ， ，则 在 上的投影为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意由向量数量积的坐标表示以及投影向量定义计算可得结果.
【详解】根据题意可知 ，
在 上的投影为 .
故选：A
7. 5G 通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由 6 个数字组成，则该信号编码
中恰好有 3 个“1”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型以及分步乘法计数原理计算可得概率.
【详解】根据题意可知某信号的 6 位数字均有“0”和“1”两种选择，
因此可以编码出 种信号；
若信号编码中恰好有 3 个“1”，则其余三个数字是 0，共有 种信号，
因此该信号编码中恰好有 3 个“1”的概率为 .
故选：B
8. 已知函数 的定义域为 ，且当 时， ，则下列结论一
定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 、 ，利用题目所给的函数性质 ，结合
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不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 时， ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
故 C 正确，A 错误，且无证据表明 BD 正确.
故选：C.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分．）
9. 已知圆 的圆心 到直线 与距离为 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. 14 D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离可以列出关于 方程，再解方程即可得到 的取值.
【详解】因为圆的方程为 ，所以圆心 为 ，
又因为点 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 或 .
故选： .
10. 已知函数 ，则（ ）
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A. 为奇函数 B. 在 单调递增
C. 有且仅有 1 个零点 D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据解析式以及函数奇偶性定义可判断 A 正确，对函数求导并由对勾函数性质以及三角函数值域
可判断 B 正确，结合函数单调性可知 C 正确，由指数函数性质可得 D 错误.
【详解】对于 A，易知 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
可知 ，即 为奇函数，可得 A 正确；
对于 B，当 时，
可得 恒成立，
因此 在 单调递增，即 B 正确；
对于 C，由 B 可知 在 上单调递增，且 ，
因此 有且仅有 1 个零点，即 C 正确；
对于 D，当 时，可得 趋近于 ，因此 D 错误.
故选：ABC
11. 已知数列 ， 不为常数列且各项均不相同，设 ， ，下列正确的是（ ）
A. 若 为等差数列且 为等比数列，则方程 最多有三个解
B. 若 ， 均为等差数列，则方程 最多一个解
C. 单调递增， 单调递减，则方程 最多有一个解
D. 若 ， 均为等比数列，则方程 最多有三个解
【答案】BC
【解析】
【分析】首先，选项 A 中线性函数与指数函数最多相交两次而非三次，选项 B 中两等差数列对应的一次函
数至多一个交点，选项 C 因单调性相反只能相交一次，选项 D 中两等比数列的指数方程因单调性至多一解.
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【详解】对于 A，因为等差数列的通项公式是线性的，可表示为 （其中 为公差），
而等比数列的通项公式是指数型的，可表示为 （其中 为公比且 ），
方程 即 ，
当 时，指数函数增速逐渐加快，而线性函数增速恒定，两者可能先相交一次，
随后指数函数迅速超过线性函数，之后不再相交，或者指数函数初始值高于线性函数，
随后被线性函数超过一次，再被指数函数反超，此时最多相交两次；
当 时，指数函数递减，而线性函数递增，两者可能相交一次或不相交，
进一步分析是否存在三个解的可能：假设存在三个自然数 满足 ，
则指数函数需在三个点上与直线重合，但指数函数的凹凸性（始终向上凸或向下凸）
与直线单调性的差异决定了它们的交点数量不可能超过两次，
若强行假设存在三个交点，则指数函数需在某一区间内先超过直线，再被直线超过，
最后再次超过直线，这与其单调递增或递减的特性矛盾.
因此，无论 还是 ，方程 在自然数范围内最多有两个解，而非三个，故 A 错误；
对于 B，因为当 和 均为等差数列时，它们的通项公式分别为
和 （其中 ，且数列不为常数列），
方程 可化简为 ，
若两数列公差不同 ，方程 等价于关于 的一元一次方程，
解为 ，由于方程至多有一个实数解，且题目中 为自然数，
因此方程要么存在唯一的自然数解，要么无解（例如解为负数或非整数），
若两数列公差相同 ，方程化简为 ，
由于题目规定两数列不为常数列且各项均不同，
若 ，则方程无解，若 ，则两数列完全相同（即 对所有 成立），
但题目明确要求数列“不为常数列且各项均不相同“，因此这种情况被排除.
综上，无论公差是否相等，方程 在自然数范围内最多存在一个解，故 B 正确；
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对于 C，因为 单调递增， 单调递减，所以 随 增大严格上升， 随 增大严格下降，
若存在某个 使得 ，则对于更大的 会继续增大而 继续减小，两者不再可能相等，
对于更小的 更小而 更大，同样无法再次相等，因此，方程最多有一个解，故 C 正确；
对于 D，因为当 和 均为等比数列时，
它们的通项公式分别为 和 （其中 ，且数列不为常数列），
方程 等价于 ，整理并取对数可得： ，
若公比不同 ，此时 ，方程可解为 ，
这是一个关于 的一元一次方程，因此最多存在一个实数解；
若公比相同 ，方程退化为 ，
若 ，由于题目要求数列“不为常数列且各项均不相同“不合题意，
若 ，方程无解，但题目明确排除了这种情况，故此时方程无解，即最多一个解，
假设存在三个不同的自然数 满足方程，
则 ，
若 ，则 ，此时 为严格单调函数 时递增， 时递减），而严格单调函数与常数
最多相交一次，
综上，无论公比是否相等，方程 在自然数范围内最多存在一个解，故 D 错误.
故选：BC.
第 II 卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 二项式 的展开式中的常数项为________．
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【答案】60
【解析】
【分析】利用 展开式的通项公式 ，可求常数项.
【详解】 展开式的通项为 ．
令 ，得 ，则 的常数项为 ．
故答案为： ．
13. 若双曲线 的一条渐近线的斜率大于 ，则双曲线离心率的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线方程以及斜率范围，利用离心率表达式可得结果.
【详解】易知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，
依题意可得 ，所以
所以双曲线离心率 ，又 ，
可知双曲线离心率的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则 的
取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得 的关系，结合锐角三角形条件可求 的
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范围，然后结合二倍角及和差公式对 进行化简，构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单
调性，进而可求.
【详解】因为 ，
由正弦定理可得 ,
即 ，
所以 ，而三角形为锐角三角形，
所以 或 (舍去)，
所以 ，
由题意得 ，
所以 ， ，
令 ， ，
则 ，
易得，当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
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故当 时，函数取得最大值 ，
又 ， ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题；共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024 年末 DeepSeekR1 一经发布，引发
全球轰动，其科技水准直接对标美国的 OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，
造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对 DeepSeek 和 OpenAI 两家公司的客户使用的技术成本进行调
研，随机抽取 200 个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计
如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营．
高昂 较高 低廉 总计
DeepSeek 36 14 50 100
OpenAI 46 24 30 100
（1）请填写如下列联表，并判断能否有 99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异；
高成本运营 低成本运营
DeepSeek
OpenAI
（2）对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知 DeepSeek 发布前 penAI 高成
本运营占比为 ，设 为 DeepSeek 发布后这两家公司抽取的 个客户使用时的高成本运营占比，若
，则可以认为 DeepSeek 的技术水平高于 penAI，根据抽取的 200 个客户信息，
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是否能够认为 DeepSeek 的技术水平高于 penAI．
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，有 99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异
（2）能够认为 DeepSeek 的技术水平高于 penAI
【解析】
【分析】（1）根据题意完成列联表，根据公式求出 ，再对照临界值表即可得出结论；
（2）利用频率估计概率求得 ，根据已知条件求得 ，故可知
，从而得出结论.
【小问 1 详解】
根据题意可得列联表：
高成本运营 低成本运营
DeepSeek 50 50
OpenAI 70 30
可得
因为 ，
所以有 99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异．
【小问 2 详解】
由题意可知：DeepSeek 发布后这两家公司的高成本运营占比 ，
用频率估计概率可得 ，
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又因为升级改造前该工厂产品 优级品率 ，
则 ，
可知 ，
所以，能够认为 DeepSeek 的技术水平高于 penAI．
16. 设数列 是公差大于 1 的等差数列， ， 满足 ，记 ， 分别为数列
， 的前 项和，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若存在 ，使得 ，求实数 取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出 和 ，即可求出 的通项公式；
（2）先求出 ，可得 为等差数列，利用等差数列求和公式求出 ，根据题意可得 ，即
可求出 的取值范围.
【小问 1 详解】
， ，解得 ， ；
由 ，可知 ， ；
， ，
又 ，
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，
即 ，解得 或 （舍去），
．
【小问 2 详解】
由（1）知：
可知， ，解得，
所以 为等差数列，故 ，
存在 ，有 即
又
所以
故 ，整理 解得 ．
所以 的取值范围是 .
17. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数 求导，分别讨论，当 以及当 时，导函数 的正负情况，从而得
到函数的单调区间；
（2）由（1）得 ，当 时， ，则要使不等式 成立， 即
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需使不等式 成立，令 ，利用导数分析函数 单调性，从
而得到 恒成立，故若要使 ，则 ，从而求得 的值.
【小问 1 详解】
因为 ，定义域为 ，
求得 ，
所以，当 时， 成立，此时 在 上单调递减；
当 时，
， ， 在 上单调递减；
， ， 在 上单调递增．
综上：当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．
【小问 2 详解】
由（1）得，当 时，
，
要使不等式 成立，即需使不等式 成立，即不等式
成立，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
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所以当 时， 恒成立，
若 ，则 ,
所以 .
18. 已知 ， ，直线 ， 交于点 ，且直线 ， 的斜率之积为 ，点 的
轨迹记为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）设直线 与曲线 相切，是否存在 使得相应的 为整数?若存在，求 的
值；若不存在，说明理由；
（3）设直线 与曲线 交于点 ， 两点，点 为弦 的中点，满足 ，且直线
， 与 轴围成底边在 轴上的等腰三角形，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）设点 ， ，利用 ，求出曲线 的方
程；
（2）联立直线 与曲线 的方程得 ，由直线与曲线相切可得
，即 ，分别讨论 ， ， 时， 的
取值情况，从而得解；
（3）设 ， ， ， ，联立直线 与曲线 的
方 程 得 ， 由 是 弦 的 中 点 ， 可 知 ， 即
，故列式可得 或 ，分类讨论 的取值情况，从而求得直线 的方程．
【小问 1 详解】
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设点 ，则
于是 ，
整理得： .
【小问 2 详解】
由 ，消去 得 ，
由 ，化简得 ，
当 时， 不符合题意；
当 时， 不符合题意；
当 时， ．符合题意；
所以在该集合中存在 ，使得 为整数，且
【小问 3 详解】
设 ， ， ，
由 ，消去 得
，
由 是弦 的中点， 可知 ，
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，
整理得： ，
因式分解： ，
所以 或 ．
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，即必过点 ，不符合题意；
当 时，直线 的方程为 ，过定点 ．
因为 为等腰三角形，且 为底边，可求得 ，
所以当 时， ，即直线 l 的方程为 ，
当 时， ，即直线 l 的方程为 ．
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去 x 或 y 建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
19. 已知函数 图像如图 1 所示， ， 分别为图像的最高点
和最低点，过 ， 作 轴的垂线，分别交 轴于 ， ，点 为该部分图像与 轴的交点，且
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， 与 轴的交点为 ．将绘有该图像的纸片沿 轴折成如图 2 所示的二面角
．折叠后，当二面角 的值为 时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）在图 2 中， 的图像上存在点 ，使得 平面 ，请确定点 的个数，并简要说明理由；
（3）如图 3，在折叠过程中，若二面角 的范围是 ，求二面角 的余弦值的
取值范围．
【答案】（1）
（2）可确定存在两个点 满足条件，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意： ， ，利用绘有图像的纸片折叠前，存在关系
，以及折叠后存在关系 ，列方程组求得： 与 的
值，从而求得 ，再由 与 轴的交点为 ，求得 ，从而求得解析式；
（2）①在平面 内，过点 作 图象的切线，斜率为 ， 连线的斜率 ， 连线的
斜率 ，过点 作 交 轴于 ，则直线 斜率为-2，由 可得直
线 一定交 的图像于 ，②在平面 上，过 作 平行于 的交 于 ，连接 ．可
证得平面 平面 ，从而证得 平面 ，故可确定存在两个点 满足条件.
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（3）以过 且平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设二面角
， ，通过空间向量法求得二面角 的余弦值为
，令 ， ，则 ，即可得解.
【小问 1 详解】
由题意： ， ，
当绘有图像的纸片折叠前，有 ，
于是 ①
又当二面角 的值为 时，可得
，代入上式： ②
联立①②，解得： ， ．
所以 ，
又 与 轴的交点为 ，可得 ，解得 (舍)或 ，
所以 .
【小问 2 详解】
①在平面 内，过点 作 图象的切线，斜率为 ，
又点 ， ，
故 连线的斜率 ， 连线的斜率 ，
于是，过点 作 交 轴于 ，则直线 斜率为-2，
因为 ，故直线 一定交 的图像于 ，
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②在平面 上，过 作 平行于 的交 于 ，连接 ．
由 ， ，且 ，可得平面 平面 ，
又 平面 ，
从而 平面 ，
综上，可确定存在两个点 满足条件，即 ， 平面 ．
【小问 3 详解】
根据题意，依图 3，以过 且平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设二
面角 ， ，
于 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量
于是
令 ，得
设平面 的法向量
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于是
令 ，得
结合法向量方向可判断，二面角 的余弦值为
令
化简得：
令 ， ，
于 ．
易知，该函数为定区间上的单调递增函数，所以， ，
二面角 的余弦值的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：对于折叠问题，要注意折叠前后不变的量以及其内在联系.
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