2024-2025学年江苏省南京市燕子矶中学高二下学期3月学分认定数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市燕子矶中学高二下学期3月学分认定数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,−4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC=( )
A. (−2,0,0)B. (−2,3,0)C. (−2,0,−4)D. (1,0,−4)
2.若函数f(x)=x(x−c)2在x=1处有极大值，则常数c为( )
A. 1B. 3C. 1或3D. −1或−3
3.已知空间向量a=2,−1,2,b=1,2,1，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 49,−29,49B. 2,−1,2C. 43,−23,43D. 1,−2,1
4.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A. 120B. 60C. 30D. 20
5.已知函数f(x)=(x−2025)x−2026，则fx的图象在x=2025处的切线方程为( )
A. 2x+y−4050=0B. x+y−2025=0
C. 2x−y−4050=0D. x−y−2025=0
6.已知数列an的前n项和Sn=n2，则数列1anan+1的前2025项和( )
A. 20224045B. 40464047C. 40444045D. 20254051
7.如图，将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，共有不同的染色方法有( )
A. 30种B. 36种C. 27种D. 18种
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点，设P为线段AB的中点，若OP=PF2= 24F1F2，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 4 23C. 2 33D. 2 53
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是( )
A. 任意站成一排，有120种排法B. 学生不相邻，有24种排法
C. 教师相邻，有48种排法D. 教师不站在两边，有72种排法
10.已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1、a3、a7成等比数列，设bn=ancsπan2，则( )
A. a8=9B. b9=0
C. b4k−1+b4k−2=4kD. bn的前2025项和是−1014
11.已知E是棱长都是2的正四棱锥P−ABCD的棱PC的中点，空间中一点M满足CM=xPA+yPB+z−1PC，x,y,z∈R且x+y+z=1，当PM最小时，下列结论中正确的是( )
A. ▵PMC为等边三角形
B. EM=1
C. EM与底面ABCD所成角是π4
D. 四棱锥P−ABCD的外接球的体积为 2π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若An4=12Cn3，则n=
13.已知数列an的前n项和为Sn，a1=−11，a2=−9，且Sn+1+Sn−1−2Sn=2n≥2，则数列an的通项公式为
14.若直线y=t与两个函数y=ex与y= 2x−1的图象的交点分别为A,B，则ABmin=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，PA=AB=BC=2，AD=1，E是棱PB的中点．

(1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值；
(2)求点B到平面CDE的距离；
16.(本小题15分)
已知首项为1的等差数列an满足：a1,a2,a3+1成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足：a1bn+a2bn−1+⋯+anb1=3n−1，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，▵SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P为棱AD的中点，四棱锥S−ABCD的体积为2 33．

(1)若E为棱SB的中点，求直线PE与平面SBC所成角的余弦值；
(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SBC所成夹角的余弦值为 1010？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知点A−2,0,B2,0，动点Mx,y满足直线AM与BM的斜率之积为12.记M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;
(2)直线l过定点D 6,0，与曲线C在第一，四象限交于两点，分别记为H，N两点，且满足HD=2DN，求直线l的方程．
(3)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE交C于点G.证明：kPG⋅kPQ=1;
19.(本小题17分)
若函数fx=λlnx(λ>0)与函数gx=1−ax的图象在公共点处有相同的切线．
(1)当λ=1时，求函数fx与gx在公共点处的切线方程；
(2)求a的最小值；
(3)求证：当x>0时，x1−λlnx≤a．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.B
6.D
7.A
8.C
9.AC
10.ACD
11.BC
12.5
13.an=2n−13
14.1
15.解：(1)因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
所以以点A为坐标原点，AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为PA=AB=BC=2，AD=1，E是棱PB的中点，AD//BC，
则A0,0,0，B0,2,0，D1,0,0，P0,0,2，E0,1,1，C2,2,0．
则AE=0,1,1，PD=1,0,−2．
所以AE⋅PD=0×1+1×0+1×−2=−2，AE= 2，PD= 5．
设异面直线AE和PD所成角为θ，
则csθ=csAE,PD=AE⋅PDAEPD= 105．
(2)因为D1,0,0，E0,1,1，C2,2,0，
所以CD=−1,−2,0，DE=−1,1,1．
设平面CDE的法向量为n=x,y,z，
则n⋅CD=−x−2y=0n⋅DE=−x+y+z=0，取x=2，可得y=−1，z=3，则n=2,−1,3．
又因为BE=0,−1,1，
所以点B到平面CDE的距离为d=BE⋅nn=0×2+−1×−1+1×3 22+−12+32=4 14=2 147．
16.解：(1)设an公差为d，又a1,a2,a3+1成等比数列，
所以a22=a1⋅a3+1⇒a1+d2=a1a1+2d+1，
又a1=1，即1+d2=2+2d，解得d=1或d=−1，
而d=−1时，不满足a1,a2,a3+1成等比数列，所以d=1，
所以an=1+n−1×1=n．
(2)令Dn=a1bn+a2bn−1+⋯+anb1=3n−1，
所以Dn+1=a1bn+1+a2bn+⋯+an+1b1=3n+1−1，
两式相减有：Dn+1−Dn=a1bn+1+bn+bn−1⋯+b1=2⋅3n，
所以数列bn的前n+1项和为2⋅3n，即Tn+1=2⋅3n，
又D1=a1b1=2⇒b1=2，所以b1+b2+⋯+bn=2⋅3n−1，
所以Tn=2⋅3n−1．
17.解：(1)在等边▵SAD中，P为AD的中点，所以SP⊥AD，
又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD,SP⊂平面SAD，
∴SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥S−ABCD的高，
设AD=m(m>0)，则SP= 32m,S矩形ABCD=m，
∴V四棱锥S−ABCD=13S矩形ABCD⋅SP=13m× 32m=2 33，所以m=2，
以点P为原点，PA,AB,PS的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P0,0,0,A1,0,0,B1,1,0,S0,0, 3,C−1,1,0,E12,12, 32，
故BC=−2,0,0,SC=−1,1,− 3,PE=12,12, 32
设平面SBC的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅BC=−2x=0,n⋅SC=−x+y− 3z=0,所以可取n=0, 3,1．
直线PE与平面SBC所成角为θ，
则sinθ=csPE,n=PE⋅nPEn= 155，
所以csθ= 105．
(2)假设在棱SA上存在点M满足题意，如图：连接SP，MP，MB，
故PA=1,0,0,PB=1,1,0,AS=−1,0, 3，
设AM=λAS=−λ,0, 3λ0≤λ≤1，
∴PM=PA+AM=1−λ,0, 3λ．
设平面PMB的一个法向量为n1=x,y,z，
则n1⋅PM=1−λx+ 3λz=0,n1⋅PB=x+y=0,所以可取n1= 3λ,− 3λ,λ−1．
由(1)知平面SBC的一个法向量为n2=0, 3,1，
∴csn2,n2=n2⋅n2n1n2=2λ+12 7λ2−2λ+1= 1010化简得2λ2+8λ+1=0，
Δ=64−8=56>0，λ1+λ2=−4λ1λ2=12，可得方程存在两负根λ1,λ2，
而题意中0≤λ≤1，故不存在点M满足题意．
18.解：(1)直线AM的斜率为yx+2(x≠−2)，直线BM的斜率为yx−2(x≠2)，
由题意可知：yx+2⋅yx−2=12⇒x2−2y2=4,(x≠±2)，
所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的双曲线，
其方程为x24−y22=1,x≠±2；
(2)
设直线l的方程为x=my+ 6，Hx1,y1,Nx2,y2，
由题意知m>0，HD= 6−x1,−y1,DN=x2− 6,y2
因为HD=2DN，所以−y1=2y2x1+2x2=3 6
x=my+ 6x24−y22=1⇒m2−2y2+2 6my+2=0，得y1+y2=−2 6mm2−2y1⋅y2=2m2−2
联立上式可得m=± 25，因为m>0，所以m= 25．
直线l的方程为x= 25y+ 6⇒5x− 2y−5 6=0．
(3)[方法一]依题意设Px1,y1,Q−x1,−y1,Gx0,y0，
直线PQ的斜率为k(k>0)，则kPG=y1−y0x1−x0,kGQ=−y1−y0−x1−x0=y1+y0x1+x0，
所以kPG⋅kGQ=y12−y02x12−x02=12．
又kGQ=kEQ=−y1−x1−x1=y12x1=k2，所以kPG=1k，
进而有kPG⋅kPQ=1．
[方法二]由题意设Px0,y0,Q−x0,−y0,Gx1,y1，则Ex0,0．
因为Q，E，G三点共线，所以y1x1−x0=y02x0=y1+y0x1+x0，
又因为点P，G在双曲线上，所以x024−y022=1,x124−y122=1，
两式相减得kPG=x0+x12y0+y1，
所以kPQ⋅kPG=y0x0x0+x12y0+y1=y1+y0x0+x1x1+x0y0+y1=1，所以kPG⋅kPQ=1．
19.解：(1)当λ=1时，fx=lnx，设x0,y0为fx与gx的一个公共点
f′x=1x,g′x=ax2，∴，∴切点1,0,k=1
∴fx与gx在公共点处的切线方程为y=x−1．
(2)设Px0,y0为fx与gx的一个公共点，f′x=λx,g′x=ax2
，由②⇒λx0=a>0，∴λ=ax0代入①，
⇒ax0lnx0=1−ax0，∴alnx0+1=x0,∴1a=lnx0+1x0,x0>1e
令ℎx=lnx+1x,∴ℎ′x=1−lnx+1x2=−lnxx2=0⇒x=1
当1e1时，ℎ′x1e
⇔证：x>0时，x1−1lnx0+1lnx≤x0lnx0+1，
即证：x0x+lnx−lnx0+1≥0对∀x>0恒成立
令Fx=x0x+lnx−lnx0+1,F′x=−x0x2+1x=0⇒x=x0，
当0