江苏省南京市燕子矶中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知函数在处的导数为1，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解.
【详解】因为函数在处的导数为1，
则.
故选：B.
【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．
2. 已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.
【详解】设，则，，
因为，所以，，，
所以，又，
解得或，所以或，
故选:C
3. 若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A. (0，＋∞)B. (0，2)C. (1，＋∞)D. (0，1)
【答案】D
【解析】
【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围．
【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，
所以 ，即 ，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆；②表示焦点在y轴上的椭圆．；③表示椭圆．
4. 在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则
A. 0B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用与表示出向量与，利用数量积的运算法则求解即可求．
【详解】如图所示，
棱长为2的正四面体中，
因为分别是中点，
所以
，故选B．
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
5. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可
【详解】由球的体积公式可得，得，
所以时，体积关于半径的瞬时变化率为，
故选：.
6. 从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，即可计算结果.
【详解】这个两位数大于40的个数为．
故选：B．
7. 函数在区间上的最大值是，则的值为( )
A. 3B. 1
C. 2D. －1
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数求导得，令，解得.结合给定区间得出函数
的单调性，再比较的大小，进而求出的最大值即可求解的值.
【详解】由题意可知，，
令，解得或（舍）.
当时，；
当时，；
所以函数上单调递减，在上单调递增.
所以,,，则最大，
所以当时，函数取得最大值为.
由题意可知，，解得,
所以的值为.
故选：B.
8. 若，则的切线的倾斜角满足（ ）
A. 一定为锐角B. 一定为钝角
C. 可能为直角D. 可能为0°
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．
【详解】，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
而，所以时，，所以，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：A．
二、多选题：本题共2小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 若空间向量，，且，则实数
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D. 点关于平面对称的点的坐标是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C.
【详解】对于A，可知，即A正确；
对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确；
对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误.
故选：AC
10. 若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
首先求函数的导数，，由题意可知若函数具有“凹凸趋向性”时，在有2个不同的实数根，则设函数，根据导数判断函数的范围，求得的取值范围.
【详解】依题意得，
若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有2个不同的实数根，
令，则，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是，当时，，故，
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是得到在上有2个不同的实数根，进而研究不含参数的函数图像特征解决问题即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论，若、同色．若、不同色，由分类加法原理，计算可得答案.
【详解】图中区域分别为，，，，，则分类讨论，
若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、，
共有种不同方法．
若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有，
最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法，
综上，所有的涂法共有种.
故答案为：
12 已知数列满足，，，则通项公式____________
【答案】
【解析】
【分析】采用累加法即可求得结果.
【详解】由题意得：，
当时，
，
经检验：满足；
综上所述：.
故答案为：.
13. 已知函数．若函数在上单调递减，则实数的最小值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】
求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值.
【详解】，，可得，
令，
若函数在上单调递减，即
当时，单调增，
，
所以函数在上单调递增
，所以.
故答案为:6
【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14. 已知函数.
（1）求函数在上的最大值；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数得到单调性，确定，进而可得结果；
（2）将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数可证得，从而得到结论.
【详解】（1），
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
又，，
.
（2）要证，只需证，
，只需证：.
令，则，
当时，，在上恒成立，在上单调递增，
，即当时，恒成立，则原命题得证，
当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是能够通过分析法将所证不等式进行等价转化，从而构造新函数，利用导数求得新函数的最值使得结论得证.
15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，运用空间向量即可得证，
（2）先根据题意求出点坐标，运用空间向量即可求出面面夹角的余弦值.
【小问1详解】
如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
因为,,点为棱的中点，
所以,,,,
因为,,
所以,即，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得∵，，
由为棱上一点，设，
故，
由，得，
解得，
即，
设平面的法向量为，
由，得
令，则，
取平面的法向量，
设平面与平面的平面角为，由图可知为锐角，
所以，
故平面与平面的余弦值为．
16. 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）求证：为定值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用条件直接求即可；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，利用椭圆的弦长公式及韦达定理计算即可；
（3）结合（2）的结论利用韦达定理及斜率公式化简计算即可.
【小问1详解】
依题意，所以，
因为，所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
椭圆的右焦点．
由已知可知，直线的斜率存在，设直线：，
联立方程组，消得，
易知恒成立，
设，，则，
，
所以，所以；
所以直线的方程为
【小问3详解】
证明：由上问可知 ，，，
分子化为 ．
所以
综上所述，为定值2．
【点睛】第三问关键在于利用韦达定理及斜率公式化简，计算量较大，需要多加练习提升计算能力.
17. 若各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）判断数列是否为等差数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
【答案】(1) 数列不是等差数列，理由见解析.(2)(3) .
【解析】
【分析】(1)判断(常数)是否对恒成立即可.
(2)由(1)的结论可得答案.
(3)根据通项公式，可利用错位相减法求前项和.
【详解】（1）因为，当时，，
两式相减得，即.
因为，所以，即.
所以，当时，是公差的等差数列.
因为所以，所以.
当时，，所以.
因为，
所以数列不是等差数列.
（2）由（1）知：数列从第二项开始是等差数列，当时，，
所以数列的通项公式
（3）
当时，，①
，②
②-①，得
.
当时，，满足上式，所以.
【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及等差数列的判断，求通项公式，错位相减法求前项和.判断等差数列、求通项公式、求数列的前项和时，要注意对时情况的验证.
18. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点”
（1）若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围；
（2）若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：
（3）若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.
【答案】（1）
（2）或.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式计算，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的取值范围；
（2）若函数是“2跃点”函数，则方程有解，即有解，结合二次函数的性质和“2跃点”函数的定义求解即可；
（3）将题意转化为方程，即有一个不同的实数根，令，对求导，求出的单调性和最值，结合图象即可得出答案.
【小问1详解】
函数的导函数为，
若函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
又因为，故，即.
【小问2详解】
因为，所以，
若该函数是“2跃点”函数，则方程①有解，
即有解，
由因式分解可得，
当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根；
当时，②，
当即时，方程②为，即方程②有两个相等的实数根，
此时方程①的根为，则函数有两个不同的“2跃点”；
当即时，方程②无解，此时方程①的根为，则函数有一个“2跃点”；
当即时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”，
则其中一个是实数根为，则，解得：.
综上：的值为或.
【小问3详解】
函数，，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，
则方程，即恰有一个实数根，
即，，
令，解得：；令，解得：且，
故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数.
且，
当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图：

故当时，恰有一个实数根，
即时，恰有一个实数根，
所以b的取值范围为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.