2023-2024学年江苏省南京市燕子矶高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市燕子矶高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为1，则△x→0limf(x0+△x)−f(x0)3△x=( )
A. 0B. 13C. 1D. 2
2.已知空间三点A(1,0,3)，B(−1,1,4)，C(2,−1,3)，若AP//BC，且|AP|= 14，则点P的坐标为( )
A. (4,−2,2)B. (−2,2,4)
C. (4,−2,2)或(−2,2,4)D. (−4,2,−2)或(2,−2,4)
3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A. (0,+∞)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (0,1)
4.在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则AE⋅CF=( )
A. 0B. −2C. 2D. −3
5.用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V(r)随着气球半径r的增大而增大.当半径r=1时，气球的体积V(r)=43πr3相对于r的瞬时变化率为( )
A. 43πB. 2πC. 4πD. 8π
6.从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.函数f(x)=x3−x2−x+a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于( )
A. 3B. 1C. 2D. −1
8.若f(x)=ex⋅lnx，则f(x)的切线的倾斜角α满足( )
A. 一定为锐角B. 一定为钝角C. 可能为直角D. 可能为0°
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的是( )
A. 若空间向量m=(3,1,3)，n=(−1,λ,−1)，且m//n，则实数λ=−13
B. 若a/​/b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb
C. 若空间向量a=(1,0,1)，b=(2,−1,2)，则向量b在向量a上的投影向量是(2,0,2)
D. 点M(3,−2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(−3,−2,−1)
10.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点，则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”，已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f′(x)=mx−2lnx，当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有( )
A. (−2e,+∞)B. (−2e,0)C. (−∞,−2e)D. (−2e,−1e)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法．
12.已知数列{an}满足a1=−1,an+1=an+1n−1n+1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an= ______．
13.已知函数f(x)=lnx+x2−3x+mx.若函数f(x)在[1,2]上单调递减，则实数m的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知函数f(x)=xex−x2−2x−1．
(1)求函数f(x)在[−1,1]上的最大值；
(2)证明：当x>0时，f(x)>−x−1．
15.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
(1)求证：BE⊥DC；
(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2 2，离心率为 22，过右焦点且与x轴不垂直的直线l与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为(2,1)，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)当|AB|=5 24时，求直线l的方程；
(Ⅲ)求证：k1+k2为定值．
17.(本小题17分)
若各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足an+12=2Sn+n+2(n∈N*)，且a3+a5=10．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？并说明理由；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
对于函数y=f(x)的导函数y′=f′(x)，若在其定义域内存在实数x0，t，使得f(x0+t)=(t+1)f′(x0)成立，则称y=f(x)是“跃点”函数，并称x0是函数y=f(x)的“t跃点”．
(1)若m为实数，函数y=sinx−m，x∈R是“π2跃点”函数，求m的取值范围；
(2)若a为非零实数，函数y=x3−2x2+ax−12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值；
(3)若b为实数，函数y=ex+bx，x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为函数y=f(x)在x=x0处的导数为1，
则△x→0limf(x0+△x)−f(x0)3△x=13△x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=13f′(x0)=13．
故选：B．
利用导数的定义结合所求的式子，进行变形求解即可．
本题考查了导数定义的运用，解题的关键在于变形，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵B(−1,1,4)，C(2,−1,3)，
∴BC=(3,−2,−1)，
∵AP//BC，
∴可设AP=(3λ,−2λ,−λ)，
∵|AP|= 14，
∴ (3λ)2+(−2λ)2+(−λ)2= 14，解得λ=±1，
∴AP=(3,−2,−1)或AP=(−3,2,1)，
∴设点P的坐标为(x,y,z)，则AP=(x−1,y,z−3)，
∴x−1=3y=−2z−3=−1或x−1=−3y=2z−3=1，解得x=4y=−2z=2或x=−2y=2z=4，
故点P的坐标为(4,−2,2)或(−2,2,4)．
故选：C．
根据已知条件，结合共线向量的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，属基础题．
先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．
【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即x22+y22k=1表示焦点在y轴上的椭圆
∴2k>2故0故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性表示与数量积应用问题，是基础题．
根据题意画出图形，结合图形，利用中线的性质表示出向量AE与CF，求出它们的数量积即可．
【解答】
解：如图所示，
棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，
则AE⋅CF=12(AB+AC)⋅12(CA+CD)
=14(AB⋅CA+AB⋅CD+AC⋅CA+AC⋅CD)
=14(2×2×cs120°+2×2×cs90°+
2×2×cs180°+2×2×cs120°)
=−2．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：由球的体积公式可得V=43πr3，得V′=4πr2，
所以r=1时，体积关于半径的瞬时变化率为V′=4π×12=4π．
故选：C．
球的体积公式为V=43πr3，对其求导并代入r=1计算即可
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为这个两位数大于40，
所以选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，
这个两位数大于40的个数为2×4=8．
故选：B．
数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为4或5，个位数不重复则在剩余的4个数字里选择1个，即可计算结果．
本题主要考查排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=x3−x2−x+a，
则f′(x)=3x2−2x−1，
令f′(x)=0，解得x=−13(舍)或x=1，
又f(0)=a，f(1)=a−1，f(2)=a+2，
所以f(x)的最大值为a+2，
又函数f(x)=x3−x2−x+a在区间[0,2]上的最大值是3，
所以a+2=3，解得a=1．
故选：B．
求出f′(x)，令f′(x)=0，求出极值点，然后将区间端点的函数值与极值比较大小，列出关于a的方程，求解即可．
本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属于基础题．
求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数(部分函数)，由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．
【解答】
解：∵f(x)=ex⋅lnx，(x>0)
∴f′(x)=exlnx+exx=ex(xlnx+1)x，
设g(x)=xlnx+1，则g′(x)=lnx+1，
当0当x>1e时，g′(x)>0，g(x)递增，
而g(1e)=1eln1e+1=1−1e>0，
所以x>0时，g(x)≥g(1e)>0，所以f′(x)>0，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：A．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，可知3−1=1λ⇒λ=−13，即A正确；
对于B，显然b=0时，a/​/b恒成立，此时λ不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量b在向量a上的投影向量为a⋅b|a|2⋅a=2×(1,0,1)=(2,0,2)，故C正确；
对于D，易知点M(3,−2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(−3,−2,1)，故D错误．
故选：AC．
利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C．
本题考查了空间向量的数量积运算，涉及到向量共线，空间中的点对称等问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：依题意，得f′(x)=mx−2lnx=m−2xlnxx(x>0)，
若函数f(x)具有“凹凸趋向性”，则m=2xlnx在(0,+∞)上有2个不同的实数根，
令g(x)=2xlnx，则g′(x)=2(1+lnx)，
令g′(x)>0，解得x>1e；令g′(x)<0，解得0∴g(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
故g(x)的最小值是g(1e)=−2e，当x→0时，g(x)→0，
故−2e故选：BD．
首先求函数的导数，f′(x)=mx−2lnx=m−2xlnxx(x>0)，由题意可知若函数具有“凹凸趋向性”时，m=2xlnx在(0,+∞)有2个不同的实数根，则设函数g(x)=2xlnx，根据导数判断函数的范围，求得m的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转化思想，属中档题．
11.【答案】72
【解析】解：图中区域分别为A，B，C，D，E，则分2类讨论，
①若B、D同色，先涂A，方法有C41种，再涂B、D，方法有C31种，最后涂E、C，共有C41⋅C31⋅4=48种不同方法．
②若B、D 不同色，先涂A，方法有C41种，再涂B、D，方法有A32，最后涂E、C 只有1种方法，
∴若B、D不同色时共有C41⋅A32⋅1=24种不同方法，
综上，所有的涂法共有48+24=72(种)；
故答案为72．
根据题意，分类讨论，①若B、D 同色．②若B、D 不同色，由分类加法原理，计算可得答案．
本题考查排列组合数公式的运用，体现分类讨论的数学思想．
12.【答案】−1n
【解析】解：由an+1=an+1n−1n+1，得an+1−an=1n−1n+1，
可得：当n≥2时，an−a1=(an−an−1)+(an−1+an−2)+⋯+(a2−a1)
=(1n−1−1n)+(1n−2−1n−1)+⋯+(1−12)=1−1n=n−1n，可得an=a1+n−1n=−1+n−1n=−1n，
结合n=1时，a1=−1=−11也符合n≥2的式子，可得an=−1n，n∈N*．
故答案为：−1n．
根据题意，可得n≥2时，an−an−1=1n−1−1n，利用累加推导出an=a1+n−1n=−1n，然后检验n=1的式子也成立，从而得出本题答案．
本题主要考查利用累加法求数列的通项公式的知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
13.【答案】6
【解析】解：f′(x)=1x+2x−3−mx2，
若f(x)在[1,2]上单调递减，
则f′(x)≤0在[1,2]恒成立，
即m≥2x3−3x2+x在[1,2]恒成立，
故只需m≥(2x3−3x2+x)max，
令g(x)=2x3−3x2+x，x∈[1,2]，
则g′(x)=6x2−6x+1，对称轴x=12，
故g′(x)在[1,2]单调递增，
而g′(1)=1>0，故g′(x)>0在[1,2]恒成立，
故g(x)在[1,2]单调递增，故g(x)max=g(2)=6，
故m的最小值是6，
故答案为：6．
求出函数的导数，问题转化为m≥(2x3−3x2+x)max，令g(x)=2x3−3x2+x，x∈[1,2]，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，求出m的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．
14.【答案】解：(1)f′(x)=xex+ex−2x−2=(x+1)(ex−2).x∈[−1,1]．
令f′(x)=0，解得x=−1，或x=ln2．
则函数f(x)在[−1,ln2)上单调递减，在(ln2,1]上单调递增．
又f(−1)=−1e，f(1)=e−4．
∴函数f(x)在[−1,1]上的最大值为−1e．
(2)证明：当x>0时，f(x)>−x−1.即x>0时，ex−x−1>0．
令g(x)=ex−x−1，x>0.g(0)=0．
g′(x)=ex−1>0，
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴g(x)>g(0)，
∴ex−x−1>0，x>0.即当x>0时，f(x)>−x−1．
【解析】(1)f′(x)=xex+ex−2x−2=(x+1)(ex−2).x∈[−1,1].利用导数研究其单调性即可得出．
(2)当x>0时，f(x)>−x−1.即x>0时，ex−x−1>0.令g(x)=ex−x−1，x>0.g(0)=0.利用导数研究其单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】(1)证明：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，
∴BE=(0,1,1)，DC=(2,0,0)，
∴BE⋅DC=0，即BE⊥DC．

(2)解：由(1)知，BC=(1,2,0)，CP=(−2,−2,2)，AC=(2,2,0)，AB=(1,0,0)，
设CF=λCP，λ∈[0,1]，
∴BF=BC+CF=(1,2,0)+λ(−2,−2,2)=(1−2λ,2−2λ,2λ)，
∵BF⊥AC，
∴BF⋅AC=2(1−2λ)+2(2−2λ)=0，解得λ=34，
∴BF=(−12,12,32).
设平面FAB的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AB=0m⋅BF=0，即x=0−12x+12y+32z=0，
令z=1，则x=0，y=−3，∴m=(0,−3,1)．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB=A，PA、AB⊂平面ABP，
∴AD⊥平面ABP，
∴平面ABP的一个法向量为n=(0,1,0)，
∴cs=m⋅n|m|⋅|n|=−3 10×1=−3 1010，
由图可知，平面FAB与平面ABP所成的角为锐二面角，
故平面FAB与平面ABP夹角的余弦值为3 1010．
【解析】(1)以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，逐一写出各点坐标，由BE⋅DC=0即可得证；
(2)根据法向量的性质可求得平面FAB的法向量m，由线面垂直的性质定理和判定定理可推出AD⊥平面ABP，从而知平面ABP的法向量n，再由cs=m⋅n|m|⋅|n|即可得解．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆C的长轴长为2 2，
所以2a=2 2，
解得a= 2，
因为椭圆C的离心率e=ca= 22，
解得c=1，
所以b2=a2−c2=1，
则椭圆C的方程为x22+y2=1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆C的右焦点F(1,0)，
易知直线l的斜率存在，
不妨设直线l的方程为y=k(x−1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x22+y2=1y=k(x−1)，消去y并整理得(1+2k2)x2−4k2x+2(k2−1)=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2(k2−1)1+2k2，
因为|MN|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2=5 24
所以 1+k2⋅ (4k21+2k2)2−4⋅2(k2−1)1+2k2=5 24，
即2(1+k2)1+2k2=54，
解得k=± 62，
则直线l的方程为y=± 62(x−1)；
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知k1+k2=1−y12−x1+1−y22−x2=(1−y1)(2−x2)+(1−y2)(2−x1)4−2(x1+x2)+x1x2
因为4−(x1+x2)−2(y1+y2)+x2y1+x1y2=2kx1x2−(1+3k)(x1+x2)+4k+4．
所以k1+k2=2k×2(k2−1)1+2k2−(1+3k)×4k21+2k2+4k+44−2×4k21+2k2+2(k2−1)1+2k2
=2k×2(k2−1)−4k2(1+3k)+4(k+1)(1+2k2)4(1+2k2)−8k2+2(k2−1)=4k2+42k2+2=2，
综上所述，k1+k2为定值2．
【解析】(Ⅰ)由题意，根据椭圆的长轴长、离心率以及a，b，c之间的关系，列出等式进行求解即可；
(Ⅱ)设出直线l的方程，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式进行求解即可；
(Ⅲ)结合(Ⅱ)中所得信息以及斜率公式进行求证即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
17.【答案】解：(1)因为an+12=2Sn+n+2，当n≥2时,an2=2Sn−1+(n−1)+2，
两式相减：an+12−an2=2an+1,即an+12=an2+2an+1=(an+1)2，
因为an>0，
所以an+1=an+1，即an+1−an=1，
所以，当n≥2时，{an}是公差d=1的等差数列．
因为a3+a5=10，
所以a4=5，所以a2=3．
当n=1时，a22=2a1+1+2，所以a1=3，因为a2−a1=0≠1，
所以，数列{an}不是等差数列．
(2)由(1)知：数列{an}从第二项开始是等差数列，
当n≥2时，an=n+1
所以数列{an}的通项公式an=3(n=1)n+1(n≥2)．
(3)由(2)的通项公式，
所以bn=6(n=1)(n+1)⋅2n(n≥2)，
当n≥2时 Tn=6+3⋅22+4⋅23+…+n⋅2n−1+(n+1)⋅2n①，
2Tn=12+3⋅23+4⋅24+…+n⋅2n+(n+1)⋅2n+1②，
②−①得：Tn=−6−(23+24+…+2n)+(n+1)⋅2n+1
=(n+1)⋅2n+1−23(1−2n−2)1−2−6=n⋅2n+1+2．
当n=1时，T1=6，满足上式，
所以Tn=n⋅2n+1+2．
【解析】(1)利用递推关系式的应用求出数列不为等差数列．
(2)利用分段法求出数列的通项公式．
(3)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】解：(1)函数y=sinx−m的导函数y′=csx，
若函数y=sinx−m是“π2跃点“函数，则方程sin(x0+π2)−m=(π2+1)csx0有解，
即−m=π2csx0有解，
又csx0∈[−1,1]，
所以−m∈[−π2,π2]，
所以m∈[−π2,π2].
(2)函数y=x3−2x2+ax−12的导函数y′=3x2−4x+a．
若该函数是“2跃点“函数，
则方程(x+2)3−2(x+2)2+a(x+2)−12=3(3x2−4x+a)①有解，
即x3−5x2+(a+16)x−a−12=0有解，
所以(x−1)(x2−4x+a+12)=0有解，
当x=1时，方程(x−1)(x2−4x+a+12)=0成立，
所以x=1是方程的一个实数根，
当x≠1时，x2−4x+a+12=0②，
当a=−8时，方程②有两个相等的实数根2，
此时方程①的根为1，2，2，
所以函数有两个不同的“2跃点“，
当a>−8时，方程②无解，
此时方程①的根为1，则函数有一个“2跃点”，
当a<−8时，方程②有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“2跃点”，则其中一个实数根为1，
则1−4+a+12=0，解得a=−9，
综上所述，a的值为−8或−9．
(3)函数y=ex+bx的导函数为y′=ex+b，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，
则方程ex+1+b(x+1)=2(ex+b)，即−b=ex+1−2exx−1有一个不同的实数根，
设g(x)=ex+1−2exx−1=(e−2)exx−1，
g′(x)=(e−2)ex(x−2)(x−1)2，
令g′(x)=0得x=2，
所以在(2,+∞)上g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(−∞,1)，(1,2)上g′(x)<0，g(x)单调递减，
又x<−1时，g(x)<0；x>1时，g(x)>0，
所以当x=2时，g(x)取得极小值g(2)=(e−2)e2，
所以−b≤0，
所以b≥0，
所以b的取值范围为[0,+∞)．
【解析】(1)函数y=sinx−m的导函数y′=csx，若函数y=sinx−m是“π2跃点“函数，则方程sin(x0+π2)−m=(π2+1)csx0有解，即−m=π2csx0有解，进而可得答案．
(2)函数y=x3−2x2+ax−12的导函数y′=3x2−4x+a.若该函数是“2跃点“函数，则方程(x+2)3−2(x+2)2+a(x+2)−12=3(3x2−4x+a)①有解，进而可得答案．
(3)函数y=ex+bx的导函数为y′=ex+b，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，即−b=ex+1−2exx−1有一个不同的实数根，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．