上海市浦东新区2025届高三下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份上海市浦东新区2025届高三下学期期中考试数学试题（Word版附解析），文件包含上海市浦东新区2024学年度第二学期高中教学质量检测数学答案docx、上海市浦东新区2024学年度第二学期高中教学质量检测数学docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 不等式的解为____________．
2. 已知向量，若，则______．
3. 设圆方程为，则圆的半径为____________．
4. 若，则函数的最小正周期为____________．
5. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________．
6. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________．
7. 在的展开式中，常数项为__________.
8. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________．
9. 李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________．
10. 如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数）
11. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
12. 已知数列，，并且前项和满足：
①存在小于的正整数，使得；
②对任意的正整数和，都有．
则满足以上条件的数列共有__________个．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．
13. 已知集合，集合，全集为，则（ ）
A. B. C. D.
14. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
15. 研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量与变量的相关性变强B. 相关系数的绝对值变小
C. 线性回归方程不变D. 拟合误差变大
16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题D. ①②都是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知函数的表达式．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18. 如图，四边形长方形，平面，，．
（1）若分别是的中点，求证：∥平面；
（2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由．
19. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
（1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
（2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？
（3）小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
20. 已知椭圆方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
（2）设椭圆焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
21. 定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”．
（1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
（2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值；
（3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
试题类别
软件
软件
测试试题数量
正确解答的数量
测试试题数量
正确解答数量
几何试题
函数试题