上海市浦东新区2025届高三下学期期中考试 数学 含解析

这是一份上海市浦东新区2025届高三下学期期中考试 数学 含解析，共21页。
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 不等式的解为____________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：不等式化为，解一元二次不等式即可．
详解：不等式化为，解得，
∴不等式的解集为，故答案为．
点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题
2. 已知向量，若，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐标表示求解．
【详解】解：因为，所以，
得，
解得，
故答案为：-2
3. 设圆方程为，则圆的半径为____________．
【答案】
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径.
【详解】将圆方程化为标准方程可得，故圆的半径为.
故答案为：.
4. 若，则函数的最小正周期为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解.
【详解】，
故最小正周期为.
故答案为：
5. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验.
【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且，
所以，又，所以，
当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意；
当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意；
所以.
故答案为：
6. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
7. 在的展开式中，常数项为__________.
【答案】-252
【解析】
【分析】用二项式定理即可.
【详解】根据二项式定理，第r+1项为 ，由于是常数，
，r=5，
其常数项系数为=-252.，
故答案为：-252.
8. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得.
【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，，
所以，
所以当时取得最小值，依题意可得，所以.
故答案为：
9. 李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________．
【答案】
【解析】
【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算.
【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个，
故该生的成绩为，
则这10名学生的成绩的平均数为，
方差为
故答案为：
10. 如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数）
【答案】66.4
【解析】
【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值.
【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以.
在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以.
在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得：
，即
可得.
则.
故答案为：66.4.
11. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
【答案】
【解析】
分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解.
【详解】可设，设，
则，
所以，
两式相减可得：，再代入第一个式子，
可得：
设向量与向量夹角为，
则，
易知对于当即取得最大值，
此时取得最大值，
即的最大值为，时取得，
再由余弦函数的单调性可知的最小值为，
故答案为：
12. 已知数列，，并且前项的和满足：
①存在小于的正整数，使得；
②对任意的正整数和，都有．
则满足以上条件的数列共有__________个．
【答案】
【解析】
【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况.
【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致，
对于①：存在小于的正整数，使得，
对于②：对任意的正整数和，都有，
可知为奇数，即，
令，则，可得或；
令，则，可得或；
综上所述：对任意的正整数，.
且，可得，，
即确定，不相等，有2种可能，
此时，条件②满足，
对于数列可知：均有2种可能，
则满足条件的数列共有个，
又因为存在小于的正整数，使得，
可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意，
综上所述：符合题意的数列共有个.
故答案为：.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．
13. 已知集合，集合，全集为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由绝对值不等式确定结合，再由集合得交集、补集运算即可求解.
【详解】，可得
可得：，
所以，
故选：D
14. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】不能保证都是正值，推不出，反之则成立，即可求解.
【详解】因为在上是增函数，故由可得；
取，，此时满足，但是不满足，
综上，“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
15. 研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量与变量的相关性变强B. 相关系数的绝对值变小
C. 线性回归方程不变D. 拟合误差变大
【答案】C
【解析】
【分析】设变量，的平均数分别为，，分析可知，.对于AB：根据相关系数的计算公式和性质分析判断；对于CD：根据回归方程和拟合误差的性质分析判断.
【详解】设变量，的平均数分别为，，
则，，即，，
可知新数据的样本中心点不变，仍为，
对于AB：可得，
同理可得，
则相关系数，
可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误；
对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点，
即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确；
因为即为样本中心点，即，
可知残差平方和不变，
所以拟合误差不变，故D错误；
故选：C.
16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题D. ①②都是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断；
对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断.
【详解】判断命题①：
已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接.
根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件.
当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.
判断命题②：
当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，.
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.
故选：A.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知函数的表达式．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案；
（2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案.
【小问1详解】
因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称，
由，则，
所以.
【小问2详解】
对任意实数，不等式恒成立，即，
设，
对任意实数且
因为，所以，所以
所以函数在上单调递减；
，所以 .
18. 如图，四边形为长方形，平面，，．
（1）若分别是的中点，求证：∥平面；
（2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）法一：几何法：取中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量 由，即可求证；
（2）法一：几何法：作，垂足为，连接，确定直线与平面所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可.
【小问1详解】
法一：取中点，连接、，
∵，，
∴ ，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴ ，
∵平面，在平面外，
∴平面
法二：如图建立空间直角坐标，
则，，，
，，，
∴，
易知平面的一个法向量
∵，
且在平面外
∴平面
【小问2详解】
法一：作，垂足为，连接，
∵平面，在平面内，
∴，又为平面内两条相交直线，
∴平面，
∴直线与平面所成的角为，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， .
法二：设，则，
∴，
易知平面的一个法向量，
设与的夹角为，
则，
解得：，
∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，.
19. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
（1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
（2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？
（3）小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
【答案】（1）软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、
（2）应该使用软件来解决这道试题.
（3），
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率；
（2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论；
（3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案.
【小问1详解】
记、软件能正确解答数学问题的概率为和，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，.
【小问2详解】
记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件，
“该题为几何题”为事件.
则，，，，，，
由全概率公式可得.
.
因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小浦应该使用软件来解决这道试题.
【小问3详解】
几何试题用软件解答，函数试题用软件解答.
因为，，
由二项分布的期望公式可得，，
由二项分布的方差公式可得，，
因为、相互独立，则，
.
20. 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用离心率公式计算即可；
（2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可；
（3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可.
【小问1详解】
由题，椭圆离心率为，椭圆的离心率为，
解得
【小问2详解】
由题，，，所以，直线的方程为，
设的方程为，，，
联立直线与椭圆的方程，代入整理得，
，可得，
由韦达定理可得，，
故
，解得.
所以的标准方程为.
【小问3详解】
由题，设的方程为，
由题意，且，
任取上一点（不与点重合），则，.
设，则，
直线的方程为，故，
代入得，
因为，解得，
由对称性，不妨设，代回直线方程可解得，
而点位于上，所以
，
为上任一点，所以为定值，化简得.
设，为上任一点，即有解.
整理得，，
解得，所以 .
故的长轴长.
21. 定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”．
（1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
（2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值；
（3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
【答案】（1）不是“整数等差函数”，是“整数等差函数”
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断；
（2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值；
（3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数.
【小问1详解】
假设成等差数列，得，
设公差为，则，
对于：直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，恒成立，
取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”．
对于，直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，
若，则，
令，，则恒成立，所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立，
即恒成立，所以无解，
故不是“整数等差函数”．
【小问2详解】
因为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数，
设公差为，则，且，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
因为，，
所以
，
又的定义域为，有，则，可取使等号成立，故的最小值为．
【小问3详解】
充分性，因为为常值函数，所以，
任意取等差数列 ，则直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
因为，所以为“等差函数”．
必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列，
设公差为，则，
直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
由题意，,
，
令，
则
，
令，
则，
因为在上为增函数，所以，在上为增函数，
因为，所以，在上为增函数，
因为，所以在上恒成立，
又，由的单调性知，
故，，
，为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为，且在上为增函数，
所以在上为增函数，故，，
由，可得，
另一方面，因为，
所以，可得，
以此类推，在上恒成立，即为常值函数．
命题得证！
试题类别
软件
软件
测试试题数量
正确解答的数量
测试试题数量
正确解答的数量
几何试题
函数试题