2024-2025学年天津市高二下册3月月考数学学情检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市高二下册3月月考数学学情检测试卷（附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.
1. 某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可.
【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为，
所以，故B正确.
故选：B
2. 下面导数运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可．
【详解】解 ，故A正确；
故B正确；
故C正确，
故D错误.
故选：
3. 一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A. 3种B. 24种C. 48种D. 504种
【正确答案】B
分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种．
故选：B
4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，可得结论.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递减，可排除AC；
当时，，所以在上单调递增，可排除B；
当时，，所以在上单调递减，D均符合，故D正确.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. 0B. 2C. 1D.
【正确答案】B
【分析】先对函数，再将代入即可求得结果.
【详解】因为，所以，故.
故选：B
6. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，即可得解.
【详解】，
令，则，令，则，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为，
所以.
故选：C.
7. 若函数在处取得极大值10，则的值为
A. B. C. 或D. 不存在
【正确答案】A
【分析】
由在处取得极大值10，得，然后列出关于的方程组，解方程组求出的值.
【详解】解：由，得，
因为在处取得极大值10，
所以，
所以，解得 或
（1）当时，，
令，得或，
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，不合题意，
（2）当时，，
令，得或，同（1）可得为函数的极大值点，
所以，
故选：A
此题考查利用导数求函数的极值，属于基础题.
8. 已知函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用导数求得的单调性和极值点，由题意得极值点在区间内，结合定义域，即可得答案.
【详解】由题意得，
令，解得或（舍），
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以在处取得极小值，
所以，解得，
又为定义域的一个子区间，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
9. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
第II卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分
10. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种.
【正确答案】
【分析】利用分步乘法计数原理即可，第一步从四个不同元素中选三个元素，第二步对所选元素进行排列.
详解】首先从四位家长中选三人有种方法，
然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有种方法，
根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为种.
故
11. 函数的极值点为________.
【正确答案】
【分析】先求出函数的定义域，然后在定义域内分析导函数的零点和不同区间上的正负，确定极值点.
【详解】确定定义域：由于包含 函数定义域为 ，
求导得：
在内 ,单调递减；在内 f'(x)>0,单调递增.
是函数的极小值点，没有其它极值点.
故答案为.
12. 已知函数，则______________________.
【正确答案】##0.5
【分析】求导，即可代入求解.
【详解】，
故，故，
故
13. 过点的函数图象的切线斜率为______.
【正确答案】-1
【分析】设切点坐标，对函数求导，解出切线斜率，由点和算出斜率，这两个斜率相等解出即可.
【详解】解:设切点坐标为，
函数解析式为:


又点和在切线上
解得,所以斜率为:
故答案为:.
14. 若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为________.
【正确答案】
【分析】求函数的导数，根据导数和单调性的关系，结合给定区间及函数的最小值，即可确定的取值范围.
【详解】由题可知，
令，即，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又有，，
故要使在区间上的最小值为，则.
故
15. 已知不等式在区间上恒成立，则实数取值范围是_____
【正确答案】
【分析】解法一：设，利用导数可得，令，则可得，然后证明不等式恒成立即可；解法二：将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用函数的单调性可求出实数的取值范围.
【详解】解法一：设，当，，
当，，所以在上递减，在上递增，
所以，故.
①一方面，在条件中，令，即得.
假设，则，从而，矛盾.
所以一定有.
②另一方面，若，
首先有，
以及.
将两个不等式相加，就得到，
从而.
由于，故，
所以对任意，有.
而对任意的，显然也有，
所以，从而时条件一定满足.
综合①②两个方面，可知的取值范围是.
解法二：不等式在区间上恒成立，等价于
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，，
所以在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
故
关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是利用指对同构将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
三、解答题：本题共5个小题，共75分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 求下列函数的导数.
（1）
（2）
（3）
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用对数函数和幂函数的导数公式结合两函数和的求导法则求解即可.
（2）利用同角三角函数的基本关系对原函数变形，再利用两函数商的求导法则求解即可.
（3）利用指数函数的导数公式结合复合函数的求导法则求解即可.
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
则由两函数商的求导法则知.
【小问3详解】
因为，所以.
17. 已知函数．
（1）求的单调区间.
（2）求在区间的最值.
【正确答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）,
【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出 的最大值和最小值即可．
试题解析：(1)函数的定义域为，
由得 ，由.
的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)由(1)知当，的单调递增区间为，
单调递减区间为，
又
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案；
（2）分、、讨论，利用导数判断可得答案．
【小问1详解】
若，则，
，所以，
，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
，
当时，，
在上单调递增，
当时，由得，或，
由得，
所以在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，由得，或，
由得，
所以在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递减；
综上所述，
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，
单调递减区间为.
19. 已知函数，，（是自然对数的底数）
（1）若在点处的切线方程为，求实数a的值
（2）求的单调区间
（3）若恒成立，求实数a的取值范围
【正确答案】（1）
（2）当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，从而求解a的值；
（2）结合导函数的解析式，分类讨论，确定函数的单调区间；
（3）把恒成立问题转化为恒成立，构造函数，求导，求最值即可求出a的取值范围.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
所以，又直线的斜率为，由导数几何意义得，解得.（本问也可直接把点代入直线方程直接求解）
【小问2详解】
因为函数的定义域为，且，
当时，，所以函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问3详解】
因为恒成立，即恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
记，则，令，得，
令，得，令，得，
列表如下：
所以函数的极大值也是最大值为，
由恒成立得，
所以.
20. 已知函数，.
（1）若时，直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）令.
①若，讨论在的最大值；
②若在区间上有零点，求的最小值.
【正确答案】（1）；（2）①，②.
【分析】
（1）求导可得，设切点，可得，即可求出的值，代入，可求得，即可得切点坐标，代入，即可求得b的值；
（2）①由题意得可得的解析式，令，解得，分别讨论当、、三种情况的正负，可得的单调性，即可求得在的最大值；
②由①可得的单调性，根据零点存在性定理，构造不等式组，分析计算，即可得结果.
【详解】（1），，则，设切点，
所以，解得，
所以，即切点，
又切点P在切线上，代入解得，
（2），
①由，可得，
所以，，
令，解得，
当，即时，，
所以在为单调递增函数，所以；
当，即时，
当时，，为单调递减函数，
当时，，为单调递增函数，
所以，
当时，，可得，
所以当时，；
当时，，可得，
所以当时，，
当时，即时，在为单调递减函数，所以，
综上.
②由①可得，当时，在单调递增函数，
所以，即，
所以，
所以；
当时，在为单调递减函数，在为单调递增函数，
所以或，即或，
所以或
所以，
设，，，恒成立，
所以在（1,2）上为单调递减函数，所以，
所以在（1,2）上为单调递减函数，
所以；
当时，在为单调递减函数，
所以，即，
所以，
所以，
综上的最小值为.
解题的关键是熟练掌握导数的几何意义，并灵活应用，难点在于，讨论的单调性时，当时，在为单调递减函数，在为单调递增函数，求最大值，还需比较的大小，计算难度偏大，考查分析理解，计算求值的能力，属难题.
0
0
单调递增
极大值4
单调递减
极小值0
单调递增
↗
↘