浙江省温州市瓯海中学2025提前招生选拔考试数学试卷 含解析

这是一份浙江省温州市瓯海中学2025提前招生选拔考试数学试卷 含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1. 若 ，化简二次根式 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次根式有意义，得到 ，由已知条件得到 ，即可化简，
主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 有意义， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2. 若关于 的一元二次方程 有一个根为 2020，则方程 必
有根为（ ）
A. 2020 B. 2021 C. 2019 D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设 ，即
可改写为 ，由题意关于 x 的一元二次方程
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有一根为 ，即 有一个根为 ，所以 ，即可求出结论．
【详解】解：由 得到 ，
设 ，
所以 ，
而关于 x 的一元二次方程 有一根为 ，
所以 有一个根为 ，
则 ，
解得 ，
所以一元二次方程 有一根为 ．
故选：B．
3. 有 10 张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字：1 至 10，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取
三张卡片 a，b，c，则这三张卡片 a，b，c 的数字正好是直角三角形的三边长的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题能组成直角三角形的数组只有 3，4，5，和 6，8，10．由抽到 3，4，5 有 3×2×1= 6 种可能；
抽到 6，8，10 也有 6 种可能；抽出三张牌共有 10×9×8= 720 种可能；根据概率公式即可求解．
【详解】1~10 中能组成直角三角形的数组只有 3，4，5，
和 6，8，10.
抽到 3，4，5 有 3×2×1= 6 种可能；
抽到 6，8，10 也有 6 种可能；
抽出三张牌共有 10×9×8= 720 种可能；
数字正好是直角三角形的三边长的概率是：
故选：B
【点睛】本题主要考查等可能事件的概率的求法，等可能事件的概率常用公式：P(A)等于事件 A 可能出现
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的次数与所有可能出现的次数的比值，进行求解．
4. 如图，在四边形 中， ， ，四个三角形的面积分别为 ， ， ，
，若 ， ，则 等于（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由 ， ，求得△EFC∽△AFB 与△ECD∽△AFE，然后利用相似三角形
的面积比等于相似比的平方，根据 EC：AF=EF：AB=1：2，得出 ，进而求得 ，即可求得答
案．
【详解】解：∵ ， ，
∴∠CDE=∠FEA，∠DEC=∠DAF，
∴△ECD∽△AFE， ， ，
，
∵ ， ，
∴∠CFE=∠B，∠ECF=∠AFB，
∴△ECF∽△AFB，
∴ = ,
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∴
,
，
故选 C．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定与三角形面积的知识．解题时要注意数形结合思想的应用．
5. 两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一次，胜得一分，
和得半分，输得零分．若两名初三学生共得 8 分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样的分数，则参
赛的高中学生人数为（ ）
A. 7 B. 9 C. 14 D. 7 或 14
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二元方程的应用，根据意义列出方程是解题的关键．
设高中生有 人，高中生每人得 分．由题意可得： ，即 ，然后再运
用列举法即可解答．
【详解】解：设高中生有 人，高中生每人得 分．
由题意可得： ，
．
当 时， ，符合题意；
当 时， 不是 0.5 的整数倍，不符合题意；
当 时， ，符合题意．
故选 D．
6. 如图，在 中，已知 ， ， ， 为 的内切圆，点 D 是斜边
AB 的中点，则 为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】⊙O 与 AB 相切于点 E，连接 OE，则 OE⊥AB．根据勾股定理得 AB＝13，再根据切线长定理可以
求得 AE＝4．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 AD＝ ，DE＝ ．根据直角三角形内
切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是 2，从而求得 tan∠ODA 的值．
【详解】解：设⊙O 与 AB 相切于点 E，连接 OE，则 OE⊥AB．
∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∴AE＝ ，
∵⊙O 为△ABC 的内切圆，点 D 是斜边 AB 的中点，
∴AD＝ ，则 DE＝ ，
∴ r ，
∴tan∠ODA＝ ．
故选：A．
【点睛】本题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与
对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．
7. 已知二次函数 ，则下列结论一定正确的是（ ）
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A 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式，先利用 减去 ，整理，然后由二次函数的性质逐项分析判断即
可．
【详解】解：若 ，则 恒大于 0．令 ，
当 时，抛物线开口向下， 不可能恒大于 0，故选项 C，D 不符合题意．
当 ，即 时，需满足 ．
当 时，无法判断 是否小于 0，故选项 A 不符合题意．
当 时， ，
则 ，
故选：B．
8. 在 中， ，则 度数为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，过点 作 ，分高在 的内部和外部两种情况进行求解即可．
【详解】解： ∵ ，
过点 作 ，
①当高在 的内部时，
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设 ，
则： ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： 或
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，即 两点重合，
∴ ，
∴ ；
当 在 外部时，设 ，则： ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，不符合题意；
当 时， 重合， ，
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∴ ；
故选 D．
9. 方程 的根可视为直线 与双曲线 交点的横坐标，根据此法可推断方程
的实根 所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，根据交点求方程的解，由题意可得方程
的根 可视为抛物线 与双曲线 交点的横坐标，画出图像即可求解，运用数
形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：由 ，得 ，
∴方程 的根 可视为抛物线 与双曲线 交点的横坐标，
由函数图像可知，
，
故选： ．
10. 正方形 ，正方形 和正方形 的位置如图所示，点 在线段 上， ，则
的面积为（ ）
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A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质的运用及平行
线等分线段定理的运用，掌握性质以及定理是解题的关键．
结 合 正 方 形 和 平 行 线 的 判 定 与 性 质 证 明 ， 设 ， 则
，利用相似三角形的性质求得 ，从而可得 ，然后
结合平行线分线段成比例定理分析计算．
【详解】解： 四边形 均为正方形，
，
，
，．
，
，
设 ，则 ，
，
整理，得 ，
，
∴ 即 ，
，
，
，
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在正方形 中， ，
，
，
，
故选：B．
二、填空题（本题有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
11. 已知 ，则 的大小关系是_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，分别计算 ，进而比较大小，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 已知 ，则 _______； _______．
【答案】 ①. 2 ②. 4
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算．观察出 与 6 之间的关系，重新设元得到两个能运用平方
差公式求得积为定值的式子，据此求解即可．
【详解】解：令 ，则 ．
由 ①，得 ．
，
，即 ②．
可得 ．
∴ ．
故答案为：2；4．
13. 在等腰 中，设 ，请用含 的代数式表示 所有可能的度数_______，当 有三个
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不同的度数时 的取值范围是_______．
【答案】 ①. 或 或 ②. 且
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
（1）分三种情况：当 为顶角时，当 为底角时，若 为顶角或底角再分情况计算即可，
（2）分两种情况：①当 时；②当 时，若 为顶角，则 ，若
为底角， 为顶角，则 ，若 为底角， 为底角， 为底角，则
且当 且 且 即 时， 有三个不同的度数．
【详解】解：（1）分三种情况：
①当 为顶角时，
∴ ；
②当 为底角时，
若 为顶角，则 ；
若 为底角，则 ，
故答案为： 或 或 ，
（2）分两种情况：
①当 时， 只能为顶角，
∴ 的度数只有一个；
②当 时，
若 为顶角，则 ；
若 为底角， 为顶角，则 ，
当 且 且
即 时， 有三个不同的度数．
综上，当 且 ， 有三个不同的度数．
故答案为： 且 ．
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14. 关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】应用换元法， ，将原方程转化为 ，根据方程有
实根，及该实根的范围，列出 的范围，即可求解，
本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程的实根，解题的关键是：设 ．
【详解】解：设 ，则原方程变形为 ，
∵原方程有实数根，
方程 有实数根，
设 的两个实数根为 ，
∵ 是对称轴，
∴ ，
令 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故答案为：
15. 已知某函数的图象 与函数 的图象关于直线 对称，下列命题：①图象 与函数 的图
象交于点 ；②点 在图象 上；③图象 上的点的纵坐标都小于 4；④
是图象 上任意两点，若 ，则 ，其中真命题是_______（填序号）．
【答案】 ##
【解析】
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【分析】本题考查反比例函数图象及性质及轴对称的性质；根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；
根据点 关于 y=2 的对称点坐标在函数 图象上，即可判定②正确；由 上任意一点为
，则点 与 对称点的纵坐标为 可判断③错误；由关于 对称点性质可判断④不
正确；
【详解】解： 点 是函数 的图象的点，也是对称轴直线 上的点，
点 是图象 与函数 的图象交于点；
①正确；
点 关于 对称的点为点 ，
在函数 上，
点 在图象 上；
②正确；
中 ， ，
取 上任意一点为 ，
则点 与 对称点的纵坐标为 ；
图象 C 上的点的纵坐标不一定小于 4，故③错误；
于 对称点为 ， ，在函数 上，
， ，
若 ，则 ；
若 或 ，则 ；
④不正确；
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故答案为： ．
16. 已知 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得 ；设 ，由勾股定理可得 ，再根据余弦的
定义可得 、 ，最后整体代入计算即可．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
设 ，
∴由勾股定理可得 ．
， ，
．
故答案为： ．
17. 如图， 是 的直径，延长 至点 ，使 ，过 作 的割线 ，分别交 于
两点．设 ，则 的值为_______．
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【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，三角形内角和定理，三角形外角，正切，相
似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角．解题的关键在于对知识的熟练
掌握与灵活运用．
连结 ，过点 作 于点 ，结合圆周角定理合锐角三角函数的概念证明
， ，然后利用相似三角形的性质分析推理．
【详解】解：如图，连结 ，过点 作 于点 ，
，
∵ 为 直径，
，
，
，
在 中， ，
， ，
，
．
， ，
，
又 ，
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，
．
．
，
，
．
故答案为：2．
18. 对于三个函数 ，若无论 取何值， 总取 中的最大值，则
的最小值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了两直线相交的问题，根据直线解析式作出图形并利用数形结合的思想成为解题的关键．
先根据题意画出草图，然后根据图象确定 取最大值的点，最后联立两直线解析式构建解方程组求解即可．
【详解】解：如图：把 和 联立方程组得： ，解得： ，
∴交点 B 的坐标为 ，
把 和 联立方程组得： ，
解得 或 ，
∴交点 C 的坐标为 ，交点 D 的坐标为 ，
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把 和 联立方程组得： ，
解得 或 ，
∴交点 A 的坐标为 ，交点 G 的坐标为 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
总取 ， ， 中的最小值，
的最小值为 1，
故答案为：1．
三、解答题（本题有 6 小题，共 70 分）
19. （1）因式分解： ．
（2）设 表示不超过 的最大整数（例如： ， ），求方程 的解．
【答案】（1） ；（2） 或 或
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解一元一次方程与一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并充分理解新
定义 是解题的关键．
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（1）先将原式展开，对其进行重新分组得到 ，再分解即可；
（2）首先令 ，可得方程 ，求得 的值，然后由 ，可得关于 的不
等式组，解不等式组即可求得 的值，则代入方程即可求得 的值．
【详解】解：（1）原式
（2）令 ，则原方程变形为 ，解得 ，
易知 ，
，解得 ，
或 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，原方程的解为 或 或 ．
20. 如图，在 中， 分别是 的中点， 与 交于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）求 ．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了中位线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点
是解答本题的关键．
（1）连接 交 于点 ，根据中位线的性质得 ，继而得到 ，证明
，得 ，即 为 的中点，结合 为 的中点，即可得证；
（2）由 得 ，即可求解．
【小问 1 详解】
证明：如图，连接 交 于点 ，
分别为 的中点，
，
为 的中点，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，即 为 的中点，
又 为 的中点，
；
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【小问 2 详解】
解：由(1)可知 ， ，
．
21. 如图，在 8×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点均在小正方形的顶点
上．
（1）在图 1 中找一点 D（点 D 在小正方形的顶点上），使四边形 ABCD 是凸四边形，且∠ADC＝∠ACB：
（2）在图 2 中找一点 E（点 E 在小正方形的顶点上），使四边形 ABCE 是凸四边形，且∠AEC＝∠ABC；
（3）直接写出（2）问中所画四边形 ABCE 的面积．
【答案】（1）画图见解析；
（2）画图见解析； （3）10．
【解析】
【分析】（1）根据网格可得∠ACB=90°，然后以 AC 为斜边作∠ADC=90°即可；
（2）根据平行四边形两组对角分别相等，过 A 作 BC 和 AB 的平行线，两线交点就是 E；
（3）求出所画四边形 ABCE 的面积．
【小问 1 详解】
如图 1 所示：
【小问 2 详解】
如图 2 所示：
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【小问 3 详解】
．
【点睛】此题主要考查了复杂作图及求四边形的面积，关键是掌握平行四边形的性质和直角三角形的判定
和作法．
22. 如图，直线 与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ，过点 作
轴于点 ，且 ．
（1）求 的值．
（2）设点 是反比例函数 图象上的点，在 轴上是否存在一点 ，使得 最
小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点 的坐标为
【解析】
【分析】（1）先求出 ， ，解直角三角形得出 ，从而得出点 的横坐标为 ，得
出 ，然后求出反比例函数解析式即可；
（2）取点 M 关于 y 轴的对称点 ，连接 ，交 y 轴于点 P，根据轴对对称得出 ，说明
，根据两点之间线段最短，得出此时 最小，即 最小，先求出
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解析式，然后求出点 P 坐标即可．
【小问 1 详解】
解：把 代入 得： ，
∴ ， ，
，
，
轴，
点 的横坐标为 ，
又 点 在直线 上，
，
∴点 在 上，
．
【小问 2 详解】
解：存在．
取点 M 关于 y 轴的对称点 ，连接 ，交 y 轴于点 P，如图所示：
根据轴对称可知： ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 最小，
在 上，
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，即 ，
，
∴点 关于 轴的对称点 的坐标为 ．
设 的解析式为 ，则：
，
解得： ，
∴ 的解析式为 ．
令 ，得 ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，轴对称的性质，求正切函数值，求一次函数解析式，
解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
23. 如图，已知 的圆心为点 ，抛物线 过点 ，与 交于 两点，连接
、 ，且 ， 两点的纵坐标分别是 2、1．
（1）请直接写出点 的坐标，并求 的值；
（2）直线 经过点 ，与 轴交于点 ．点 （与点 不重合）在该直线上，且 ，请
判断点 是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线 与 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
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【答案】（1）B（2,2）， ；（2）点 在抛物线上，见解析；（3）满足条件的直线解析式为：
或 ．
【解析】
【分析】（1）证明 ，即可求解；
（2）点 在直线 上，则设 的坐标为 ，由 ，即可求解；
（3）分当切点在 轴下方、切点在 轴上方两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）过点 分别作 轴的垂线交于点 ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
故点 的坐标分别为 、 ，
将点 坐标代入抛物线 并解得：
，
故抛物线的表达式为： ；
（2）将点 坐标代入 并解得： ，则点 ，
点 的坐标分别为 、 、 、 ，
则 ，
点 在直线 上，则设 的坐标为 ，
∵ ，则 ，
解得： 或 6（舍去 ），
故点 ，
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把 代入 ，
故点 在抛物线上；
（3）①当切点在 轴下方时，
设直线 与 相切于点 ，直线与 轴、 轴分别交于点 、 ，连接 ，
， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即： ，
解得： 或 （舍去 ），
故点 ，
把点 坐标代入 并解得：
直线的表达式为： ；
②当切点在 轴上方时，
直线的表达式为： ；
故满足条件 直线解析式为： 或 ．
【点睛】考核知识点：二次函数和相似三角形.数形结合分析问题是关键.特别是熟练掌握圆的性质和函数性
质.
24. 如图，已知 的半径都为 ，且三圆有公共点 ．
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（1）如图 ，若点 在 上，求 的面积．
（2）如图 ，若 另一交点为 另一交点为 另一交点为 ，且 ， 均
为不同的点，证明： ．
【答案】（1） ；
（2）见解析．
【解析】
【分析】 连结 ， ， ， ， ， ，根据圆的基本性质可知
，可证四边形 为菱形，利用锐角三角函数可以求出 ，
再根据菱形的面积公式可得 ；
根据圆的基本性质可得四边形 、四边形 、四边形 均为菱形，根据菱形的性质可证
， ， ，利用 可证结论成立．
【小问 1 详解】
解：如下图所示，连结 ， ， ， ， ， ，
，
， 为正三角形，四边形 为菱形，
， ，
，
；
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小问 2 详解】
证明：如下图所示，连结 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
四边形 为菱形，
， ， ， ，
同理四边形 和 均为菱形，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
四边形 ， ， 均为平行四边形，
， ， ，
．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判
定、锐角三角函数，解决本题的关键是根据图形的性质得到边之间的数量关系和位置关系．