江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选释题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
2. 在中，点在线段上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中，由，得，则，
所以.
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
则.
故选：B.
4. 已知向量.若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】因，则，
因，，则，
得.
故选：C.
5. 已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知，则.
因为在上的投影向量为，且投影向量的坐标为，
所以.
将，代入上式可得：，即，
那么，解得.
设向量与的夹角为，，可得：.
因为，且，所以.
则向量与的夹角为.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因，
，
可得，
则.
故选：D.
7. 已知，其中且，其中，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】∵，∴，
，
整理得：，
由于，，所以，，
左右同时乘以，则，即.
故选：B.
8. 已知中，，若所在平面内一点满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取线段中点，则，则，
则为线段的中点，
，
则，
则
.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式的值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A：因为，
所以原式，A不符合；
对于B：原式，B符合；
对于C：原式，C符合；
对于D：原式，D符合.
故选：BCD.
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若为非零向量，且，则
B. 对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得
C. 在中，若，则与的面积之比为
D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】BC
【解析】A.若，则，则或，故A错误；
B.此为共线定理，故B正确；
C.令 因，
则，则为的重心，故，
因，
同理可得，则，故C正确；
D. ，当与共线时，有，得，
因与的夹角为锐角，
则且与不共线，则且，故D错误.
故选：BC.
11. 如图，在平面四边形中，已知为的中点，为对角线的中点，下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. 直线一定过的中点 D.
【答案】ACD
【解析】连接，因分别为的中点，
则，，
则四边形是平行四边形，故C正确；
则，则A选项正确；
，
则，则B选项错误；
D.，
则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 已知，且是第一象限角，那么__________.
【答案】
【解析】因为为第一象限角，则，
所以，
又，所以，
.
13. 在中，已知，点是的中点，点在上，且，则__________.
【答案】
【解析】在中，因为点是的中点，点在上，且，
则，，
则
.
14. 式子的值为__________.
【答案】
【解析】
.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知是平面内两个不共线的向量，.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若四边形为平行四边形，点，且，求点的坐标.
解：（1）.
因为三点共线，所以存在实数，使得，
即，得.
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，
解得
（2）设，则；
因为，则，
因为四边形为平行四边形，所以.
所以，解得，即点的坐标为.
16. 已知角，且.
（1）求的值；
（2）求角的值.
解：（1）法一：由，
则，
所以，
解得：或，
又，则，所以，
所以.
法二：因为，所以，
又，则，
则，所以，即，
又，则，即，
所以.
（2）因为，所以，
法一：因为①，②
由①②得：，
所以，
又，则，
所以.
法二：则，
所以.
由，则，
由，则，
又在上为单调递增函数，
所以，故.
17. 在平面直角坐标系中，向量，其中.
（1）若，求角的值；
（2）记，若，求的值.
解：（1）因为，则，
化简得：，即，
又，即，
所以，即.
（2）由
由，即，
令，则，即，
则
18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记.
（1）请用来表示平行四边形的面积；
（2）若.
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中），求的取值范围.
解：（1）过点作的垂线，垂足为，
在中，，
中，，则，
所以，
所以
（2）①若，由题意可得，
由（1）知：，
故平行四边形的面积
，
由于，故，
故当时，即时，取得最大值为.
②根据题意，建立如图所示的坐标系，
则，即，
又，则，
因，即，
则，，
解得：，，
，
由点是弧上一动点，则，则，
所以即.
则取值范围为.
19. 如图，在中，.若点分别在边上，且满足，直线与相交于点.
（1）求的最小值；
（2）当时.
①求的值；
②计算的值.
解：（1）由，
又，
所以
又点在边上，则且，解得：
所以当时，.
（2）①法一：过点作的平行线，交于点，
当时，，
则，即，又，
则在中，；
法二：由三点共线，则存在实数，使得，
则；
又三点共线，则存在实数，使得，
则，
又是不共线的向量，由平面向量基本定理得：，
解得：，
所以，即；
②由①可知
，
所以，
即.