2025年安徽省池州市普通高中高考数学质检试卷（含答案）

这是一份2025年安徽省池州市普通高中高考数学质检试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知(1−i)z=3+i，则z−=( )
A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i
2.已知集合A={x|y= x−1}，B={x∈z|(x+1)(x−3)0，若f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0有4个互不相同的根，则a的取值范围为( )
A. (2,3)B. (2,3]C. (3,+∞)D. [3,+∞)
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的右支上一点，M在y轴上的射影为H，O为坐标原点.若HN=3NF2，F2H⋅MN=0，ON//F1M，则C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 52D. 62
8.已知直线l：xcsθ+ysinθ+1=0(θ∈R)，圆C：(x−3)2+(y−4)2=4，过l上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，使四边形PMCN的面积为8 2的点P有且仅有一个，则此时直线MN的方程为( )
A. 3x+4y−20=0B. 9x+12y−65=0
C. 11x+17y−81=0D. 19x+23y−129=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某弹簧振子(简称振子)在完成一次简谐运动的过程中，时间x(单位：秒)与位移y(单位：毫米)之间满足函数关系为y=2sin(3x−π6),x∈[0,+∞)，下列叙述中正确的是( )
A. 当时间x=π时，该简谐运动的位移y=1
B. 该简谐运动的初相为−π6
C. 该函数的一个极值点为π18
D. 该函数在[0,π6]上单调递增
10.定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线C：2x2+3y2+x2y2=6，下列说法正确的是( )
A. 曲线C是“和美曲线”
B. 点( 2,0)是曲线C的一个顶点
C. 曲线C所围成的封闭图形的面积S>4 6
D. 当点(x0,y0)在曲线C上时，y02≤6x02+3
11.在三棱锥A−BCD中，给定下列四个条件：
①AB⋅AC=AC⋅AD=AD⋅AB；
②AB⋅BC=AC⋅CD=AD⋅DB
③AB⋅CD=AC⋅DB=AD⋅BC；
④AB⋅DB=AC⋅BC=AD⋅CD．
下列组合条件中，一定能断定三棱锥A−BCD是正三棱锥的有( )
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在等差数列{an}中，若a1=2，a3=6，则a2+a6= ______．
13.在学校三月文明礼仪月中，学生会4位干事各自匿名填写一张《校园设施改进建议卡》，老师将建议卡打乱顺序后，要求每人随机抽取一张进行互评审核，则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡的概率为______．
14.定义在R上的函数f(x)满足(x−8)⋅f(x)≥0.若∃t∈N∗，对∀x，y∈R，f(x⋅|f(y)|)⋅f(x+f2(y))=t，则t= ______，并写出f(x)的一个函数解析式______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=π3，且2sin(A−C)=sinB．
(1)求sinB；
(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求AB边上高线的长．
①a=3 21；②a=2b；③△ABC的周长为7 3+5 21．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=AD=2，CB=CD=2 3．
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PC= 2PA=4 2，求平面PAC与平面PCD夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C的长轴长是短轴长的 2倍，且左、右焦点分别为F1(−3,0)，F2(3,0)．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足QF2=2PQ，求|OQ|的最小值，并指出此时点Q的坐标．
18.(本小题17分)
已知f(x)=lnx−ax−bx．
(1)若a=2，b=0，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)设ba=k，是否存在k，使得曲线y=f(x)与y=f(−1x)关于原点对称？若存在，求k；若不存在，说明理由；
(3)证明：对任意a∈(0,1e)，存在b∈(0,+∞)，使得f(x)有两个不同的零点．
19.(本小题17分)
设正项数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)，如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak0)，且2a=2 2b，c=3，
所以a= 2ba2=b2+9，解得a2=18，b2=9，
所以C的方程为x218+y29=1．
(2)设点Q(x,y)，P(x0,y0)，所以QF2=(3−x,−y)，PQ=(x−x0,y−y0)，
由QF2=2PQ得3−x=2(x−x0)−y=2(y−y0)，解得x0=3x−32y0=3y2，
又x0218+y029=1，所以118(3x−32)2+19(3y2)2=1，化解得(x−1)2+2y2=8，
所以y2=4−12(x−1)2，由y2≥0得12(x−1)2≤4，解得1−2 2≤x≤1+2 2，
所以|OQ|= x2+y2= x2+4−12(x−1)2= 12x2+x+72≥ 3，
当且仅当x=−1∈[1−2 2,1+2 2]时，取“=”，则y2=2，即y=± 2，
所以|OQ|的最小值为 3，此时点Q的坐标为(−1, 2)或(−1,− 2)．
18.解：(1)函数f(x)=lnx−2x，求导得f′(x)=1x−2，则f′(1)=−1，而f(1)=−2，
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+2=−(x−1)，即x+y+1=0．
(2)若存在k，则b=ak，f(x)=lnx−ax−akx，曲线y=f(−1x)=ln(−1x)+akx+ax，
又曲线y=f(x)关于原点对称的函数为y=−ln(−x)−ax−akx，
依题意，ln(−1x)+akx+ax=−ln(−x)−ax−akx，整理得(ak+a)(x+1x)=0，
所以k=−1．
(3)函数f(x)=lnx−ax−bx的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=1x+bx2−a=−ax2+x+bx2，
令g(x)=−ax2+x+b，x>0，依题意，Δ=1+4ab>0，g(0)=b>0，
方程g(x)=0在(0,+∞)上有唯零点x0，当00；
当x>x0时，g(x)1a，
而f(1a)=−lna−1−ab，对任意a∈(0,1e)，−lna−1∈(0,+∞)，
取0f(1a)≥0，
又当x从大于0的方向趋近于0时，f(x)→−∞；当x→+∞时，f(x)→−∞，
则对任意a∈(0,1e)，任意b∈(0,−ln a+1a]使得f(x)有两个不同的零点，
所以对任意a∈(0,1e)，存在b∈(0,+∞)，使得f(x)有两个不同的零点．
19.解：(1)当n=2时，a112a3，
所以3∉A(12)，当n=4时，a1