2024-2025学年广东省中山市高二下册3月月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省中山市高二下册3月月考数学质量检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．2B．1C．8D．4
2．已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
3．若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．1B．C．D．
4．设函数的导函数为，若，则=（ ）
A．B．C．D．
5．某话剧有5名女演员和2名男演员，演出结束后，全体演员站成一排登台谢幕，若2名男演员不相邻，则不同的排法有（ ）
A．3600种B．2400种C．360种D．240种
6．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A．B．
C．D．
7．已知函数在处有极值8，则等于（ ）
A．B．16C．或16D．16或18
8．已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.选对部分得部分分，有错选得0分）
9．下列求导正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有三个极大值点
D．函数在内可能没有零点
11．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程是
B．函数有极大值，且极大值点
C．
D．函数有两个零点
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．
13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 .（结果用数值表示）
14．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分13分）
已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
（本题满分15分）
用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数
(1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？
(2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？
(3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？
17.（本题满分15分）
茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，他来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．他强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？
18.（本题满分17分）
已知函数．
(1)当时，求函数的单调递减区间；
(2)求函数在上的最小值．
19.（本题满分17分）
已知函数，，.
(1)证明.
(2)讨论函数在上的零点个数.
(3)当，时，证明：，.
答案
1．D
【分析】根据导数的定义直接计算即可.
【详解】由题意得，
所以．
故选：D.
2．A
【分析】根据瞬时速度含义，求导运算即可.
【详解】因为物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，
所以，令，得.
故选：A
3．B
【分析】设出切点横坐标，求导，通过斜率得出横坐标方程，可得结果.
【详解】设切点的横坐标为，则，则（舍去）.
故选:B.
4．C
【分析】对函数求导后，令即可求解.
【详解】因为，
所以，令，则，
解得.
故选：C.
5．A
【分析】利用插空法，先排女演员，再让男演员插空排列.
【详解】先将5名女演员排成一排，再将2名男演员插空进去，
共有种排法．
故选：A.
6．A
【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
7．A
【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】，
若函数在处有极值8，
则 且，即 ，
解得：或 ，
当时，，此时不是极值点，故舍去，
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故，
故选：A
8．C
【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围.
【详解】因为函数在上是单调递增函数，
所以对任意恒成立，所以，
令，则，
所以在内为减函数，
所以，则．
故选：C
9．AC
【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，简单复合函数的导数对选项逐一分析即可得到答案．
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误．
故选：AC．
10．BD
【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，利用特殊值判断即可.
【详解】对于AB，设的根为，且，
则由图可知，当时，当时，当时，
当时，
所以函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
在内单调递减，
所以函数在区间内有极小值，
当时，是函数在区间内的最小值，
所以A错误，B正确；
对于C，函数在区间内有极大值，
即函数在内有两个极大值点，所以C错误；
对于D，当时，函数在内没有零点，所以D正确．
故选：BD．
11．AB
【分析】对于A，求出即可验算；对于B，设，通过导数发现的单调性，进一步结合零点存在定理即可判断；对于C，由B选项结论即可判断；对于D，由零点的定义即可判断.
【详解】对于A，，所以，
所以在点处的切线方程是，即，故A正确；
对于B，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
令，则，所以，
而，
由零点存在定理可知的零点，即函数有极大值，且极大值点，故B正确；
对于C，由以上分析可知在单调递减，且，所以，故C错误；
对于D，，所以只有唯一的一个零点即.
故选：AB.
关键点点睛：判断B选项的关键是构造函数，通过求导来得出其函数性质，由此即可顺利得解.
12．/
【分析】根据排列数的运算直接求解即可.
【详解】.
故答案为.
13．
【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】在天里，连续天的情况，一共有种，
则剩下的人全排列有种排法，
故一共有种排法．
故．
14．
【分析】即导函数在在区间内有零点.
【详解】由题意知，
因为在区间上不单调，
即在区间有零点，
又，即为的零点在区间内，
所以解得，即m的取值范围是．
故
15．(1)
(2)和
【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；
（2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．
【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设曲线与过点的切线相切于点，
设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，
则，解得或，
则曲线过点处的切线方程为和.
16．(1)60
(2)42
(3)60
【分析】（1）根据当末位是0和末位是2或4，结合分类计数原理，即可求解；
（2）分万位是4、万位为3千位为2,4和万位为3千位为1，结合分类计数原理，即可求解；
（3）先排0,1,3，根据0排在三个数的第一位和0不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，当末位是0共有个，当末位是2或4共有个,
所以共有偶数为个.
（2）解：由题意，万位是4共有个，万位为3千位为2或4共有个，
万位为3千位为1共有个，
所以大于31000的数共有个.
（3）解：先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有个；
第二种0不排在三个数的第一位，共有个
所以数字2和4不相邻的数共有个.
17．（1）；（2）当年产量为1百件，最大利润为25万元.
【分析】（1）由题意得可得，代入化简，即可得答案.
（2）由（1）得，，利用导数求得的单调性及最值，分析整理，即可得答案.
【详解】解：（1）依题意得：
（2）由（1）得，，
则，
令，得或（舍去）
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有
答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元．
18．(1)
(2)
【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值.
【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，
则，由得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2），其中，
当时，对任意的，，在上单调递增，
此时，；
当时，对任意的，，在上单调递减，
此时，；
当时，令，可得，列表如下：
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，.
综上所述，.
19．(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值得解，
（2）求导，对分奇偶，根据函数的单调性求解，
（3）根据（2）的结论可得，将问题转化为证明，根据（1）的结论可得，即可利用对数的运算性质化简求解.
【详解】（1）因为，，所以.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而，则.
（2）因为，，
所以，
当时，，当时，，
故，
当为奇数时，在上恒成立，则在上单调递减，
因为，，所以在上的零点个数为1.
当为偶数时，，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而，
所以在上的零点个数为0.
综上可得：当为奇数时，在上的零点个数为1，
当为偶数时，在上的零点个数为0.
（3）由（2）可知，当，时，
要证，，
即证，
即证，
即证，
即证.
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立.
令，可得，
故
从而，.
方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
A
A
A
C
AC
BD
题号
11









答案
AB









减
极小值
增