2025年河南省鹤壁市高考数学二模试卷（含答案）

这是一份2025年河南省鹤壁市高考数学二模试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=( )
A. [0,1]B. [−1,4]C. [−1,0]D. [1,4]
2.若复数(2+i)(a+i)在复平面内对应的点位于y轴上，则实数a=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
3.已知向量a=(1,3)，b=(−2,4)，则b在a上的投影向量的长度为( )
A. 5B. 10C. 10D. 20
4.如图，曲线AOB是抛物线C：x2=4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|=4，则点B到C的焦点的距离为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2b>c>d，由这组数据得到的新样本数据为a−2，b−2，c+2，d+2，则( )
A. 两组数据的极差一定相等B. 两组数据的平均数一定相等
C. 两组数据的中位数可能相等D. 两组数据的方差不可能相等
10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，斜率为 15且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|=|AB|，则( )
A. 点F1到C的渐近线的距离为 3
B. |AB|=10
C. C的离心率为2
D. 分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为 15
11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有tanℎ(x)=ex−e−xex+e−x，sig(x)=ex1+ex，设tanℎ(x)的值域为D，sig(x)的值域为E，则下列结论正确的是( )
A. E⊆D
B. i=12025[sig(i)+sig(−i)]=2025
C. 方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为1
D. 若关于x的不等式sig(ex+e−x)+sig(−m2+2m+1)>1恒成立，则实数m的取值范围为(−1,3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A的平分线AE交BC于点E，且AE=23，c=1，b=2，则a= ______．
14.记[x]表示不超过x的最大整数.若正项数列{an}满足an2+2 n⋅an−3n=0，bn=[i=1n21ai]，则数列{bn}的前101项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}满足2a2+a3=0，a4=10，数列{bn}的首项为9，且{an+bn}是公比为2的等比数列．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)探究{bn}的单调性，并求其最值．
16.(本小题15分)
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是14，乙每次击中目标的概率是12，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．
(Ⅰ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
(Ⅱ)设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=aex．
(Ⅰ)当a≥1e时，证明：f(x)≥lnx+1；
(Ⅱ)当a>0时，若函数ℎ(x)=f(x)−sinx−a在区间(0,π2)内有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2 3．
(Ⅰ)求C的方程．
(Ⅱ)若C上的两点(x1,y1)，(x2,y2)满足y1y2x1x2=−b2a2，则称点(x1,y1)，(x2,y2)为C上的一对伴点，设A为C上位于第一象限的一点，且点A的横坐标为1．
(i)证明：点A在C上共有两个伴点；
(ii)设(i)中的两个伴点分别为G，H，若斜率为32的动直线l与C交于点M，N，点G，H，M，N组成四边形MGNH，求四边形MGNH的面积的最大值．
19.(本小题17分)
球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图(1)，球O的半径R= 3，A，B，C，D为球O的球面上的四点．
(Ⅰ)若球面三角形ABC的三条边长均为 3π3，求此球面三角形一个内角的余弦值．
(Ⅱ)在球O的内接三棱锥D−ABC中，DB⊥平面ABC，AB：AC：BC= 3： 2：1，直线DC与平面ABC所成的角为π3．
(i)若M，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值；
(ii)如图(2)，若P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点(与点B不重合)，当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.D
6.B
7.A
8.D
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.π3
13. 7
14.10101
15.解：等差数列{an}满足2a2+a3=0，a4=10，数列{bn}的首项为9，且{an+bn}是公比为2的等比数列．
(Ⅰ)设数列{an}的公差为d，
由题可得2a2+a3=3a1+4d=0a4=a1+3d=10，解得a1=−8d=6，
所以an=a1+(n−1)d=−8+6(n−1)=6n−14，
即数列{an}的通项公式为an=6n−14．
(Ⅱ)因为b1=9，a1=−8，所以a1+b1=1，又an=6n−14，
由题知an+bn=6n−14+bn=1⋅2n−1=2n−1，得到bn=2n−1−6n+14，
所以bn+1−bn=2n−1−6，当n=1，2，3时，bn+1−bn0，
所以b1>b2>b3>b40)，则AB= 3a,AC= 2a,BD= 3a，所以AD= 6a，
由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又BD∩BC=B，
所以AC⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AC⊥CD，
因为直线DC与平面ABC所成的角为π3，所以∠DCB=π3，
易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，
即AD为球O的直径，所以AD= 6a=2 3,a= 2，
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
(i)由题可知C(0,0,0),A(0,2,0),B( 2,0,0),D( 2,0, 6)，
则AD=( 2,−2, 6),BC=(− 2,0,0),BD=(0,0, 6)，
设与AD,BC都垂直的向量为n=(x,y,z)，
则由n⊥AD，n⊥BC，可得AD⋅n= 2x−2y+ 6z=0,BC⋅n=− 2x=0,
令z= 6，则n=(0,3, 6)，
所以线段MN长度的最小值为|BD⋅n||n|=6 15=2 155；
(ii)设BG=t,t∈(0, 6],
由题可知P(0,1,0),Q( 22,0,0),G( 2,0,t),O( 22,1, 62)，
则CO=( 22,1, 62),PQ=( 22,−1,0),QG=( 22,0,t)，
设平面OBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则由m⊥BC，m⊥CO，可得m⋅BC=− 2x1=0,m⋅CO= 22x1+y1+ 62z1=0,
取z1=−2，可得m=(0, 6,−2)，
设平面GPQ的一个法向量为p=(x2,y2,z2)，
则由p⊥PQ，p⊥QG，可得p⋅PQ= 22x2−y2=0,p⋅QG= 22x2+tz2=0,
取x2= 2t，可得p=( 2t,t,−1)，
设平面OBC与平面GPQ的夹角为θ，
因为csθ=|cs|=|m⋅p||m||p|=| 6t+2| 10⋅ 3t2+1= 55×| 3t+ 2| 3t2+1
= 55× ( 3t+ 2)23t2+1= 55× 1+2 6t+13t2+1，
令s=2 6t+1，则s∈(1,13],t=s−12 6,3t2=(s−1)28,
可得2 6t+13t2+1=s(s−1)28+1=8ss2−2s+9=8s+9s−2≤82 s⋅9s−2=86−2=2，
当且仅当s=3，即t= 66时等号成立，此时csθ取得最大值，
故BG= 66．
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164