河南省鹤壁市2025年高考数学二模试卷（含解析）

这是一份河南省鹤壁市2025年高考数学二模试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=( )
A. [0,1]B. [−1,4]C. [−1,0]D. [1,4]
2.若复数(2+i)(a+i)在复平面内对应的点位于y轴上，则实数a=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
3.已知向量a=(1,3)，b=(−2,4)，则b在a上的投影向量的长度为( )
A. 5B. 10C. 10D. 20
4.如图，曲线AOB是抛物线C：x2=4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|=4，则点B到C的焦点的距离为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2b>c>d，由这组数据得到的新样本数据为a−2，b−2，c+2，d+2，则( )
A. 两组数据的极差一定相等B. 两组数据的平均数一定相等
C. 两组数据的中位数可能相等D. 两组数据的方差不可能相等
10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，斜率为 15且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|=|AB|，则( )
A. 点F1到C的渐近线的距离为 3
B. |AB|=10
C. C的离心率为2
D. 分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为 15
11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有tanℎ(x)=ex−e−xex+e−x，sig(x)=ex1+ex，设tanℎ(x)的值域为D，sig(x)的值域为E，则下列结论正确的是( )
A. E⊆D
B. i=12025[sig(i)+sig(−i)]=2025
C. 方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为1
D. 若关于x的不等式sig(ex+e−x)+sig(−m2+2m+1)>1恒成立，则实数m的取值范围为(−1,3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A的平分线AE交BC于点E，且AE=23，c=1，b=2，则a= ______．
14.记[x]表示不超过x的最大整数.若正项数列{an}满足an2+2 n⋅an−3n=0，bn=[i=1n21ai]，则数列{bn}的前101项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}满足2a2+a3=0，a4=10，数列{bn}的首项为9，且{an+bn}是公比为2的等比数列．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)探究{bn}的单调性，并求其最值．
16.(本小题15分)
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是14，乙每次击中目标的概率是12，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．
(Ⅰ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；
(Ⅱ)设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=aex．
(Ⅰ)当a≥1e时，证明：f(x)≥lnx+1；
(Ⅱ)当a>0时，若函数ℎ(x)=f(x)−sinx−a在区间(0,π2)内有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2 3．
(Ⅰ)求C的方程．
(Ⅱ)若C上的两点(x1,y1)，(x2,y2)满足y1y2x1x2=−b2a2，则称点(x1,y1)，(x2,y2)为C上的一对伴点，设A为C上位于第一象限的一点，且点A的横坐标为1．
(i)证明：点A在C上共有两个伴点；
(ii)设(i)中的两个伴点分别为G，H，若斜率为32的动直线l与C交于点M，N，点G，H，M，N组成四边形MGNH，求四边形MGNH的面积的最大值．
19.(本小题17分)
球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图(1)，球O的半径R= 3，A，B，C，D为球O的球面上的四点．
(Ⅰ)若球面三角形ABC的三条边长均为 3π3，求此球面三角形一个内角的余弦值．
(Ⅱ)在球O的内接三棱锥D−ABC中，DB⊥平面ABC，AB：AC：BC= 3： 2：1，直线DC与平面ABC所成的角为π3．
(i)若M，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值；
(ii)如图(2)，若P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点(与点B不重合)，当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题可得：A={x|−1≤x≤1}，B={x|0≤x≤4}，
所以A∩B={x|0≤x≤1}．
故选：A．
分别解出满足集合A，B的不等式，再去求两集合的交集．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为(2+i)(a+i)=2a−1+(a+2)i在复平面内对应的点位于y轴上，
所以2a−1=0，即a=12．
故选：C．
根据复数的乘法运算和几何意义，计算即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：向量a=(1,3)，b=(−2,4)，
则a⋅b=−2+12=10，|a|= 1+9= 10，
则b在a上的投影向量的长度为|a⋅b||a|=10 10= 10．
故选：B．
利用公式|a⋅b||a|计算即可．
本题主要考查投影向量长度的求解，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：已知曲线AOB是抛物线C：x2=4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|=4，
则C的焦点坐标为(0,1)，点B(2,1)，
所以点B到C的焦点的距离为2．
故选：C．
求出点B坐标，进而可得解．
本题考查了抛物线的性质，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)=sin(2x+φ)(−π21时，有ln(a+2)d，
则新样本数据为2，1，4，3，这两组数据一样，故方差可能相等，错误．
故选：BC．
举反例，如数据为5，4，2，1判断A、C；如数据为4，3，2，1判断D，根据平均数的定义判断B．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，斜率为 15且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|=|AB|，
双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)，则a=1，
对于A，C，连接BF1，由题意得tan∠BF2F1= 15，∠BF2F1为锐角，
所以sin∠BF2Fcs∠BF2F= 15sin2∠BF2F+cs2∠BF2F=1，
解得cs∠BF2F1=14,sin∠BF2F1= 154，
由于|AF1|=|AB|，所以|BF2|=|AB|−|AF2|=|AF1|−|AF2|=2a=2，
又|BF1|−|BF2|=2a=2，故|BF1|=4，
设|F1F2|=2c(c>0)，
在△F1F2B中，由余弦定理可得|BF1|2=|F1F2|2+|BF2|2−2|F1F2||BF2|cs∠BF2F1，
即16=(2c)2+4−2×2c×2×14，解得c=2(负值舍去)，
故离心率为ca=2，
点F1到C的渐近线的距离，即b= c2−a2= 3，故A，C正确；
对于B，设|AF2|=m(m>0)，则|AF1|=|AB|=2+m，
在△F1F2A中，由余弦定理可得(2+m)2=16+m2−2×4×m×(−14)，解得m=6，
故|AB|=2+m=8，故B错误；
对于D，因为|BF1|=|F2F1|=4，所以△BF1F2为等腰三角形，
过点F1作F1E⊥BF2于点E，因为|F2F1|=|BF1|=4，所以E为BF2中点，
易知分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E，
且|F1E|= 42−12= 15，故D正确．
故选：ACD．
利用双曲线的定义以及余弦定理可求得|F1F2|=4，从而可求得c=2，即可判断选项A，C；用余弦定理和双曲线的定义可求得|AB|判断选项B；点F1作F1E⊥BF2于点E，易知分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E，勾股定理可求公共弦长，即可求解选项D．
本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，由于tanℎ(x)=ex(ex−e−x)ex(ex+e−x)=e2x−1e2x+1=1−2e2x+1，
因此函数tanℎ(x)在R上为增函数，且函数tanℎ(x)的值域为(−1,1)=D，
又因为sig(x)=ex1+ex=11+e−x∈(0,1)=E，因此E⊆D，所以选项A正确；
对于选项B，由于sig(x)+sig(−x)=ex1+ex+e−x1+e−x=ex1+ex+11+ex=1，
因此i=12025[sig(i)+sig(−i)]=2025，所以选项B正确；
对于选项C，由于2sig(x)=1+tanx，因此sig(x)=12+12tanx，
根据B知函数sig(x)图象关于点(0,12)对称，又因为y=12+12tanx图象也关于点(0,12)对称，
因此两函数图象的交点也关于点(0,12)对称，
那么方程2sig(x)=1+tanx的所有实根之和为0，因此选项C错误；
对于选项D，易知函数sig(x)为增函数，
根据题得sig(ex+e−x)>1−sig(−m2+2m+1)=sig(m2−2m−1)，
所以ex+e−x>m2−2m−1，而ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当x=0时等号成立，
因此m2−2m−1