坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）解析版-中考数学二轮专题练习

这是一份坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）解析版-中考数学二轮专题练习，共73页。试卷主要包含了2）．等内容，欢迎下载使用。
题型一：坐标系中点的坐标规律问题
1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：
1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；
2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律．
2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：
1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；
3）找算式中数字与序号间的变化规律；
4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可．
【详解】解：由图得，，…
点C的位置每4个一循环，
，
∴在第三象限，与，，，…
符合规律，
∴坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
【变式1-1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键．
【变式1-2】难点同时分析周期变化和递增变化的规律
（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为 ，点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据旋转角度为，可知每旋转6次后点又回到轴的正半轴上，故点在第四象限，且，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为，
∴，
∵每次旋转角度为，
∴6次旋转，
第一次旋转后，在第四象限，，
第二次旋转后，在第三象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第二象限，，
第五次旋转后，在第一象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
……
如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到轴正半轴，
∵，
点在第四象限，且，
如图，过点作轴于，

在中，，
∴，
，
∴点的坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
【变式1-3】难点结合函数,利用函数解析式求点坐标
1.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰直角三角形的判定和性质．分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，设，则，点，则点的横坐标为，再根据点在反比例函数 的图象上可求出，进而得点的横坐标为4，设，同理，则点，点的横坐标为，然后可求出，进而得点的横坐标为，设，则，点，点的横坐标为，然后求出，进而得点的横坐标为，同理：点的横坐标为，点的横坐标为，，以此类推即可点的横坐标．
【详解】解：分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，如下图所示：
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
设，则，
点的坐标为，则点的横坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
（舍去负值），
点的横坐标为4，
设，同理，
则点，点的横坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
点的横坐标为，
设，则，点，点的横坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
点的横坐标为，
同理：点的横坐标为，点的横坐标为，
，以此类推，点的横坐标为．
点的横坐标为，点的横坐标为．
故答案为：；．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线的解析式，再求出点的坐标，再求出直线的解析式，从而求出点、的坐标，以此类推可得点的坐标，根据点、、之间的规律求出点的坐标．
【详解】解：设直线的解析式为：，
∵点坐标为，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵轴交抛物线于点，
∴，
∵交抛物线于点，
∴设直线的解析式为：，
∴将代入解析式中得：，
∴直线的解析式为：，
当时，
解得：，，
∴，
∵轴交抛物线于点，
∴，
同理可得：直线的解析式为：，
当时，
解得：，，
∴，
……
∴以此类推点
∴的坐标为：，
故答案为：．
【变式1-4】难点结合三角形，利用相似三角形求面积
（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．

【答案】
【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴点与点的横坐标相同，，，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形，，，，…都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，，，，，，
∴，，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：，，，，，
，
，
的坐标为，即，
故选：A．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
本题考查了坐标的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键．
【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到，这时；
第3圈有16个点，即到，这时；
依次类推，第n圈，；
由规律可知：是在第4圈上，且，即，故A选项不正确：
是在第23圈上，且，即，故选项B正确；
第n圈，，所以，故C，D选项不正确；
故选：B．
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点1,0作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．写出一部分点的坐标，探索得到规律，，，，(是正整数)，，即可求解．
【详解】解：依题意，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
依次得： ，，，，
由此发现规律：，，，，(是正整数)，
，
∴，即：，
故选：D．
4．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解题的关键．
【详解】由图可知：，，，，，
，，，，，，
又，，，，，
当为偶数时，
与横坐标相差，即横坐标横坐标，
与横坐标相差，即横坐标横坐标，
与横坐标相差，即横坐标横坐标，
与横坐标相差，即横坐标横坐标，
，
与横坐标相差，即横坐标横坐标，
∴，即，
故选：．
5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在x轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点O逆时针旋转，得到，再将绕原点O逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式发现点位置变化的规律是解题的关键．根据所给旋转方式，可得出每旋转八次，点为正整数）的位置便循环一次，再结合便可解决问题．
【详解】解：由所给旋转方式可知，
，
每旋转八次，点为正整数）的位置便循环一次．
又，
点的坐标与点的坐标相同．
又点在轴的正半轴上，且，
点的坐标为，
即点的坐标为．
故选：C．
6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律型，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键．
根据点A、B、C、D的坐标可得的长，从而求出矩形的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要14秒，然后再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴当秒时，蚂蚁在点处，∴此时点蚂蚁的坐标为．
故答案为：.
7．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了规律型点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．
根据已知条件和勾股定理求出的长度即可求出的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到变化的坐标．
【详解】解：四边形是正方形，，
，
，
的坐标是，
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
旋转8次则旋转一周，
从到经过了2024次变化，
，
从到与都在轴正半轴上，
点的坐标是．
故答案为：，；．
8．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为 ，则第2024次相遇地点的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题考查正六边形的性质和寻找规律，解题关键是找出P、Q两点相遇的循环规律．
如下图，分析可知P、Q两点依次在点M、N、A三处循环相遇，然后利用余数定理便可求得第2024次相遇的位置．
【详解】解：由题意可得：，
∴正六边形的周长为．
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第一次相遇的时间为，
此时点P的路程为，点P，Q第一次相遇的地点为点C，
依次类推，得出：点P，Q第二次相遇的地点为点E，点P，Q第三次相遇的地点为点A，点P，Q第四次相遇的地点为点C，…，
∴点P，Q两点的相遇是3次一循环，

∵，
∴第2024次相遇的地点为点E，
∵，，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
9.（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出的坐标，即可解决问题；
【详解】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到；先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到；
先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到；
先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到；
先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到；
根据1，1，2，3，5，8，13，…的变化规律可知，
先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到；
故答案为
10．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案．
【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现：
第1个回形有2个点，，
第2个回形有4个点，分别是，，，
第3个回形有4个点，分别是，，，
第个回形有4个点，分别是，，，
那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为
故答案为：
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是．
【详解】正方形的对角线在轴上
，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称
到轴和轴的距离相等
直线的表达式为
列方程组：
解得或
根据两点间距离公式：
设的表达式为：
在函数上
解得：
直线的表达式为：
列方程组：
解得或
同理可得：
直线的表达式为：
列方程组：
解得或
同理可得：
按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是
故答案为：．
题型二：实际生活中函数图象问题
读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分析如下:
关键信息
函数意义
坐标轴
弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量
拐点
图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时刻开始发生变化
水平线
函数值随自变量的变化而保持不变
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．第所用的时间最长
B．第的平均速度最大
C．第和第的平均速度相同
D．前的平均速度大于最后的平均速度
【答案】D
【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意；
第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意；
由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意；
故选D．
【变式2-1】难点分析两个函数图象
1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）

A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是
【答案】D
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；
B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意；
C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意；
D、甲的速度是，原说法正确，符合题意；
故选D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故选：C．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度．
【详解】解：由图像可知，在时提取率最高，
时提取率最高，
故最佳的提取时间和提取温度分别为，
故选B．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．客人距离厨房门口；B．慧慧比聪聪晚出发；
C．聪聪的速度为；D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为；
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解．
【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，
设的解析式为，图象经过点，
∴，
解得，，
∴的解析式为，
由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为，
∴A、客人距离厨房门口，正确，不符合题意；
B、慧慧比聪聪晚出发，正确，不符合题意；
C、∵，
∴聪聪的速度为，正确，不符合题意；
D、当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，
∴当时，，
当时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，
当时，，
∴，
当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到，
∵,
∴D选项不正确，符合题意 ；
故选：D ．
2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.
【答案】(1)每月的总利润最多是 1200 元
(2)
(3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．
（1）根据题意得出总利润，再由一次函数的性质即可求解；
（2）当售价在元时，设每月销售量，利用待定系数法进行计算即可；
（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：当售价在元时， 每月的总利润为元.
则总利润，
，
当时，总利润最多，为(元)，
每月的总利润最多是元；
（2）解：当售价在元时，设每月销售量，
，
解得，
每月销售量．
（3）解：当售价在元时，设每月的总利润为元.
每月的总利润 ，二次函数的对称轴为直线
，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
，解得，
m的最小值是30，
此时
当时，取得最大值，最大值为200元，
m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
题型三：动点的函数图象问题
类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
【中考母题学方法】
【典例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，厘米，
厘米，
点从点出发以每秒厘米的速度，
点走完所用的时间为：秒，
当点在上时，；故排除；
当时，点在点处，过点作于点，如图所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故选：B．
【变式3-1】根据函数图象判断点的运动轨迹
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，
故选C．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：B．
【变式3-2】根据点的运动轨迹画出函数图象
（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】(1)当时，；当时，；
(2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或
【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，
连接，

由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；

（2）函数图象如图：

当时，y随t的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）RbtMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选．
【详解】解：如图，过作于点，
则，，
①当点在上时，，，，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；
由此可排除A，B，C．
②当时，即点在线段上时，；
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；
③当时，即点在线段上，此时，，
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；
故选：D．
3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，动点问题的函数图象等，根据图可知，当x=2时，点运动到点，点运动到AB的中点，的面积为，进行计算即可，解题的关键是根据图象分析得到x=2时，点运动到点，点运动到AB的中点，且的面积为．
【详解】解：∵四边形是正方形，点的速度是点速度的倍，
∴，，
由图可知，当点在上运动时，的面积为，
当时，的面积为，即，
此时点为的中点，
故，
解得：，
故选：．
4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解．
【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图，
，
则，
，
，
，，
由图可知，当点在点时，的面积最大，
此时，
解得：或（舍去），
，，
当点到达点时，，
，
．
故选：A．
5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出时的取值范围．
【答案】(1)(2)见解析(3)或
【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）结合图象列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
∵点为边上的三等分点（），
∴，，
分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ；
②当时，即点P在边上，则
，
∴
；
综上，关于的函数解析式为：；
（2）解：用描点法作出函数图象即可，
当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）解：根据函数图象，
当，则，解得：，
；
当，则，解得：，
；
综上，时的取值范围为或．
【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象，矩形的性质，三角形面积，求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键．
6．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设．
通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：
(1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；
(2)自变量x的取值范围是_______；
(3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象：
(4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）．
【答案】(1)(2)(3)见解析(4)
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
（1）当时，点运动到点处，此时点与点重合，即可求出长；
（2）由，可得的取值；
（3）描点，连线即可；
（4）做出的图形，利求出交点纵坐标即的长．
【详解】（1）解：当时，点运动到点处，此时点与点重合，
，
；
（2）∵，
即当点在点处时，，
当点在点处时，，
∴自变量的取值范围是，
故答案为：；
（3）如图所示，
（4）当时，，如图，
作的图象，与之前函数交于点，经测量点纵坐标约为，
∴长约为，
故答案为：．
7．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别为与边的中点，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点D后停止运动．连接，设点P的运动路程为x，的面积为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足时，写出x的取值范围（误差不超过0.2）．
【答案】(1)
(2)函数图象见解析，该函数的一条性质为：函数的最大值为3
(3)
【分析】（1）分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，结合梯形、三角形面积公式即可求解；
（2）结合（1）中解析式即可画出函数图象，然后根据图象得出函数的性质；
（3）求出时对应的x的值，然后观察图象找出时所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，点和分别为与边的中点，
∴，，，
设点的运动路程为，
当点在上运动时，即时，，
∴的面积
，
当点在上运动时，即时，如图，，
∴的面积
，
综上，；
（2）解：函数图象如图所示，
由图象可知：函数的最大值为3；
（3）解：当时，即或，
解得：或，
由图象可知：当函数满足，的取值范围为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图象和性质，正确理解题意，利用梯形、三角形的面积公式列出函数关系式是解本题的关键．
题型四：平面直角坐标系中的面积问题
类型1 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S=12AB⋅ℎ,其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边,ℎ为AB边上的高
S△ABC=12(xB−xA)⋅|yC|
S△ABC=12(yA−yB)⋅|xC|
S△ABC=12(xB−xA)⋅(yC−yA)
S△ABC=12(yA−yB)⋅(xC−xA)
类型2 三边都不在坐标轴上或不平行于坐标轴的三角形面积的计算
分割法
S△ABC=S△ABD+S△BCD
=12BD⋅(AE+CF)=12BD⋅(yC−yA)
S△ABC=12CD⋅(xA−xB)
=12(yC−yD)⋅(xA−xB)
补形法
S△ABC=S△AEC−S△BEC=12CE⋅(yC−yA)−12CE⋅(yC−yB)=12CE⋅(yB−yA)=12(xC−xE)⋅(yB−yA)
S△ABC=S△ADC−S△ABD−S△BCD
S△ABC=S矩形BDEF−S△ACE−S△BCD−S△ABF
S四边形ABCD=S矩形EFGH−S△AEB−S△AHD−S△BFC−S△CDG
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是O0,0，，，，则四边形的面积为（ ）
A．14B．11C．10D．9
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可．
【详解】解∶过A作于M，过B作于N，
∵O0,0，，，，
∴，，，，
∴，，
∴四边形的面积为
，
故选：D．
【变式4-1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．

【答案】4
【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解．
【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，

∴，
∴，
∴，
设B点坐标为，则，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴A点坐标为，
根据题意得，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．
【变式4-2】（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)40
(3)(答案不唯一)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．
（1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出．
（2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．
（3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标．
【详解】（1）解：如下图所示：

（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
【变式4-3】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：
因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……② 即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数．
(1)若，，求、的算术平均数和几何平均数；
(2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值；
(3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标．
【答案】(1)算术平均数为4，几何平均数为
(2)时，代数式有最小值，最小值为0
(3)25，
【分析】（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解；
（2）将原式变形为，根据求解；
（3）设，则，，四边形面积，根据即可求解．
本题考查新定义运算，反比例函数，坐标与图形，解题的关键是运用．
【详解】（1）解：，时，、的算术平均数为：，
，的几何平均数为：；
（2）解：，
，，
，当时，等号成立，
解得，或（舍去），
，
即时，代数式有最小值，最小值为0；
（3）解：如图，设，则，，
，，
，，，，
四边形面积
，
，当时，等号成立，
解得（负值舍去），
四边形面积的最小值，此时，即．
【变式4-4】列方程解决面积的存在性问题
（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的横坐标为1或
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形、矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质，利用点的坐标表示线段长是解答的关键．
（1）利用待定系数法求出该二次函数表达式即可；
（2）先求得二次函数图象的对称轴为直线，设，，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由（2）得，，设，根据题意可得，然后解方程求得t值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，
∴，解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：由得二次函数图象的对称轴为直线，
设，根据题意，得，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为5，
此时点M的坐标为2,3；
（3）解：存在，
由（2）知，，
∴，，
设，
∵的面积等于矩形的面积的，
∴，
∴或，
整理得或，
解得，，，
故满足条件的点P的横坐标为1或．
【变式4-5】难点动点问题（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)
(3)存在，，，，
【分析】（1）运用因式分解法解方程求出的长，根据等边三角形的性质得出，过点A作轴，垂足为C，求出的长即可；
（2）分，和三种情况，运用三角形面积公式求解即可；
（3）当时求出，得，分为边和对角线两种情况可得点N的坐标；当和时不存在以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形
【详解】（1）解：，解得，
的长度是的根，
∵是等边三角形，
∴，
过点A作轴，垂足为C，
在中，
∴
，
∴
点A的坐标为
（2）解：当时．过P作轴，垂足为点D，
∴，，
∴
∴，
；
当时，过Q作，垂足为点E
∵
∴
又
∴，
又，
当时，过O作，垂足为F
∴，
同理可得，，
∴；
综上所述
（3）解：当时，解得，
∴，
过点P作轴于点G，则
∴
∴点P的坐标为；
当为边时，将沿轴向下平移4个单位得，此时，四边形是菱形；
将沿轴向上平移4个单位得，此时，四边形是菱形；如图，
作点P关于y轴的对称点，当时，四边形是菱形；
当为对角线时，设的中点为T，过点T作，交y轴于点M，延长到,使连接,过点作轴于点，则
∴
∴,即，
解得，,
∴，
∴；
当，解得，，不符合题意，此情况不存在；
当时，解得，，不符合题意，此情况不存在；
综上，点N的坐标为，，，
【点睛】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，等边三角形的性质，勾股定理，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积，菱形的判定与性质，正确作出辅助线和分类讨论是解答本题的关键
【中考模拟即学即练】
1.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)12
【分析】此题考查轴对称的作图、点的坐标、利用网格面积等知识．
（1）找到关于y轴的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可；
（2）利用梯形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．则点的坐标为．
（2）解：四边形的面积
2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为．
(1)设点A的坐标为则点的坐标为 ；
(2)①求反比例函数的表达式；
②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)反比例函数解析式为；直线的解析式为
(3)时，最大，最大值为
【分析】（1）利用中点坐标公式即可得出结论；
（2）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
由，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．
【详解】（1）解：点C是的中点，，O0,0，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：，，
∴，
点C是的中点，
∴，
点C，在双曲线上，
∴，
∴，
反比例函数解析式为；
由知，，
，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：如图，由；（2）知，直线的解析式为，
设点，
由（2）知，，，
∴，
∵轴交双曲线于F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，最大，最大值为．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立与m的函数关系式．
3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．
(1)求点B、点C的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)存在，点M的坐标为或
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）分别将和代入直线，即可求出点B、点C的坐标；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）先求出，再设点的坐标为，进而表示出，再根据的面积是的面积的，列方程求解即可．
【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C，
令，则，解得：，
令，则，
，；
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
即直线的解析式为；
（3）解：存在，理由如下：
，，
，
点M在射线上，
设点的坐标为，
，
的面积是的面积的，
，
解得：，
当时，，
当时，，
点M的坐标为或．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得A−2,0，因此，再根据即可解答．
【详解】（1）解：把代入函数中，得，
解得，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∵抛物线为常数）经过点，
∴，解得，
∴抛物线表示的函数解析式为；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为，
∴顶点P的坐标为，
∵，
∴轴，，
过点D作于点E，则，
∴；
把代入函数中，得，
解得，，
∴A−2,0，，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
5．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，点为0,4，点为，连接．
提出问题：
（1）如图2，以为边在右侧构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，用含的代数式表示此时点的坐标；
问题探究：
（2）如图3，以为对角线构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，当时，求线段的值；
问题深化：
（3）若以为边在右侧构成正方形，过点作轴于点，连接，令的面积为，求关于的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）证明，得到，求出即可；
（2）过点分别作轴于轴于点，求出，，证明，易证四边形是正方形，设，则，利用勾股定理x的值，再证明，即可解答；
（3）分和两种情况讨论，当时，如答23—2图，过点作轴于点，作交的延长线于点．证明，得到，再证明，得到，易得四边形是正方形，推出，即可得出结果，当时，如答23—3图，过点作于点，作轴于点，同理解答即可．
【详解】（1）解：，
，
解得，
；
（2）如答23—1图，过点分别作轴于轴于点，
在中，，
，
四边形是正方形，
设，则，
（舍去）．
，
，
；
（3）①当时，如答23—2图，过点作轴于点，作交的延长线于点．
，
，
，
，
四边形是正方形，
；
②当时，如答23—3图，过点作于点，作轴于点，
同①得，
四边形是正方形，
综上所述，或．
【点睛】本题考查四边形综合题、坐标与图形、正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
6．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，将，代入得，，可求，进而可得；
（2）如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点，则，当时，，可求或，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，计算可求；
（3）由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等，则，同理（1），直线的解析式为，设，其中，由平移可得，直线的解析式为，同理，直线的解析式为，联立，可求，则，，可求满足要求的解为，则，，，，，，当时，，即，，根据与重叠部分的面积为，计算求解即可．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，
解得，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点，
∴，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，或，
∴，
∴存在，；
（3）解：由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等，
∴，
同理（1），直线的解析式为，
设，其中，
由平移可得，设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得，，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴，，，，，，
∵，
∴轴，
当时，，即，
∴，
∴与重叠部分的面积为，
∴与重叠部分的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合是解题的关键．
7．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在原点O处，已知点，，连接 ，E是上一动点(不与点C，D 重合)，过点E作交于点 F，过点 E作交于G，连接．
(1)若，求证：；
(2)设，用含a的式子表示的面积，并求出面积的最大值；
(3)如图2，设与交于点 M，连接，求线段的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)，最大值为；
(3)
【分析】（1）先证明，，从而可得结论；
（2）证明，可得，证明，可得，利用，再进一步求解即可；
（3）如图，由（2）得：，，证明，可得，；即为定点，当时，最小，此时，如图，当重合时，，此时最大，且，再进一步解答即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由（1）可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，
当时，最大值为；
（3）解：如图，
由（2）得：，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；即为定点，
当时，最小，此时，
∴，
∴，
∴，
解得：，
如图，当重合时，，此时最大，且，
∴，
∴；
∴．0
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4
5
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