山西省大同市平城区两校联考2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省大同市平城区两校联考2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试卷
（时间：120分钟 满分120分）
第Ⅰ卷 选择题（共30分）选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意，请将其字母标号填入下表相应题号的空格内）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C．D．
3．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．函数思想C．转化思想D．公理化思想
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法判断
6．用配方法解一元二次方程时，需要将原方程化为（ ）
A．B．
C．D．
7．电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为( )
A．2B．－1
C．－D．－2
9．小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小李解方程的过程正确
B．也是该方程的一个解
C．小李解方程的方法是配方法
D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误
10．如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请把正确答案填在题中横线上）
11．一元二次方程的根是 ．
12．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ．
13．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
14．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为 .
15．在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)；
(3)．
17．已知关于的一元二次方程．若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
18．如图是2024年1月的日历，1月1日下方标有“元旦”二字．“元旦"意为“初始之日”．中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦．在如图的日历中，用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数．

19．某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，且它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
20．山西壶关太行山大峡谷八泉峡景区先后荣获“国家森林公园、国家地质公园、中国十大最美峡谷、山西省风景名胜区”等诸多荣誉称号．国庆期间某旅行社推出一日游团队套票活动，收费标准为：如果参团人数不超过20，人均费用为180元；如果参团人数超过20，每增加1人，人均费用降低5元，但人均费用不得低于130元．
(1)当参团人数为30时，人均旅游费用为________元．
(2)已知某旅游团实际人数超过20，其支付给旅行社旅游费用为3875元，求该团队的人数．
21．阅读与思考
下面是某课外书籍中的一篇文章（部分），请仔细阅读并完成相应的任务．
三角形点阵中前行的点数计算
如图是一个三角形点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点．

容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数之和，你能发现300是前多少行的点数之和吗?
如果用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然能发现，得知300是前24行的点数之和，但是这样寻找答案需要花费较多的时间，是否有更简洁的方法呢?
我们先探究三角形点阵中前行的点数之和与的数量关系．
前行的点数之和是．可以发现：
．
把两个中括号中的第一项相加、第二项相加……第项相加，上式等号右边的式子变形为．这个小括号都等于，整个式子等于．于是得到．
所以三角形点阵中前行的点数之和为．
……
任务：
(1)请用一元二次方程解决问题“三角形点阵中300是前多少行的点数之和”；
(2)三角形点阵中前行的点数之和可能是600吗?如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由；
(3)如果把上述文章中三角形点阵图中各行的点数依次换为1，3，5，…，，请直接写出前行的点数之和满足的规律．（用含的代数式表示）
22．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．

23．阅读与思考
下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则将二次三项式因式分解的结果是______．
(2)因式分解：______．
(3)请用阅读内容中的方法，因式分解：．
解方程：．
解：，①
，②
，③
．
通过解一元二次方程分解某些二次三项式
我们把形如是常数，的多项式叫做关于的二次三项式．通过所学内容可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用一元二次方程的两个根，把某些二次三项式因式分解呢？
设一元二次方程的两个实数根为，计算：．
下面是代数推理过程：
解：．即．
这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，则可将二次三项式因式分解为，即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式因式分解．
1．D
解：A．不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．是多项式，不是方程，故此选项不符合题意；
D．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．D
解：，
移项，得，
这里，
故选：D．
3．B
解：，
，
，
，
故选：B．
4．C
解：利用配方法把一般式化为，再利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的转化的数学思想．
故选：C．
5．C
解：∵，
∴
方程无实数根．
故选C．
6．C
解：对移项得：，
配方得：，
化简得：，
故选：C．
7．D
解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x
故根据题意列方程式为：
化简得：
故选D．
8．D
解：由题意得，
，，
∴=.
故选D.
9．B
解：．
，①
，②
，③
或
解得或．
A、小李解方程的过程错误，不符合题意；
B、也是该方程的一个解，符合题意；
C、小李解方程的方法是因式分解法，不符合题意；
D、解方程的过程是从第③步时出现错误，不符合题意；
故选：B．
10．C
解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
11．##，
解：，
移项得，，
提取公因式得，，
∴，
故答案为：，．
12．
解：关于的一元二次方程的一个根为0，
，
．
．
故答案为：
13．5
解：是一元二次方程的一个根，
．
．
．
故答案为：5．
14．16
解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为16．
15．##
解：如图2所示：
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．
故答案为：
16．(1)
(2)
(3)
（1）解：，
移项，得，
配方，得，
开平方得，
所以．
（2）解：，
，
，
所以方程有两个不等的实数根，
即．
（3）解：，
移项，得，
因式分解，得，
即，
所以或，
所以．
17．，方程的另一个根为2
解：把代入方程得：．
解得．
当时，原方程为．
解得．
所以方程的另一个根为2．
18．这个最小的数为5
解：设最小的数为，则最大的数为，
根据题意，得，
解得，，
由题意可知，所以不符合题意，舍去，
所以．
答：这个最小的数为5．
19．人行通道的究度为
解：设人行通道的宽度为．
根据题意，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：人行通道的究度为．
20．(1)130
(2)该团队的人数为25
（1）解：根据题意，当参团人数为30时，
人均旅游费用为：元．
故答案为：130；
（2）设该团队的人数为人，
根据题意，可得 ，
整理可得 ，
解得，，
当时，因为，
故此时人均费为130元，总费用为元，不合题意，
所以，该团队的人数为25人．
21．(1)三角形点阵中300是前24行的点数之和
(2)三角形点阵中前行的点数之和不可能是600，理由见解析
(3)前行的点数之和为
（1）解：设三角形点阵中300是前行的点数之和，
根据题意，得，
整理得，即，
解方程，得，（不合题意，舍去）
答：三角形点阵中300是前24行的点数之和；
（2）解：三角形点阵中前行的点数之和不可能是600．
理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600，
根据题意，得，
整理得，
，
解方程，得，，
该方程没有正整数根，
所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600；
（3）解：，
∴前行的点数之和为．
22．（1）（51-3x）：（2）10米；（3）不可能，理由见解析
解：（1）设篱笆BC长为x米，
∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=49+2-3x=51-3x（米），
故答案为：（51-3x）；
（2）依题意，得：（51-3x）x=210，
整理，得：x2-17x+70=0，
解得：x1=7，x2=10．
当x=7时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去，
当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意，
答：篱笆BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51-3x）x=240，
整理得：x2-17x+80=0，
∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，
解得，，，
∴，
故答案为：；
（3）解：解：由题意可得，
解得，
，
∴，，
∴．