2025年中考第一次模拟卷：数学（黑龙江卷）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟卷：数学（黑龙江卷）（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．
根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0即可求解．
【详解】解：，
故选：A ．
2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每一个式子一一判断即可．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
4．如图所示的几何体是由一些小正方体组成的，那么它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，熟练掌握三视图的特点是解题的关键．
俯视图是从几何体上方观察所得到的平面图形，据此判断即可．
【详解】从上面看到的图形有3列，从左到右竖直方向依次有1个、1个，2个正方形．
故选：D．
5．方程的解为（ ）
A．B．C．或D．无解
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，检验根等方法是解题的关键．
先去分母化成，检验根，当时，，原分式方程无意义，由此即可求解．
【详解】解：
等式两边同时乘以去分母得，，
检验，当时，，原分式方程无意义，
∴原方程无解，
故选：D ．
6．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了求二次函数顶点坐标，用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
用配方法把二次函数一般式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
顶点坐标为，
故选：A ．
7．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10B．89C．165D．294
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】归纳与类比、实数运算的实际应用
【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．
【详解】依题意，还在自出生后的天数是：
2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．
8．如图，点D是的边的中点，过点D作交于点E， 点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．B．7C．D．8
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理；利用相似三角形的判定与性质是解题的关键；由，利用平行线分线段成比例定理得E是的中点，由D是边的中点，得；再由，得，可求得；由即可求解．
【详解】解：，
；
D是边的中点，
，
，
即E是的中点；
D是边的中点，
；
，
，
，
，
；
．
故选：C．
9．如图，已知 ， 射线 平分 ，C 是 上一点，，以点 O 为圆心，以 适当长为半径作弧，分别交 于点 M，N；以点 C 为圆心，以 长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点；过点作射线交于点 D ．则 （ ）
A．B．6C．D．8
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】尺规作一个角等于已知角、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】作，根据作图易得，证明为等腰三角形，利用三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：作，
由作图可知：，
∴，
∴，
∵ 平分 ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查尺规作图—作角等于已知角，平行线的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得到为等腰三角形．
10．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示一种莴笋的高度与观察时间（天）之间的函数图象．由图象可知，这种莴笋可能达到的最大高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象得到：莴笋的成长过程的图象是一次函数，设出一次函数解析式，所以把代入解析式中，求出函数解析式；再根据C点的横坐标是50，求出纵坐标，就是莴笋的最大高度．
【详解】解：设一次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴一次函数解析为：．
当时，，
即这种莴笋可能达到的最大高度是，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦、亚洲同心”为主题，总体规划面积100万平方米。园区运营以来，游客接待量创下新高，截止2月26日入园游客总数突破356万人次。其中356万用科学记数法表示为 .
【答案】3.56×106
【难度】0.94
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：356万=3.56×106
故答案为：3.56×106．
12．函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【难度】0.65
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可，熟练掌握函数是分式、二次根式时的自变量取值范围是解题的关键．
【详解】解：∵函数有意义，
∴自变量的取值范围为，
解得：且，
故答案为：且．
13．因式分解：_______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了提公因式法及公式法因式分解，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14．如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题考查切线的判定定理、切线长定理等知识，求得是解题的关键．
由、是的切线，A、B为切点，得，由切线的性质得，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵、是的切线，A、B为切点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女）3名航天员组成，北京时间2024年10月29日，3名航天员与中外记者集体见面．如果从2名男航天员1名女航天员中任选2人回答记者问，则恰好选中1名男航天员1名女航天员的概率为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．画出树状图求概率即可．
【详解】解：树状图如下：
共有种等可能结果，其中选中名男航天员名女航天员结果有四种，
恰好选中1名男航天员1名女航天员的概率为．
故答案为：．
16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键．
根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∴当时，；当时，；
∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度，
故答案为：．
17．不等式组的解集是 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再取它们公共解集，即可作答．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
18．如图，正八边形的边长为2，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求扇形面积、正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法是解题的关键．根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得：，
，
，
故答案为：．
19．如图，为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时， ．
【答案】2或
【难度】0.4
【知识点】利用二次根式的性质化简、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质；先证明为等边三角形，得到，，再根据在左边或右边分情况讨论，分别画出图形，结合图形利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∵将绕点D顺时针旋转，得到线段，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
当在左边时，如图，连接，，与交于点，
∵，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在右边时，如图，连接，与交于点，
∵，
∴，
中，，
综上所述，或，
故答案为：或．
20．如图，在平行四边形中，点E，F，G分别在边，，上，且，，，，若，，则的长是 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合
【分析】延长交的延长线于点，连接，过点作，，证明，推出，斜边上的中线得到，证明四边形为平行四边形，推出，，设，双勾股定理列出方程求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：延长交的延长线于点，连接，过点作，，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴
设，则：，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等知识点，添加辅助线构造相似三角形和特殊图形，是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【难度】0.85
【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了分式化简求值，含特殊角的三角函数的混合运算，先通分再运算除法，化简得，因为，所以，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
，
则
，
原式．
22．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法：
(1)如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____；
(2)如图②，在上找一点，使；
(3)如图③，在上找一点，使的面积为．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)见解析
【难度】0.65
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、格点作图题
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，作图—应用与设计作图．
（1）依题意得，，，则，然后根据相似三角形的性质可得出答案；
（2）用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；
（3）用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，依题意得，，，，，则，根据相似三角形的性质可得出，，进而可得出的面积为．
【详解】（1）解：依题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；如下图1所示：
理由如下：
连接，如图2所示：
依题意得：是直角三角形，，，，，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，如图3所示：
证明如下：依题意得：，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：．
23．（8分）“发展科学技术，迎接美好未来”，重庆某校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， 度．
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）．
(3)若八年级共有1000名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
【答案】(1)，，
(2)八年级，理由见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、求中位数、求众数
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可得、的值，由八年级、等级的人数可求出等级的人数，用乘等级的人数所占比例即可得出的值；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可；
（3）用八年级参赛总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
【详解】（1）解：把八年级名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是，，
中位数，
在抽取的七年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是，
众数，
由扇形统计图可得，八年级等级的有：（人），
，
故答案为：，，；
（2）解：八年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数与众数高于七年级，所以八年级的成绩更好，
答：八年级的成绩更好；
（3）解：（人），
估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约为人．
【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，运用中位数做决策，运用众数做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键．
24．（8分） 如图，将矩形沿折叠，使点A与点C重合，（点D的对应点为点G），连接．
(1)如图1，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若，连接交于点，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)、、、
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等边三角形的判定、平行四边形和菱形的判定；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由折叠性质得，，，由矩形性质得出，，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证出，得出，证出和是等边三角形；再证出，，得出是等边三角形；证出，得出是等边三角形．
【详解】（1）证明：由折叠性质得，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：等边三角形为：、、、；理由如下：
，
，，
四边形是菱形，
，，，，
和是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形．
25．（10分）春晚吉祥物“巳（sì）升升”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“巳升升”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元．
(1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？
(2)已知甲、乙两种布偶每个的进价分别为44元和36元，该超市共购进甲、乙两种布偶200个，全部销售完后共获利不少于3040元，则至少购进甲种布偶多少个？
【答案】(1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为元
(2)至少购进甲种布偶个以确保利润不少于元
【难度】0.65
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出方程组或不等式；
（1）设甲种布偶售价元、乙种布偶售价元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进甲种布偶个，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种布偶每个售价元、乙种布偶每个售价元，
根据题意得：，
解得：，
答： 甲、乙两种布偶每个的售价分别为元；
（2）解：设购进甲种布偶个，
根据题意，每个甲种布偶的利润为：（元），
每个乙种布偶的利润为：（元），
全部销售完后共获利为：，
解得：，
答：至少购进甲种布偶个以确保利润不少于元．
26．（10分）如图1，是的直径，点是上一点，平分交于点，过点作交延长线于点．
(1)求证：．
(2)当时，求的值．
(3)如图2，过点作交延长线于点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)或2．
(3)见解析
【难度】0.15
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由圆周角定理、角平分线的性质、角的和差、等角对等边可证，再根据圆的内接四边形的性质以及邻补角的性质可得，然后通过证明，最后通过全等三角形的性质即可证明结论；
（2）设，则，由（1）易证，在中，，在中，，如图：过点B作于点M，连接，则， 运用等面积法可得；再证明可得，即，最后求得a即可；
（3）如图：设交于点N，在上截取，连接，，首先通过证明可证，通过圆内接四边形的性质可得，从而，再通过证明，最后根据全等三角形的性质以及等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明∶∵是的直径，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，则
∵，
∴，
在中，，
在中， ，
如图：过点B作于点M，连接，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：或
∴的值为或2．
（3）证明∶如图：设交于点N，在上截取，连接，
由（1）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
27．（10分）如图，抛物线交y轴于点 A， 交x轴于B、C两点，．

(1)求a 的值；
(2)如图2， 直线 交x轴、y轴于D、E两点， 交线段、 于 F、G 两点， 的面积为S，求S与m的函数关系式，不要求写出自变量 m 的取值范围；
(3)如图3， 在（2）的条件下， 轴交抛物线于点P， 连接交于点H， 绕点O把线段 顺时针旋转得到线段 ，M、N为线段 延长线上两点，连接线段、 交于点K， ， ， 连接， 求直线 的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.15
【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、全等三角形综合问题、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）由，，得到的长度，进而得到，代入抛物线解析式，即可求解，
（2）将，代入，得到，由，得到，，进而求得直线的解析式，与直线联立得到，由，整理后即可求解，
（3）将，代入，得到，由旋转的性质得到，，，进而得到，由，，得到直线解析式为：，与直线联立得到，结合，得到，结合，，得到，，由，得到，结合，得到，由，，由，得到，根据，设，则，，，，进而得到，，，由，，得到，代入，得，结合，根据两点间距离公式，得到，解得：，代入，即可得到，结合，即可求解，
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，代入，得，解得：，
故答案为：，
（2）解：将，代入，得，解得：，
∴，
∵，解得：，，
∴，，
设直线的解析式为：，代入得，解得：，
∴直线的解析式为：，
与直线联立得：，解得：，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：将，代入解得：，，
∴，
过点作轴，垂足为，
∵，，
∴，
由旋转的性质可得：，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
设直线的解析式为：，代入得，解得：，
∴直线解析式为：，
与直线联立得：，解得：，
∴，
又∵，，
∴的中点在轴上，，
作，，垂足分别为、，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
设，则，，，，
∴，，
∴，
∵，，解得：，
代入，得：，
又∵，
∴，解得：，
代入，即：，
又∵，
设直线的解析式为：，代入得，解得：，
∴直线的解析式为：．
【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，两点间距离公式，二次函数的综合，解题的关键是：根据已知条件得到，根据两点间距离列出等量关系式．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88