2025年甘肃省兰州市中考数学试题（解析版）

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注意事项：
1．全卷共120分．考试时间120分钟．
2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．
3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键．
根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
故选：A．
2. 计算：（ ）
A. 6B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
3. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O，
∴位似比为，
∵，
∴，即，
故选：B．
5. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，求解即可．
【详解】解：正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，
∴，
故选：D．
6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：对于方程 ，其判别式为
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即，
解得．
故选：D．
7. 若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据，反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，
∵，
∴，
即，
故选：．
8. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解决此题的关键．
【详解】解：将所有结果列表格如下：
所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为．
故选：A．
9. 《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得，
．
故选A．
10. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11. 如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A. 均一次函数B. 一次函数，二次函数
C. 均为二次函数D. 二次函数，一次函数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在上运动时，由题意得，，作于点，求得，利用列式计算即可；当点P在上运动时，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，
∴，，
当点P在上运动时，由题意得，，
作于点，
∵，
∴，
∴，是二次函数；
当点P在上运动时，由题意得，
∴，是一次函数；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
12 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
13. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，方差越大，成绩越不稳定．根据图形可知，甲的射击不稳定，可判断新手是甲．
【详解】解：根据表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大，
方差越大，成绩越不稳定，
新手是甲．
故答案为：甲．
14. 如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长．
【详解】解：连接，，
，，
垂直平分，
，
菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键．
15. 如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
【详解】解: ∵黄金矩形中，且，
∴，
∵四边形是正方形，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∵四边形是正方形，
，
∴“黄金螺线”的长为，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
18. 解不等式组：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：；
（2）点P的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为：；
∵点在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴
∴反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，，
∴，
由题意得，
解得，
∵点P为y轴负半轴上一点，
∴，
∴点P的坐标为．
20. 天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米）
（参考数据：，，，，，）
【答案】月球与地球之间的近似距离万千米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解．
【详解】解：设万千米．
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵万千米，
∴，
整理得，
解得，
∴月球与地球之间的近似距离为38万千米．
21. 综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【答案】（1）y关于x的函数是二次函数，；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可；
（2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可．
【小问1详解】
解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为，
将，，代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴种子自然发芽率为35，
∴当时，，
解得，，
当时，，
解得（舍去），，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为．
22. “三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
【答案】（1）见解析；（2）50
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键．
（1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求；
任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕；
（2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求．
任务二：如图，折痕所求．
（2）如图，
由题意可知，是的三等分线，
∴，
∵，
∴，
∴与相交所成的锐角是．
故答案为：50
23. 豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了__________个豌豆荚，图中__________，__________；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在__________类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
【答案】（1），，
（2）C （3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，样本估计总体，中位数等知识，熟练样本估计总体，中位数是关键．
（1）根据B类的数量和对应的百分比即可求出总数，再根据对应的百分比和总量减部分即可求出答案；
（2）根据中位数的定义进行判断即可；
（3）根据选取样本的特点进行分析即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，（个）
，，
故答案为：
【小问2详解】
由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数，
∵，
∴所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
故答案为：C
【小问3详解】
不能，理由是：
样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性．
24. 如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立；
（2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
25. 【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解；
（2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得；
（3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得．
【详解】解：（1），理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形与正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
由（1）得，
∴，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下，
由（1）得，
∴，，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
同理，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”．
（1）如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”；
（2）如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值；
（3）如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键；
（1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解；
（2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解；
（3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上
∴是图的“映射点”；
而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”；
故答案为：．
【小问2详解】
解：依题意，正方形的顶点到的距离为，
∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为
∴当经过点时，的值最大，
将代入得，
解得：，
∴的最大值；
【小问3详解】
解：如图，分别为的切线，
当为的“映射点”，
∴，
又∵，
设，则
∴
∴
解得：
∴，
∵，
∴,
当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意，
∴
当时，根据对称性可得
综上所述，．
声母 韵母
a
e
i
d
da
de
di
t
ta
te
ti
l
la
le
li
甲
乙
平均成绩（单位：环）
6.58
7.67
方差
6.91
0.72
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，．
数据
万千米，，．
生长素浓度：x（标准单位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率y（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
5957
56.00
51.17
35.00
29.12
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作：
任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②．
→
折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④．
→
保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤．
→
将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥．
→
将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧．
解决问题
（1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法）
任务一：在图③中，利用已给定的点作出点；
任务二：在图⑥中作出折痕．
（2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________．