（典型应用题专项讲义）专题15-最优化问题练习题（学生版+教师版）（含答案解析）-小学生数学典型应用题专项训练

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1、最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。
2、最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举。
【典例一】在一条公路上每隔100公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要运费
A．4500元B．5000元C．5500元D．6000元
【分析】计算出所有的货物集中到每个仓库里需要的运费，再对比即可。
【解答】解：集中到一号仓库的运费：
（元
集中到二号仓库的运费：
（元
集中到三号仓库的运费：
（元
集中到四号仓库的运费：
（元
集中到四号仓库的运费：
（元
答：最少需要运费5000元。
故选：。
【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是求出所有的货物集中到每个仓库里需要的运费。
【典例二】三年级一班有18名同学到公园划船，每条大船限乘7人，每条租金10元；每条小船限乘4人，每条租金6元。如果同时上船，租 条大船和 条小船最合算，共需要 元。
【分析】每条大船每人需要（元；每条小船每人需要（元；由此可知，首先要尽量租大船且没有空座时最省钱，据此解答即可。
【解答】解：每条大船每人需要：（元
每条小船每人需要：（元
所以要尽量租大船且没有空座时最省钱，
（条（人
租2条大船和1条小船，没有空座，需要的钱数为：
（元
答：租2条大船和1条小船最合算，共需要26元。
故答案为：2；1；26。
【点评】明确尽量租大船且没有空座时最省钱是完成本题的关键。
【典例三】某工厂有75名工人，其产品每件的售价为50元，原材料成本为25元。工人每月的底薪为3000元，另外每生产一件产品的奖金为2元，这些工人平均每天能生产40件该产品。但因生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，还需为这些污水的净化支付一定费用。工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。
方案1：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费；
方案2：工厂租赁污水净化设备将污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所用原材料费为2元，每月净化设备租赁费为130000元，净化设备每天耗电量为400度（工业用电为每度1元），且工人每天的生产效率只能达到原来的；
假定9月份该工厂的生产天数为22天，通过计算说明按哪种方案处理污水后，工厂所得的利润更多？比另一种方案多多少？
【分析】用销售总价减去工人工资、奖金、原材料钱、污水处理费就是利润。据此分别求出两种方案所获利润，再比较判断得出答案。
【解答】解：方案1利润：
（元
每立方米排污费为14元，则每0.5立方米排污费为7元，即每件产品的排污费为7元。
（元
方案2利润：
（元
（元
答：按方案2处理污水后，工厂所得的利润更多。比另一种方案多112000元。
【点评】本题主要考查了较复杂的优化问题的应用，关键是理清数量关系，按两种方案求出各自需要的钱数。
一．选择题（共8小题）
1．甲、乙、丙、丁四个商店同时促销一种原价为100元的花生油。甲商店按原价的出售；乙商店满200元一律降价出售；丙商店买四送一；丁商店第二桶打六折。妈妈要买2桶这样的花生油，想花钱最少，应该到 商店去买。
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据四家商店的优惠政策，分别计算所需钱数，再比较即可得出结论。
【解答】解：甲商店：
（元
乙商店：（元
（元
丙商店：买四送一，买2桶不送；
（元
丁商店：
（元
答：妈妈要买2桶这样的花生油，想花钱最少，应该到乙商店去买。
故选：。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是根据四家商店的优惠政策，计算所需钱数。
2．希望小学六年级组织师生共230人参观实验基地，如表的租车方案，租 最省钱。
A．5辆大客车B．4辆大客车和1辆小客车
C．3辆大客车和3辆小客车D．1辆大客车和6辆小客车
【分析】本题根据需要坐车的人数结合两种车型的限坐人数及租金进行分析即可：先算出两种车的租车单价，得出租哪种车便宜；在尽量满载，没有空座的情况下，多租用大客车最省钱。
【解答】解：（元
（元
所以，尽量多租大客车。
（辆（人
30人刚好租一辆小客车。
即租4辆大客车1辆小客车最省钱。
故选：。
【点评】根据每种车型的限载人数及租金算出每人次的租车成本，并由此设计方案是完成本题的关键。
3．学校足球队要买50个足球，刘老师看了三家体育用品店，发现单价都是25元个，但促销方式各不同（如表）。刘老师去 店买更合算。
A．B．C．D．无法确定
【分析】根据三个店的优惠政策，分别计算所需钱数，比较即可得出结论。
【解答】解：店：
（组（个
（元
店：
（元
店：
（元
（组（元
（元
由于1000元元元；所以刘老师去店买更合算。
故选：。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是计算各家商店所需钱数。
4．小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服要用30分，扫地要用20分，擦家具要用10分，晾衣服要用5分。她经过合理安排，做完这些事至少要花 分。
A．30B．35C．40D．45
【分析】用全自动洗衣机洗衣服（同时扫地、擦家具）晾衣服，据此计算时间即可。
【解答】解：（分钟）
答：做完这些事至少要花35分钟。
故选：。
【点评】此题的关键是明确哪些事可以同时做，然后再进一步解答。
5．某品牌电器搞促销活动，在商场按“每满100元减10元”销售，在商场打九折销售。原价820元的商品，在哪个商场买更省钱？
A．商场B．商场
C．、商场消费相同D．无法确定
【分析】原价820元的商品，在商场按“每满100元减10元”销售，算出800里面有多少个100，由此可得能优惠多少钱，再用820减去优惠的钱，即是在商场所需花费的钱数；在商场打九折销售，用820乘折扣，即可算出在商场所需花费的钱数；然后再进行比较，由此可得在哪个商场买更省钱。
【解答】解：商场：
（元
（元
商场：（元
所以在商场买更省钱。
故选：。
【点评】此题考查最优化问题。关键在于算出两种方案的价格。
6．一种桃汁大瓶装售价6.5元，小瓶装售价3元。两家商店为促销，各推出优惠方案：购买2.4升这种桃汁，要想省钱到 购买。
甲店：买一大瓶送1小瓶。
乙店：一律八五折优惠。
A．甲店B．乙店C．两个店均可
【分析】甲店：买一大瓶送1小瓶，可知需要买两大瓶，由此算出两大瓶的总价；
乙店：一律八五折优惠，即现价是原价的，可知需要买两大瓶和一瓶小瓶，求出买两大瓶和一瓶小瓶的总价，然后再乘即可。由此列式计算。
【解答】解：
（元
所以购买2.4升这种桃汁，只需买买两大瓶和一瓶小瓶即可；
甲店：（元
乙店：
（元
因为
所以在甲店购买省钱。
故选：。
【点评】此题考查最优化问题。关键在于算出每种方案的总钱数。
7．疫情过后，我国经济复苏势头强劲，旅游业也按下“重启键”。一间旅行社推出“景区一日游“的两种方案。当成人6人，儿童4人时，选哪种方案合算？
A．都一样B．方案一C．方案二D．无法确定
【分析】成人人数加儿童人数刚好10人，达到买团体票的最低要求，先用每人票价乘人数分别算出按两种方案买票需要的钱数，再进行比较，找出合算的方案即可。
【解答】解：
（元
（元
答：选择方案二合算。
故选：。
【点评】儿童票价低于团体票价，团体票价低于成人票价，选择合算的购票方案时，成人、儿童人数不同，选择的方案就可能不同，通过计算不同方案需要的购票钱数，可以找出最合算的方案。
8．某超市开展促销活动，有两种优惠方案。张叔叔要买一双340元的球鞋，更为省钱的购买方案是
方案一：购物每满100元，减60元。
方案二：先打五折，然后在此基础上再打九折。
A．方案一B．方案二
C．两种方案省钱同样多D．无法确定
【分析】分别求出两种方案的实际费用，比较即可。方案一：先求出340元包含几个100元，就在价格中减去几个60元；方案二：将原价看作单位“1”，原价开始的折扣折扣后的价格，再将折扣后的价格看作单位“1”，折扣后的价格再乘折扣，是最终价格。
【解答】解：方案一：
（元
方案二：（元
故选：。
【点评】关键是理解折扣的意义，几折就是百分之几十。
二．填空题（共8小题）
9．爸爸想在网上书店买书，店打八折销售，店每满100元减20元。如果爸爸想买的这套书两家店原来的标价都是150元。
（1）到 店买更划算（填“”或“”
（2）若爸爸在店持有会员卡，在八折的基础上继续打折，共省了42元。则用会员卡又享受了 折。
【分析】（1）根据两家店的优惠方法分别算出在两家购买需要的总价，然后再比较大小即可。
（2）先求出最后的价格，再除以八折后的价格即可。
【解答】解：（1）店：
8折
（元
店：
150元里面有1个100元，
（元
120元元
答：到店买更划算。
（2）
折
答：用会员卡又享受了9折。
故答案为：；九。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是根据两种优惠方式，计算所需钱数，找到更优惠的方式。
10．某品牌的裙子搞促销活动，在银星商场打五七折销售，在兴达商场按“每满100元减50元”销售。王阿姨要买一条该品牌标价340元的裙子，应选择在 兴达 商场更省钱。
【分析】银星商场：打五七折，是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，用原价乘上就是现价；兴达商场：“每满100减50元”，340元可以减去3个50元，用340元减去元就是商场应付的钱数；比较两个商场花的钱数即可求出哪个商场更省钱。
【解答】解：银星商场：
（元
兴达商场：
340里面有3个100元，所以应减去3个50元，则：
（元
答：选择兴达商场更省钱。
故答案为：兴达。
【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是求两个商场花的钱数。
11．某品牌的童装搞促销活动，在商场按“每满100元减20元”的方式销售，在商场打八折销售。妈妈要给小小买一件标价240元的这种品牌的童装。在商场需付 200 元。在商场需付 元。
【分析】商场：每满100元减20元；买一件标价为240元的童装，240元里面有2个100元，要用标价减去元即可；
商场：打八折销售，用标价乘即可。
【解答】解：商场：
（元
商场：（元
答：在商场需付200元；在商场需付192元。
故答案为：200；192。
【点评】解答此题的关键是结合题意，根据两个商场的优惠方式，分别求出两个商场付的钱数即可。
12．两名教师带领35名同学出去春游，需要租船，租金最少为 198 元．
【分析】本题根据需要坐船的人数，两种船的限载人数及租金进行分析即可：
由题意可知，大船每人次的成本为元，小船每人次的成本为元．
由此可得：在尽量满载的情况下，多租用大船最合算．据此解答即可．
【解答】解：（人
大船每人次的成本为：（元
小船每人次的成本为：（元
由此可得：在尽量满载的情况下，多租用大船最合算．
（条（人
余1人，空座过多，调整为，即租用5条大船，2条小船最省钱．
需花：
（元
答：租金最少为 198元．
故答案为：198．
【点评】通过分析大船与小船的租用成本得出在尽量满载的情况下，多租用大船最合算是完成本题的关键．
13．小东晚上睡觉前要听音乐15分钟，烧水8分钟，热牛奶3分钟，喝牛奶2分钟．他做完这些事情至少要用 15 分钟．
【分析】因为听音乐15分钟，烧水8分钟，热牛奶3分钟，喝牛奶2分钟，所以可在听音乐的15分钟里同时完成烧水8分钟、热牛奶3分钟、喝牛奶2分钟，据此解答即可．
【解答】解：可在听音乐的15分钟里同时完成烧水8分钟、热牛奶3分钟、喝牛奶2分钟，
这样可以节省（分钟），最少需要15分钟；
答：他做完这些事情至少要用15分钟．
故答案为：15．
【点评】此题属于合理安排时间问题，奔着既节约时间，又不使各项工作相互矛盾即可．
14．某校组织甲、乙两班去距离学校30公里处参观，学校有一辆交通车，只能坐一个班，车速每小时45公里，人行速度每小时5公里，为了使两班同学尽早到达，他们上午8时同时从校出发，那么两班到达参观地点是上午 约9 时 分 秒．
【分析】要使两班同学尽早到达，应使两班同学始终在行走，且在中途及终点没有等待最省时间．
如图设是学校，是目的地．甲班先乘车到地下车后步行，空车自返回在途中处遇到从步行到的乙班，乙班同学在处乘车与步行的甲班同时到达．
因车速与人速之比为，故（车行路程）与之比为．故．又显然有（否则两班不能同时到达）．故有（公里），（公里）．车行总路程为（公里）总时间为（小时），即大约在上午9时33分20秒到达．
【解答】解：如图，设是学校，是目的地．甲班先乘车到地下车后步行，空车自返回在途中处遇到从步行到的乙班，乙班同学在处乘车与步行的甲班同时到达．
则．
，
，
，
，
故．又显然有，
所以，（公里），
（公里）．
（公里），
车行总路程为（公里），
总时间为（小时），
即约1小时33分20秒．故大约在上午9时33分20秒到达．
故答案为：9时33分20秒．
【点评】本题通过画图解答能比较直观的体现出车行路程与步行路程之间的数量关系．
15．有27人乘车郊游一天，可供租用的车辆有两种，面包车每辆可乘8人，每天租金80元，小轿车每辆可乘4人，每天租金50元．一共租 3 辆面包车和 辆小轿车最省钱，应花 元．
【分析】则面包车每人的费用为：元，小轿车每人次的费用为：元，即面包车的成本较低，所以在尽量减少空座的情况下，多租用面包车最省钱，据此设计租车方案即可．
【解答】解：（元，（元
所以多租用面包车最省钱，
（辆（人，
剩余3人租一辆小轿车，
即可租3辆面包车，一辆小轿车，
需花：（元．
答：一共租 3辆面包车和 1辆小轿车最省钱，应花 290元．
故答案为：3，1，290．
【点评】根据需要乘车的人数及每种车的承载人数及租车费用进行分析是完成此类问题的关键．
16．今年某网上购物商城在“双11购物节”期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物不超过100元不给优惠；
②购物超过100元但不足500元的，全部打9折；
③单次购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折。
（1）小张第1次购得商品的总价（标价和）为200元，按活动规定实际付款 180 元。
（2）小丽第2次购物花费490元，与没有促销相比，第2次购物节约了 元。
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，那会比分两次买节省 元。
【分析】（1）按规定实际付款商品总价，据此计算即可解答；
（2）假设购物花费500元，则打九折后应花费（元，这里第二次购物花费了490元，则超出的（元是超出500打八折的钱数，据此用（元，所以原价是（元，求出原价，再与现价相减即可解答问题；
（3）先求出这两次购物的总价，按照活动规则列式计算出合买应付的钱数，再与分两次购买应付的钱数相比较即可解答。
【解答】解：（1）（元
答：按活动规定实际付款180元。
（2）
（元
（元
答：第2次购物节约了60元。
（3）（元
（元
（元
（元
答：比分两次买节省20元。
故答案为：180；60；20。
【点评】解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．合理分析得出结论。
三．应用题（共10小题）
17．妈妈逛了两家商场，看到同款的行李箱，但折扣和原价都不相同。商场原价580元，打八折；商场原价618元，每满200元减50元。请你帮妈妈算一算，在哪个商场买更便宜？便宜多少钱？
【分析】根据两家商场的优惠政策，分别计算两家商场所需钱数，比较即可得出结论。
【解答】解：商场：
（元
商场：
618中有3个200元。
（元
（元
答：在商场买更便宜，便宜4元。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是计算出两家商场所需钱数。
18．某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。
（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。
【分析】（1）根据甲、乙两超市的促销方式，分别代入计算即可；
（2）根据计算可得该顾客原购物金额超过500元，设原购物金额为未知数，根据乙超市的促销方式列方程即可求得，再将求出的金额用甲超市促销方式进行计算后比较，即可判断。
【解答】解：（1）由题意可知，一次性购物总额是400元时：
甲超市实付款：（元
乙超市实付款：（元
答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元．
（2）因为（元
所以该顾客购物实际金额多于500元，
设该顾客购物金额为元，由题意得：
若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为：
元
475.2元元
答：该顾客的选择不划算。
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题时要把握清楚题目中描述的促销方式。
19．买40袋同样的牛奶，甲、乙两家超市相比，从哪家超市买更便宜？能便宜多少元？列式计算说明。
【分析】甲店：每袋优惠，求出每袋实际的钱数，再根据“总价单价数量”解答即可。
乙店：打八五折即现价是原价的，先根据“总价单价数量”求出40袋需要的钱数，再乘以，即为实际需要的钱数。
由此进行比较即可得出答案。
【解答】解：甲店：
（元
乙店：
（元
，所以从乙超市买更便宜。
（元
答：乙超市买更便宜；能便宜4元。
【点评】解答本题的关键是理解题意，根据各自的优惠方法求出实际需要的钱数。
20．书店正在进行酬宾活动，方案①：原价450元的一套原版名著现在打八折；方案②：如果在本次活动中先花20元办一张会员卡，还可以在打八折的基础上再打九折，你认为哪种方案购买比较便宜？
【分析】根据不同的方案分别计算各自需要的钱数，再比较大小得出答案。据此解答。
【解答】解：方案①：（元
方案②：
（元
答：方案②购买比较便宜。
【点评】解答本题关键是理解两次打折的单位“1”不同，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算即可。
21．校门口两家文具店同一款式的钢笔都以3元支出售，现在暑假来临，两家店同时搞促销。
甲店：打六折，折后满35元还可以再优惠5元。
乙店：买4支送1支，如果实际付满40元还可以再打七折。
李老师想买20支这样的钢笔送给社团的同学们，应该去哪家店买更划算呢？（请写出你的思考过程）
【分析】根据两店的优惠方案，分别求出买20支钢笔在两家店需要的钱数，再比较即可解答。
【解答】解：甲店：
（元
（元
乙店：
（组
（元
（元
答：去甲店买更划算。
【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是求出两家店需要的钱数，再比较。
22．为了保障同学们上下学路上的安全，五六年级家委会，准备为300名学生每人购买一顶“交通安全小红帽”。下面是两个商店售卖这种帽子的优惠方案，如果你是家委会负责人，你会去哪个商店购买？写出你的思考过程。
商店：每顶帽子40元，数量不少于300顶可以全部打八五折。
商店：每顶帽子40元，每满800元减100元。
【分析】分别算出、商店分别需要多少钱，然后进行比较，选择购买商店。
【解答】解：商店：
（元
商店：
（元
答：商店便宜，我会去商店购买。
【点评】本题的难点在于根据两个商店的优惠方案，分别计算两个商店各需要多少钱，进行比较之后决定购买方案。
23．端午节期间，百货大楼搞促销活动，甲品牌的衣服每满200元减80元；乙品牌衣服“折上折”，就是先打七折，在此基础上再打九折。如果两个品牌都有一件标价800元的衣服，哪个品牌的更便宜？
【分析】甲品牌，每满200元减80元，那么原价800元的衣服，可以减4个80元，据此用减法求出；乙品牌，“折上折”，先打七折，在此基础上再打九折，先把原价看成单位“1”，用原价乘上，就是七折后的价格，再把七折后的价格看成单位“1”，再乘上，就是现价；比较两种品牌的现价即可得出哪个品牌的更便宜。
【解答】解：甲品牌：
（元
（元
乙品牌：（元
答：甲品牌的更便宜。
【点评】解决本题关键是理解两种品牌不同的优惠方法，注意乙品牌的两个单位“1”的不同。
24．用载质量分别是5吨和8吨的两辆货车运送85吨货物。如果用载质量8吨的货车先运2次，怎样安排这两辆货车能正好运完剩下的货物？
【分析】先用85吨减去8吨的货车运2次后剩下的质量；再将结果拆分成含有数字8和5的乘加算式；据此解答即可。
【解答】解：
（吨
（次（吨
即安排8吨的货车运8次、5吨的货车运1次或8吨的货车运3次、5吨的货车运9次。
答：安排8吨的货车运8次、5吨的货车运1次或8吨的货车运3次、5吨的货车运9次能正好运完剩下的货物。
【点评】本题主要考查了优化问题的应用，关键是求出8吨的货车运2次后剩下的质量。
25．启迪幼儿园要给200位小朋友每人配一个水杯，同样的儿童水杯每个原价都是4元，六一国际儿童节，以下商场的儿童商品都有优惠，请帮助幼儿园算一算，到哪家商场购买最合算？
雁窝岛商场：儿童商品九折出售
垦威商场：每购满100元，返回现金15元
旺旺商城：买7个送1个
【分析】根据三家商场的优惠政策，分别计算所需钱数：
雁窝商场：打九折就是现价原价，所以现在买200个需要钱数：；据此计算；
垦威商场：先求按原价需要多少钱：（元，然后求有多少100元，就返现几个15元；据此解答；
旺旺商场：买七送一就是每（个中有一个不需花钱，先求不需花钱的个数：（个，然后求所需钱数：。
最后比较，即可得出结论。
【解答】解：雁窝商场：（元
垦威商场：（元
（个
（元
旺旺商场：（个
（元
所以，到垦威商场购买最划算。
答：到垦威商场购买最划算。
【点评】本题注意考查最优化问题，关键根据三家商场的优惠政策，计算所需钱数。
26．
某品牌皮包搞促销活动，商场满500元优惠；商场打七五折；商场可以使用阳泉市政府发放的消费券。吴叔叔想买一个520元的皮包，正好有一张满500元减160元的消费券，请你帮吴叔叔算一算在哪个商场购买比较划算。
【分析】商场：因为，所以可以优惠，用原价即可求出实际价格；
商城：用原价乘七五折，即可求出实际价格；
商场：用原件减去满减的钱数，即为实际价格。
比较三个商场的实际花费，得出结论。
【解答】解：商场：
（元
商场：七五折
（元
商场：
（元
答：在商场购买比较划算。
【点评】本题主要考查了最优化问题，计算三个商场的实际价格是解题的关键。车型
座位个
车费元
大客车
50
1500
小客车
30
1050
店
店
店
买十送二
打八折
满100返现金20元
2020年，在对抗新冠肺炎疫情中，全国人民在党的领导下众志成城，取得了伟大的胜利，但是，社会经济受到了很大的冲击。现阶段，社会经济全面正常恢复还需要一段时间，为了拉动内需，5月22日，阳泉市“政银企携手惠民生，你我他畅购促消费”消费券发放活动仪式在北山公园举行。此次活动，共发放消费券总额为7000万元。