2025年湖南省中考数学模拟试卷（一）（原卷版+解析版）

这是一份2025年湖南省中考数学模拟试卷（一）（原卷版+解析版），共27页。
1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号．
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．请勿折叠答题卡，考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师．
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A. 收入18元B. 收入6元C. 支出6元D. 支出12元
2. 计算下列各组数，结果不等于的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，4
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C D.
6. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
8. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A. B. C. D.
9. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
10. 设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1，x2，x3的关系是
A x3＝x1＋x2．B. x3＝＋．C. x1x2＝x2x3＋x3x1．D. x1x3＝x2x3＋x1x2．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．
12. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是__________．
13. 化简：的结果为______．
14. 因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：__________．
15. 黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是______．
16. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______．
17. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米．
18. 如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么________．
三、解答题（本题有8小题，共66分，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24每题9分，第25、26题10分，需要写出必要的推理和解答过程）
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度.
（，，，结果保留整数）.

22. 为提高学生安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀）、（良好）、（一般）、（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人．
23. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
24. 将两个完全相同含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
25. 如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（3）当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
2025年湖南省中考数学模拟试卷（一）
（满分：120分 时量：120分钟）
注意事项：
1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号．
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．请勿折叠答题卡，考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师．
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A. 收入18元B. 收入6元C. 支出6元D. 支出12元
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解：（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
【点睛】本题考查正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．
2. 计算下列各组数，结果不等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了化简多重符号和绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．逐项进行化简判断即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故选：A．
4. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，4
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可．
【详解】3出现次数最多，
众数是3；
把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6，
4位于第四位，
中位数为4；
故选：A．
【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方法则可判断选项A，根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据完全平方公式可判断选项D．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
6. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解①得，
解②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
8. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
9. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10. 设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1，x2，x3的关系是
A. x3＝x1＋x2．B. x3＝＋．C. x1x2＝x2x3＋x3x1．D. x1x3＝x2x3＋x1x2．
【答案】C
【解析】
【分析】先将直线与抛物线联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与轴的交点横坐标，即可得出答案．
【详解】解：由题意得和为方程的两个根，即，
，；
；
直线与轴交点的横坐标为：，
．
．
故选．
【点睛】此题考查了函数与方程的关系，证明时利用一元二次方程根与系数的关系将原式转化，得到关于、的表达式是证明的关键．证明思路可简单表达为：抓两头，凑中间．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据用科学记数法表示较大的数时，注意中的范围是，为正整数，其与原数的整数部分的位数的关系是，即可求得答案．
【详解】解：万，
故答案为：5．
13. 化简：的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算．
【详解】解：
原式
故答案为：．
14. 因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】该题主要考查了因式分解法，解题的关键是掌握因式分解常见方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．
先提取公因式，再用平方差公式分解即可；
【详解】解：，
故答案为：．
15. 黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
17. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解．
【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
米
故答案为：12．
18. 如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值．
【详解】解：点在双曲线上，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，则：，
∴，
∴，
设，
过点作轴，延长交于点，则：
∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共66分，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24每题9分，第25、26题10分，需要写出必要的推理和解答过程）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的有关运算，涉及二次根式，三角函数以及负整指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先化简二次根式、计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值及乘法，然后从左向右依次计算，即可的到答案．
【详解】解：原式
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．先将乘法转换为乘法计算，然后利用平方差公式和完全平方公式化进行约分后，再计算加减即可化简，最后把代入进行计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
21. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度.
（，，，结果保留整数）.

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀）、（良好）、（一般）、（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人．
【答案】（1）50，7
（2）条形统计图见解析，
（3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
【解析】
【分析】题目主要考查条形及扇形统计图，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
，
故答案为：50，7；
【小问2详解】
解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人．
23. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
（2）租14辆45座客车较合算
【解析】
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【小问1详解】
解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
【小问2详解】
∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
24. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；
（2）如图，在中，由角所对直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
【小问2详解】
如图，在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．
25. 如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，由，可证明．再由矩形的性质可推出．根据圆的基本性质得出，即可求出，从而可求出，即证明BE为⊙O的切线；
（2）由题意可推断点E为矩形ABCD对角线的交点，即可证明，推出为等边三角形，从而可求出．再利用含角的直角三角形的性质即可求出，进而求出，还可根据勾股定理可求出的长，即BC的长，最后根据矩形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
如图，连接OE．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，即，
∴BE为⊙O的切线；
【小问2详解】
∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（3）当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）1或8 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意可先求得抛物线的解析式，从而得到顶点坐标，即可得到值；
（2）分情况讨论：当轴时，点，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；当轴时，则，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；
（3）根据题意可知，求得的取值范围，然后用表示出点，的坐标，接着用表示出，，结合，得到关于的方程，解之即可得到答案．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，
，
抛物线解析式为，
顶点坐标为，
点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，
，
解得：.
.
【小问2详解】
解：①轴，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
当轴时，点，关于直线对称，
，
，则，，
，，
点与点的纵坐标的差为；
②轴
同理，当轴时，则，关于直线对称，
，，则，
，；
点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点纵坐标的差为1或8；
【小问3详解】
解：如图所示，
，都在对称轴的左侧，则，
，
，，即，
；，
，
，即，
解得：或（舍去），
的值为．
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
甲型客车
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载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
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