河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了本次考试试卷共4页，19个题，请把答案写到答题纸上，否则无效等内容，欢迎下载使用。
2.本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，共58分；卷Ⅱ为非选择题，共92分。
3.请把答案写到答题纸上，否则无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上D．点O在的外部
3．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高二·辽宁沈阳·学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C．边长为的正方形中
D．若点为的重心，则
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，D．若，，则面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．设与的夹角为60°，，，则 ．
13．中，a，b，c分别是的对边，，则 .
14．在中，在上，且，在上，且.若，则 .
四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；（2）求与的夹角.
16．已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
(1)用、表示向量、；
(2)若向量与共线，求的值.
17．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的长．
18．已知扇形半径为1，，弧上的点满足.
（1）求的最大值；（2）求最小值.
19．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，，求的坐标；
(2)若，，且，求实数的值；
(3)若，，求向量的夹角的余弦值.
月考复习卷答案
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2024·海南·一模）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【详解】又因为，
所以，故选：D.
2．（2025高一·全国·课后作业）已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上D．点O在的外部
【答案】D【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．
3．（2025高一·全国·课后作业）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【详解】解：对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，所以，故正确.
故选：B.
4．（2024高二·辽宁沈阳·学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】，，，由正弦定理得，.故选：B.
5．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】法一：由单位向量的夹角为，可得，．
若向量与向量的夹角为锐角，
则且向量与向量不共线．
由，得；
由向量与向量不共线，得，即．
所以由向量与向量的夹角为锐角，得且．
易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.
综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
法二：
因为单位向量的夹角为，所以不妨令，，
则，．因为向量与向量的夹角为锐角，
所以，且，得且．
当时，可得，
此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.
综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
故选：B．
6．如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B【详解】如图，设外接圆半径，连接，在三角形中，的对角分别为，设点到三边的距离分别为，
由锐角知均为正数，
由外接圆知，所以，
同理: ，，
所以，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：B.
7．（2025高一下·四川绵阳·开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】①∵，∴，又∵
∴∴故①成立；
②∵∴∴
∴；故②成立；
③∵∴
∴∴ ；故③成立；
④∵表示为边的单位向量， 表示为边的单位向量，
∴所以（）.表示，
又∵，
∴°
所以为等边三角形，故④成立.故选：D.
8．在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A【详解】
∵，∴，
∴.
∵A，P，D三点共线，∴.∵，∴.
∵E是边AB的中点，∴.
∵E，P，F三点共线，∴，
∴，解得，，∴，即，，故.故选：A.
多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【详解】解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．故选：BD．
10．（2025高一下·江苏泰州·开学考试）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C．边长为的正方形中
D．若点为的重心，则
【答案】AD【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；
对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；
对于选项C，边长为的正方形中，故C错误；
对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选：AD.
11．（24-25高二上·福建福州·期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，D．若，，则面积为
【答案】ABD【详解】因为，由题意可得，
整理得，由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；故选：ABD.
填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（2025高一下·上海·课后作业）设与的夹角为60°，，，则 ．
【答案】．【详解】解：．
，．．．解得．故答案为：．
13．（2025高一下·四川成都·阶段练习）中，a，b，c分别是的对边，，则 .
【答案】【详解】因为，所以，
即：，因为，所以，故答案为：
14．（24-25高三上·陕西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，则 .
【答案】/
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，则.故答案为：
解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．（24-25高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；（2）求与的夹角.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】解：（1），，，
，且，解得；
（2），，
，且，.
16．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
(1)用、表示向量、；(2)若向量与共线，求的值.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
（2）解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得.
17．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．
（1）求；（2）求的长．
【答案】(1)；(2).
【详解】(1)由AB∥CD可得，则，
即，而，即有，
在中，，
所以；
(2)由(1)知，，
在中，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，解得或(舍去)，所以的长为.
18．已知扇形半径为1，，弧上的点满足.
(1)求的最大值；
(2)求最小值.
【答案】(1)(2).
【详解】（1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且，
设，，则，所以，，，
由，得，
即，，解得，
所以，所以当时，取得最大值，且.
由（1）可得，，
所以
，
因为，所以当，即当时，取得最小值是.
19．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，，求的坐标；
(2)若，，且，求实数的值；
(3)若，，求向量的夹角的余弦值.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）若，，则，
则
故的坐标为.
（2）若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.