河北省石家庄市第二十四中学2024~2025学年高一下册第一次月考数学试卷【附解析】

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高一年级数学试题
第I卷（选择题，共58分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部；
【详解】解：，所以的虚部为；
故选：A
2. 已知平面向量，且，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，利用向量的数量积的坐标表示可求得的值.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，解得.
故选：A.
3. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为，
所以，
故选：A
4. 已知向量，，，，满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行关系得，再利用乘“1”的方法求最值，即可求解.
【详解】因为向量，，，，
由，得，即，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
5. 如图，已知某无人机航线和，，三艘潜艇在同一个铅垂平面内，若某时刻测得，相距200米，且在，两艘潜艇上测得该无人机所在位置的仰角分别为75°，30°，且点在的正上方，则（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求得，进而求得.
【详解】，
在三角形中，，
由正弦定理得
，
在中，米.
故选：B
6. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断.
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；
综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
7. 在中，，，，的角平分线交BC于D，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理求得的长，再利用，即可求得答案.
【详解】在中,由余弦定理得,

则，即，
解得，（负值舍），
而AD平分，即，
又，故，
则，
故选：B
8. 已知三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理计算先得，确定为直角三角形，再利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质计算即可.
【详解】由余弦定理可知，
所以，即为直角三角形，.
设，则，
则，
显然时，.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 在上的投影向量的模长为1
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由向量数量积坐标计算公式可得答案；对于B，由向量模计算公式可得答案；对于C，由向量夹角公式求解可得答案；对于D，由投影向量定义可得答案.
【详解】根据题意，，A正确；
，
所以，
，所以B错误；
，又向量夹角在，
所以与的夹角为，C正确；
在上的投影向量的模长为,D错误.
故选：AC
10. 若复数z满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z在复平面内对应的点位于第四象限
B. （是z的共轭复数）
C.
D. 若，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先化简得出z，再逐一判断选项即可．
【详解】，
在复平面内所z对应的点坐标为，在第四象限，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
对于D，，则表示复数的点P的集合是以为圆心，2为半径的圆，
而，即为点到点之间的距离，
所以的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
11. 锐角内角，，的对边分别为，，，其外接圆的半径，点在边上，且，则下列判断正确的是（ ）

A.
B. 为直角三角形
C. 周长的取值范围是
D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用正弦定理求解，对于B，过作于，在和中计算判断，对于C，由正弦定理得，则表示出三角形的周长化简可得结果，对于D，取的中点，连接，则，然后化简，再结合三角函数的性质可求得其范围.
【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，
所以，因为，所以，所以A正确，
对于B，过作于，则，在中，，
在中，，
所以，所以为直角三角形，所以B正确，
对于C，由正弦定理得，所以，
所以周长为
，
因为，所以，所以，
所以，即周长的取值范围是，所以C错误，
对于D，取的中点，连接，则，所以，
所以，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，所以D正确，
故选：ABD

第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2，则该四棱锥的体积_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用侧面积求出斜高，再计算正四棱锥的高，然后求解体积．
【详解】顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心，
正四棱锥的侧面积为S侧面=4•∴PE=
∴正四棱锥的高OP=
所以棱锥的体积
故答案为
【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征及棱锥体积公式的应用.
13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求得.
【详解】由余弦定理得，得，
所以.
故答案为：
14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把，用已知向量，表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．
【详解】，，
，，
即，
又，
则，
，，，
则
，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
四､解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知是虚数单位，复数和它的共轭复数满足.
（1）求复数；
（2）若复数z是关于的方程的一个根，求实数的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设出，利用复数相等解方程即可；
（2）由是关于的方程的根，利用复数的运算和韦达定理求解即可.
【小问1详解】
设，则，其中，是实数，∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
∵是关于的方程的一个根，
∴也是关于的方程的一个根，
∴，
∴.
16. 已知向量，满足．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）求的值．
【答案】（1）.
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据垂直关系，先求出，再根据数量级的定义求向量与夹角的余弦值.
（2）根据求向量的模.
【小问1详解】
设与的夹角为，因为，
所以，
又，所以，所以
所以向量与夹角的余弦值为.
【小问2详解】
由，
所以．
17. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）已知为边上的一点，若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理的边角互化化简，再由余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而求得以及，再由可得，然后在中，由正弦定理即可得到结果.
【小问1详解】
由正弦定理可得，即，
化简可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
【小问2详解】
设，则，
在中，由余弦定理可得
，即，
由正弦定理可得，即，
则，
又
，
则，
又，所以
，
在中，由正弦定理可得，
即.
18. 已知在中，边上的高为．
（1）求点和向量的坐标；
（2）设，求．
【答案】（1），；
（2）0.
【解析】
【分析】（1）根据已知及垂直关系，应用点斜式得到、，联立求，进而得向量的坐标；
（2）由（1）得，，应用向量夹角的坐标运算求夹角余弦值.
【小问1详解】
由题设，则，故，即，
而，即，
联立，可得，即，故；
【小问2详解】
由（1），，则.
19. 在中，角所对的边分别为，已知且．
（1）求角的大小．
（2）若的面积为，求的周长．
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角性质及辅助角公式得，即可得；
（2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得；
（3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围.
小问1详解】
由题设及正弦边角关系，知，
又，
所以，又，
则，即，
因为，所以，所以，即；
【小问2详解】
由题设，则，
所以，
所以三角形周长为；
【小问3详解】
由（1）知，则，而，得，
所以，
而，故，则的范围为.