山东省枣庄市滕州实验高级中学2024-2025学年高二下学期第一次调研考试数学试卷（Word版附解析）

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滕州实验高级中学2024~2025学年度第二学期第一次调研考试
高二年级数学学科试题
命题人：薛云 出题时间：2025.3
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若，则（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.
【详解】
，
所以.
故选：B.
2. 对于满足的任意正整数，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列数公式即可判断.
【详解】易得，
故选：D.
3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 在上单调递增
B. 在上单调递减
C. 在处取得最大值
D. 在处取得最小值
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数的正负与原函数的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】根据导函数图象，可知当单调递减；当单调递增；当单调递减；当单调递增.在处取得极大值，不一定最大值；在处取得极小值，不一定最小值，故ACD错误，
故选：B.
4. 若直线与曲线相切，则实数的值可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，可得，令，求得，进而求得切点坐标，得到的值.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，
由函数，可得，可得，
所以，可得，解得，
则，即切点为，
将切点代入，
可得，所以，
当时，可得.
故选：B.
5. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）
A. 120个B. 480个C. 288个D. 240个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4，结合排列、组合数的公式，即可求解.
【详解】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4，
当个位数字为0时，小于的偶数有个；
当个位数字为2或4时，小于的偶数有个，
所以小于的偶数共有个.
故选：D.
6. 函数的极值点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数判断函数的导函数，据此可知函数单调递增无极值点.
【详解】由题意知，
令，则，
令，得，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，由此可知，函数单调递增，所以函数不存在极值点.
故选：A.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令,求导得，于是得在上单调递增，所以当时有，进而可得，由二倍角公式及的单调性可得，即可得答案.
【详解】解：令,则，
所以在上单调递增，
所以当时，，
即当时，，
所以，即，
又因为，
即，
综上所述：.
故选：A.
【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，也考查了导数的应用和逻辑推理能力，属于较难题.
8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出对于任意的恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.
【详解】显然首先，
，
令，则，所以在定义域内严格单调递增，
所以若有成立，则必有，
即对于任意的恒成立，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本初等函数的导数公式逐项求解可得.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：BC
10. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. ！D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．
【详解】对于A，，选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，•，选项D正确．
故选：ACD．
11. 若函数，为自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．给出下列函数：不具有性质的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性，对选项逐一考查就可以得到答案．
【详解】解：对于，定义域为，则，则，
令，则，即上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，所以恒成立，即函数在定义域上单调递增，故函数具有性质；
对于，，则，在实数集上恒成立，在定义域上是增函数；
对于，，则，，显然不单调；
对于，，则，，当时，，在定义域上先减后增；
具有性质的函数的序号为，不具有性质的函数的序号为、．
故选：CD．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，属于中档题．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数的导数为，则等于______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用求导法则求，再建立关于的方程组即可.
【详解】，则，
因，则且，解得，
则
故答案为：4
13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解
【详解】，因为函数在上是单调函数，
故只能满足在上恒成立，即，，解得
故答案为:
14. 定义在上的可导函数满足，且，则的解集为__________
【答案】
【解析】
【分析】先令，对其求导，得到，根据题意，得到在上单调递减；再由得，将不等式化为，根据单调性，即可得出结果.
【详解】令，则，
因为定义在上的可导函数满足，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递减；
又，所以，
因此，由得，
所以，又定义域为，所以；
即的解集为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数的方法解不等式，利用导数的方法研究函数单调性，进而可根据单调性求解，属于常考题型.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. （1）求下列函数的导数：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
（2）解方程：．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用求导的四则运算和复合函数的求导法则即可；
（2）利用排列数公式化简得到关于的一元二次方程，因即可得方程的解.
【详解】（1）（ⅰ）．
（ⅱ）.
（2）根据原方程，应满足
解得．
根据排列数公式，原方程化为．
因为，两边同除以，得，
即，解得或（因为为整数，所以应舍去），
所以原方程的解为．
16. 已知二次函数，其图象过点，且．
（1）求的值；
（2）设函数，求曲线在处的切线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数和已知条件得出关于方程组，求解即可；
（2）求出得切点坐标，再求出得切线斜率，利用点斜式即可求得所求的切线方程.
【小问1详解】
由题意可得，即为，
又，可得，
解得．
【小问2详解】
由（1）知，
则，
则曲线在处的切线斜率为，
又∵，∴切点为，
则曲线在处的切线方程为，即为．
17. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
（1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
【答案】（1）瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最大
（2）瓶子半径为时，每瓶饮料利润最小，并且是亏损的
【解析】
【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．
【小问1详解】
由于瓶子的半径为，
所以每瓶饮料的利润是，．
令，解得（舍去）．
所以当时，；当时，．
当时，，它表示在区间上单调递增，即半径越大，利润越高；
当时，，它表示在区间上单调递减，即半径越大，利润越低．
又，
故半径为时，能使每瓶饮料的利润最大．
【小问2详解】
由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以当时，有最小值，其值为，
故瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的.
18. 有4名男同学和3名女同学（其中含甲、乙、丙）站成一排.
（1）3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
（4）甲不站左端，乙不站右端，有多少种不同的排法？
【答案】（1）（种）
（2）（种）
（3）（种）
（4）（种）
【解析】
【分析】相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，有限制条件得可以采取正难则反的思路，结合排列数公式，逐个计算，即可.
【小问1详解】
3名女同学是特殊元素，共有种排法；
由于3名女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4名男同学排队，应有种排法．
由分步乘法计数原理得，有（种）不同的排法．
【小问2详解】
先将男同学排好，共有种排法，再在这4名男同学的中间及两头的5个空当中插入3名女同学，则有种方法．
故符合条件的排法共有（种）.
【小问3详解】
先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲，乙要相邻，故先把甲，乙排好，有种排法；
最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有种排法．
所以共有（种）不同的排法．
【小问4详解】
7个人的全排列共有(种) 不同的排法， 若甲站在左端，则有(种)不同的排法， 若乙站在右端，则有(种)不同的排法， 若甲站在左端同时乙站在右端，则有 (种)不同的排法，
故若 7 人站成一排，甲不能站在左端，乙不能站在右端， 则共有 (种)不同的排法
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.