（模块化思维提升）专题9-约数个数与约数和定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题9-约数个数与约数和定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共13页。试卷主要包含了约数个数与约数和定理，29×3等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、约数个数与约数和定理。
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk那么：
n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）
n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（pk0+pk1+pk2+…pkak）
【典例一】105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个
【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．
【解答】解：105=3×5×7，
共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，
答：它的约数共有8个．
故选：C．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
【典例二】恰有20个因数的最小自然数是（ ）
A、120 B、240 C、360 D、432
【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．
【解答】解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；
四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．
故选：B．
【点评】此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．
【典例三】给出一个自然数，的约数个数用表示，的约数和用表示．
（1）求，．
（2）求，最小的自然数是几？
（3）若，问一定是怎样的数？
【分析】求约数的公式：相同质因数个数相乘．
（1）比如，，有1个2，1个3，1个7，约数个数为，其约数分别为1、2、3、7、6、14、21、42，其和为96．所以，，．
（2）8可以表示为、和，但要求数最小，所以，取．这样，尽量选择小的质数，即，．
（3）一个数的约数个数有2个，一定是质数，因为质数的定义就是只有1和它本身两个因数．
【解答】解：（1），有1个2，1个3，1个7，约数个数为，
其约数分别为1、2、3、7、6、14、21、42，其和为96．
所以，，．
（2），但要求数最小，所以，取．
这样，尽量选择小的数，
即，
所以．
（3），即一个数的约数个数有2个，一定是质数，因为质数的定义就是只有1和它本身两个因数．所以一定是质数．
【点评】掌握求约数公式，是解答此题的关键，同时还要知道知识点：一个数的约数个数有2个，一定是质数．
一．选择题（共8小题）
1．已知，那么的因数一共有 个。
A．4B．6C．8D．9
2．24的约数一共有 个．
A．10B．8C．6D．4
3．类似6、28、496、的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如．则完美数496有 个因数．
A．8B．9C．10D．12
4．105可以分解成，它的约数共有
A．4个B．6个C．8个D．10个
5．将数分解质因数是，那么因数有 个．
A．3B．5C．6D．8
6．一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有 个．
A．8B．6C．5D．3
7．在中只有3个约数的数有 个．
A．18B．19C．20D．21
8．，，是各不同的自然数，而且除以，那么的约数至少有 个．
A．6B．2C．3D．4
二．填空题（共8小题）
9．某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这自然数是 。
10．某自然数有10个不同的约数，但质约数只有2和3，满足条件的自然数最大是 。
11．表示自然数的约数的个数，例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成，计算： ．
12．要将30个苹果放入篮子里．如果每次放入的个数相同，在若干次后能够刚好放完，一共有 种拿法．
13．120的所有约数的倒数相加的和是 ．
14．已知甲，乙，甲、乙两数的公因数共有 个．
15．把一个自然数的所有的约数都写出来，然后在这些约数任意找两个相加，这样就可以得到若干个不同的和，其中最小的和是4，最大的和是140．那么，这个自然数是 ．
16．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是，，，，，．已知，那么 ．
三．解答题
17．一个数有4个因数，其中一个因数是最小的四位质数，则这个数最小是多少？
18．在100至150之间，找出因数个数是8个的所有整数。
19．有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？
20．一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的因数恰好比它自己的因数多3个．那么这个正整数是多少？
21．某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这个自然数是多少？
22．8的因数有1、2、4、8共4个，9的因数有1、3、9共3个，那么72的因数共有多少个？
23．360有多少个因数？所有因数的和是多少？
24．因数和是指一个数所有因数的和，例如“6”的因数和是．
（1）24的因数和是多少？
（2）一个自然数有5个因数，求因数和最小是多少？
（3）一个数的因数和是78，求这个数是多少？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【答案】
【分析】由求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，由此即可得出答案。
【解答】解：
所以的因数个数为：
（个
答：的因数一共有9个。
故选：。
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数。
2．【分析】根据求一个合数的约数个数的计算公式解答即可．
【解答】解：，
所以24的约数一共有：
（个；
答：24的约数一共有8个．
故选：．
【点评】此题是数论中的约数个数问题；当合数比较小时，可以用枚举法；当合数较大时，用求一个合数的约数个数的计算公式比较简单：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数．
3．【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，然后把496分解质因数，解答可得出答案．
【解答】解：
（个
答：完美数496有10个因数．
故选：．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数．
4．【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即个，然后解答可得出答案．
【解答】解：，
共有（个约数，
答：它的约数共有8个．
故选：．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数．
5．【分析】先求出的乘积，再求这个数的约数，解决问题．
【解答】解：，
30的自因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，计8个．
答：的因数有8个．
故选：．
【点评】也可以这样解答：2、3、5各一次，还有，，，，再加上1，共8个．
6．【分析】设这个数，则这个数的因数为：1、、、、、、、，共有8个；据此解答即可．
【解答】解：设这个数，则这个数的因数有：1、、、、、、、，共有8个．
答：一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有8个．
故选：．
【点评】解决本题的关键是将所有因数写出，再计数．
7．【分析】要想只有3个约数，这个数一定是的积（且是质数），按这种思路试着找出含有3个约数的数，据此解答．
【解答】解：如：，4的约数有：1，2，4，一共3个约数；
，9的约数约数有：1，3，9，一共3个约数；
，25的约数有；1，5，25，一共3个约数；
所以一个质数的平方数，只有三个因数：1，这个质数，它本身；
因为100以内质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 一共25个；
因为；；
5000以内只有3个约数的数最大是4489，
所以2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67的平方数都只有3个因数，这样的数一共有19个，
故选：．
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意只有（且是质数）的积的形式才含有3个约数．
8．【分析】首先．．肯定是的因数，而且互不相等，所以算三个；然后考查1，1肯定是的因数，问题是会不会与上面的三个重复，
首先，这个很明显；然后，如果，则，这是不行的，所以也不等于1，同样地，也不等于1；也就是说1．．．是互不相等的，至少有这四个数是的因数．
【解答】解：由分析知：的约数有1、、、；共4个．
故选：．
【点评】考查了约数个数与约数和定理，根据找一个的因数的方法进行解答即可．
二．填空题（共8小题）
9．
【分析】根据某自然数是3和4的倍数可得：这个自然数是12的倍数，12的倍数有：12、24、36、48、分别写出它们的约数，然后找出共有10个约数的数即可。
【解答】解：根据某自然数是3和4的倍数可得：
这个自然数是12的倍数，12的倍数有：12、24、36、48、
12的约数有：1、2、3、4、6、12，共6个；
24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；
36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个；
48的约数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个；
所以，这个自然数是48。
答：这个自然数是48。
故答案为：48。
【点评】此题主要考查一个合数的约数，解答本题的关键是求出3和4的最小公倍数。
10．【答案】162。
【分析】首先把10分成两个数的乘积，用因数减1当作所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使3的个数最多，算出乘积即可得出答案。
【解答】解：因为，
所以一个自然数有10个不同的因数，则这个自然数最大：。
答：满足条件的自然数最大是162。
故答案为：162。
【点评】此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数。
11．【分析】先分析出18、22、7的因数各有多少个，再相加即可．
【解答】解：18的因数有：1，2，3，6，9，18；
22的因数有：1，22，2，11
7的因数有：1，7
所以：
故答案为：5．
【点评】此题考查了找一个数因数的方法，要逐个求出．
12．
【分析】如果每次放入的个数相同，且若干次后能够刚好放完，说明每次放的个数是30的因数，那么30有几个因数，就有几种拿法，然后求出30的因数的个数，去掉30这个因数即可．
【解答】解：
（种
（种
答：一共有7种拿法．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数．
13．【分析】把120分解质因数，求得所有的约数是1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；由此即可求得所有的约数的倒数之和．
【解答】解：，
所以120的所有约数有1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；
则所有约数的倒数相加的和是：
，
，
；
答：120所有约数的倒数相加的和是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了求一个合数的所有约数的方法，这里要注意求它们的所有约数的倒数之和的灵活计算．
14．
【分析】根据甲，乙，求出甲、乙两数的最大公因数：；则30的因数的个数，就是甲、乙两数的公因数的个数；然后再根据求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数因数的个数，即个，然后解答可得出答案．
【解答】解：甲、乙两数的最大公因数是：，
所以，公因数共有：
（个
答：甲、乙两数的公因数共有8个．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数．
15．【分析】1是所有非零自然数的约数，也是最小的约数，所以第二小的约数是：；设与1相对的约数是，与3相对的约数是；因为1，3是最小的两个约数，所以；又因为，即；进而可得：，然后求出的值，就可求出这个自然数是105．
【解答】解：根据分析可得：1是所有非零自然数的约数，也是最小的约数，所以第二小的约数是：；
设与1相对的约数是，与3相对的约数是；因为1，3是最小的两个约数，所以、是两个最大的约数；
则；又因为，即；因此：
，
，
；
那么，这个自然数是：；
答：这个自然数是105．
故答案为：105．
【点评】本题考查了约数的一些特性，本题的重点是根据“最小的和是4，”确定最小的两个约数；难点是理解：140是与最小两个约数相对的，最大的两个约数的和．
16．
【分析】先根据求因数的方法可知：这个自然数的，由于求一个数的约数的方法：把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的约数，重复的只写一个，据此写出求出45的因数，然后进一步解答即可．
【解答】解：因数最小是1，最大就是这个数本身
所以这个数就是45
因数分别是1、3、5、9、15、45
故答案为：18．
【点评】本题主要考查因数的意义及求因数的方法．
三．解答题
17．【分析】最小的四位质数是1009，则另一个因数一定有1，要使这个数最小，且有4个因数，所以第二小的因数一定是2，据此解答即可．
【解答】解：最小的四位质数是1009，则另一个因数一定有1，
要使这个数最小，且有4个因数，所以第二小的因数一定是2，
这个数最小为：，
因数的个数为，符合要求；
答：这个数最小是2018．
【点评】此题主要考查一个合数的因数个数的方法的灵活应用，计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数．
18．
【分析】根据题意可知，恰有8个因数的自然数具有的形式或或、、是不同的质数），并且要求的结果在之间，依次写出即可。
【解答】解：有和两种情况。
（1），符合要求，
，所以不再有其他7次方的数符合要求。
（2）
，，符合要求。
只有符合要求。
，它乘任何质数都大于150。
因此共有8个数合要求：128，104，135，136。
【点评】根据约数的个数这个条件，根据自然数数位知识，依次写出，但是还要根据结果在之间，注意不要漏写。
19．【分析】先把最小公倍数是2800分解质因数，，根据“一个有9个约数，”它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；又可知这个数的质因数的指数加1的积是：；所以这个数是；同理，根据“一个有10个约数，”可知这个数的质因数的指数加1的积是：，所以这个数是，据此解答．
【解答】解：，
设第一个数是，第二个数是，
因为它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的积是：
；
所以这个数是：；
同理，的质因数的指数加1的积是：
，
所以这个数是：；
答：这两个数分别是100和112．
【点评】此题是数论中的约数个数问题；即一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数．
20．
【分析】这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．例如：设，则它的约数有，它的2倍为，它的约数有个，则，所以最后增加的个数要比给定的数字大，设，它的约数个，它的2倍为，它的约数有个，则：，求出；同理，它的3倍为，它的约数为个，比原数多3个，即，求出，所以这个数的形式是；由此解答．
【解答】解：这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，那么最后增加的个数要比给定的数字大．
设，它的约数个，
它的2倍为，它的约数有个，
则：，求出；
同理，它的3倍为，它的约数为个，比原数多3个，
即，求出，
所以这个数的形式是；
答：这个正整数是12．
【点评】此题考查了约数个数与约数和定理，根据题意，推出这个数只能含2和3两种质因数，是解答此题的关键．
21．【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从质数2和3开始考虑，算出乘积比较得出答案．
【解答】解：
因为，
所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数是：．
答：这个自然数是48．
【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数．
22．【分析】根据题意，因为，8和9的因数也是72的因数，然后再求出两两搭配的数字，就是72的因数，据此解答．
【解答】解：因为，又8的因数有4个，9的因数有3个，因此：72的因数包含8的因数和9的因数，即1、2、4、8和3、9，还有，，，，，．因此72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72，共12个．
答：72的因数共有12个．
【点评】根据以上解答，可得出结论：8因数的个数乘9因数的个数就是72因数的个数．
23．【分析】可以先把360分解质因数，然后利用约数个数与约数和定理即可解决问题．
【解答】解：，
所以它的因数个数为：
（个
所有因数的和是：
答：360有24个因数，所有因数的和是1170．
【点评】约数个数与约数和定理：
设自然数的质因子分解式如那么：
的约数个数公式：；
的所有约数和：．
24．
【分析】（1）把24分解质因数，求和即可；
（2）一个自然数有5个因数，因数的个数是奇数个，所以它是完全平方数，这个自然数只能是某个质数的4次方，这个自然数最小是据此解答；
（3）把78分解质因数，
【解答】解：60；31；45
（1），所以因数和为：；
（2）5不能分解质因数了，这个自然数只能是某个质数的次方，这个数最小是，因此因数和最小为：；
（3），分解各个因数，看是否能组成各个数的形式相乘；
经试验，，，，不合题意舍去；
，可以得出符合要求，
所以这个数为：；
【点评】此题是数论中的约数个数问题以及因数和公式的逆运用，关键是知道因数和公式是什么，即（简单地说就是每个质因数从0次方加到它的最高次方，然后连乘）．