（模块化思维提升）专题6-相似三角形的性质（份数、比例）-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题6-相似三角形的性质（份数、比例）-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（通用版），共15页。试卷主要包含了相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形内切圆等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
相似三角形性质定理：
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
6、若，即b2=ac，b叫做a，c的比例中项。
7.等同于ad=bc。
8．不必是在同一平面内的三角形里。
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
【典例一】如图，是边长为8厘米的正方形，、分别是两条边上的中点．阴影部分的面积是 平方厘米．
【解答】解：如图，连接．
因为，正方形的边长为，面积是（平方厘米）
、分别是、的中点，
所以，，易得，，所以，，
于是，
又因为（平方厘米），所以（平方厘米）
则空白部分的面积为：（平方厘米），于是阴影部分的面积为：（平方厘米），
答：阴影部分的面积是平方厘米．故答案为：．
【典例二】用一张斜边30厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为50厘米的蓝色直角三角形，和一张黄色的正方形纸片拼成，如图的一个直角三角形．红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少平方厘米？
【分析】根据题干分析可得，红色直角三角形和蓝色直角三角形是相似三角形（三个角分别相等的三角形是相似三角形），将红三角形绕点旋转，一直角边与蓝三角形直角边重合，就组成了一个新直角三角形，如图所示：红蓝三角形的面积之和就是一个大三角形的面积了．
【解答】解：根据题干分析可得：
，
，
（平方厘米）．
答：红、蓝两张三角形纸片面积之和是750平方厘米．
【典例三】如图：我国《九章算术》中三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”，著名数学家刘徽注释时用“以盈补虚”的方法，配图加以说明．请你将图形补充完整．如果长20厘米，、分别是两边的中点），高是15厘米，三角形的面积是多少平方厘米？
【分析】“半广以乘正从”．“广”是指三角形的底边，“正从”是指底边上的高．整句话的意思是：三角形的面积等于高与底边边长乘积的一半；
用“以盈补虚”的方法，将右下角的三角形，翻转补到右上方，得到了一个平行四边形，平行四边形的底是20厘米，又由于、分别是两边的中点，高为厘米，然后根据平行四边形的面积公式解答即可．
【解答】解：
（厘米）
（平方厘米）
答：三角形的面积是600平方厘米．
一．选择题（共3小题）
1．如果在中，，则等于
A．B．C．D．
2．如图，，，，，当与相似时，是
A． B． C．D．以上答案都不对
3．如图，将的各边长都延长一倍至这些点，得到一个新的△，若的面积为2，则△的面积为
A．14B．12C．11D．不确定
二．填空题（共8小题）
4．如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点，当四边形为菱形时，求的长 ．
5．如图中，图形按 的比例放大后可以得到图形；图形与图形的面积比是 。
6．如图中的正三角形和正六边形周长相等，已知正三角形面积为10，那们这个正六边形面积为 ．
8．如图是一个平行四边形，，是的中点，三角形的面积是6平方厘米，则三角形的面积是 平方厘米．
9．如图，大小三角形均为正三角形，已知小正三角形的底为15厘米，高约为13厘米．则大三角形的面积大约是 平方厘米．
10．如图，把正三角形的每边三等分，将各边的中间段取来向外作小正三角形，得到一个六角形，再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到了如图所示的图形．如果作出的每个小三角形的面积是1，那么原图形的面积是 ．
11．右图是个正方形，它的边长是8厘米，、分别是边、的中点，图中阴影部分的面积是 平方厘米．
三．解答题
12．一块直角三角形木板的一条直角边的长为，面积为，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按如图①所示的方案进行加工，小华准备按如图②所示的方案进行加工，他们谁的加工方案符合要求？
13．以下两题任选做一题．
如图，梯形中，对角线把梯形分成四个小三角形．
（1）比较三角形①和②的面积．请你有根有据地说明理由．
（2）知道任意两个三角形的面积，就可以求出梯形的面积．如果三角形①和③的面积分别是6平方厘米和4平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？
14．正方形中，已知，，问四边形与正方形的面积比是多少？
15．如图，两个正方形的边长分别是8厘米和10厘米，求图中阴影部分的面积．
16．如图所示，将直角三角形中的短直角边，通过折叠重合到长直角边上，则图中阴影部分的面积（未重叠部分）是多少平方厘米？
17．如图，一个直角梯形的三条边的数据已经给出（单位：，若将它的两条腰延长后相交，求出图中所标虚线的长度．（提示：列方程解）
18．如图，长方形的面积是24，三角形和三角形的面积都是4，求阴影三角形的面积．
19．如图，正方形中，边长为，，，、交于点，求阴影部分的面积．
20．在如图长方形中，三角形面积为30平方厘米，的比和的比都是，那么，四边形的面积是多少平方厘米？
21．如图，在正方形中，红色与绿色正方形的面积分别是48与12平方厘米，黄色正方形的两个顶点均位于两个正方形两条对角线的交点，那么黄色正方形的面积是多少？
22．如图：图中三角形①的面积比三角形②的面积大12平方厘米，求的长．（三角形②的底为1厘米）
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【分析】根据三角形内角和定理和这个三角形三个角的度数之比，可以分别求出这个三角形的三个角的度数分别是、、，所以这个三角形是直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，设所对的直角边，则斜边，再根据勾股定理求出第三条边，据此即可求出它们的比．
【解答】解：因为
所以
设直角边，则斜边，根据勾股定理求出第三条边，
则故选：．
2．【答案】
【分析】设的长为，根据三角形相似的性质，如果三角形相似于三角形时，有，列方程为：，解得．据此选择即可．
【解答】解：设的长为，
因为三角形相似于三角形时，
所以有，
答：的长为．故选：。
3．【分析】分别求出△，△，△的面积，再加上的面积就是△的面积．据此解答．
【解答】解：连接
因，△和是等底等高的三角形．
所以△，
又因，和是等底等高的三角形，
所以，
，
△，
， 所以△．
同理可证：
△，
△．
△△△△，
△，
△． 答：△的面积是14．故选：．
二．填空题（共8小题）
4．【分析】由菱形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得，根据平行线得性质得，所以，于是可判断为等腰直角三角形，所以，于是利用求解．
【解答】解：因为四边形为菱形，，
所以，，
所以，，
所以，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以．
5．【答案】3，1；9，1。
【分析】三角形的底除以三角形对应的底或用三角形的高除以三角形对应的高所得的商就是两图缩小的倍数，用比表示即可；根据三角形的面积面积公式“”分别求出两三角形的面积，根据比的意义写出它们面积的比，再把这个比化成最简整数比即可。
【解答】解：
图形按的比例放大后可以得到图形。
图形与图形的面积比是。
答：图形按的比例放大后可以得到图形；图形与图形的面积比是。
故答案为：3，1；9，1。
6．【分析】先把正三角形分成四个小正三角形，其边长等于正六边形的边长．再把正六边形将中心和6个顶点分别连接起来，可以分为6个相等的小正三角形．已知正三角形和正六边形的周长相等，由此可以求出它们的面积之比．
【解答】解：先把正三角形分成四个小正三角形，其边长等于正六边形的边长．再把正六边形将中心和6个顶点分别连接起来，可以分为6个相等的小正三角形．正三角形的面积是小正三角形的4倍，而正六边形面积是小正三角形的6倍．所以正三角形与正六边形的面积比是．
所以这个正六边形的面积是，故答案为：15．
7．【分析】两个位似图形的对应线段长分别为和，则相似比是，而周长的比等于相似比，较小图形周长为，则较大图形周长为
【解答】解：因为相似比是，小图形周长为，
所以较大图形周长为．
故答案为：．
8．【分析】连接，则三角形的面积就是三角形的一半，由此只要求得三角形的面积即可，因为三角形与三角形的面积相等都等于平行四边形面积的一半，这里只要利用得出，再利用高一定时，三角形的面积与底成正比的性质计算出三角形的面积即可．
【解答】解：因为，所以，又因为三角形的面积是6平方厘米，
所以三角形的面积为：（平方厘米），则三角形的面积是18平方厘米；
因为是的中点，
所以三角形的面积为：（平方厘米），
答：三角形的面积是9平方厘米．
故答案为：9．
9．【分析】此图是圆的外切等边三角形和内接等边三角形，将圆内接三角形转动成下图位置，可得、、分别是的中点，不难得出的面积是的，由此即可解决问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
、、分别是正的中点，
所以可得的面积是的，
又因为的面积是：（平方厘米），
所以的面积是：（平方厘米）．故答案为：390．
10．【分析】根据题意可得：每个小三角形的边长都是相等的，那么，又因为三角形和三角形是相似三角形，所以；同理，，又因为三角形和三角形是相似三角形，所以；那么，再根据每个小三角形的面积是1，即可求出原图形的面积．
【解答】解：每个小三角形的边长都是相等的，那么，
又因为三角形和三角形是相似三角形，所以；
同理，，又因为三角形和三角形是相似三角形，所以；
那么，
又因为，，所以，原图形的面积是．
故答案为：81．
11．【分析】阴影部分是一个梯形，但是条件不足，没法直接利用梯形面积公式进行计算，根据题干可知正方形的面积为：平方厘米，那么对角线就把这个正方形分成了面积相等的两个三角形，所以可得的面积为平方厘米，那么只要再求出的面积即可得到阴影部分的面积，根据已知条件” 、分别是边、的中点”可得：与相似，相似比是，由此即可求得的面积从而解决问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
的面积为：（平方厘米），
又因为在正方形中，、分别是边、的中点，
所以与相似，相似比是，
那么它们的面积的比是，
所以的面积为：（平方厘米），
故阴影部分的面积是：（平方厘米），
故答案为：24．
三．解答题
12．【分析】如图，根据题意必须首先求得正方形的边长．图1中，根据相似三角形对应边的比相等即可求得；图2中，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求得．
【解答】解：小明的方案中：设正方形的边长为，
则，所以，
由，得，
所以，，，
小华的方案中：设正方形的边长为，上的高交于，
则，所以，
由勾股定理，
所以，
由，得
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，
所以．
故采用小明的方案加工出的桌面的面积最大符合要求．
13．【分析】（1）①④②④，因为这两个三角形等底等高，面积相等，这样就能得出①②；
（2）因为①②，所以②的面积是6平方厘米，再根据三角形的面积与底的关系得出，由此即可求出乙的面积，再相加即可求解．据此解答．
【解答】解：（1）因为三角形和三角形同底等高，所以：
三角形的面积三角形的面积．
即：面积①④④②（等底等高），
所以①②．
所以①和②面积相等．
答：①和②面积相等．
（2）因为①②，所以②的面积是6平方厘米，
，
所以三角形的面积（平方厘米）
所以梯形的面积（平方厘米）
答：梯形的面积是25平方厘米．
【点评】解决本题的关键是明白同底等高的两个三角形的面积相等，利用同底等高的性质与三角形的面积与底的关系，得出面积与面积的关系，及边长与面积的关系，从而得出答案．
14．【分析】首先根据，，判断出，；然后根据三角形面积和底的正比关系，求出四边形的面积占正方形的面积的几分之几，进而求出四边形的面积与正方形的面积比是多少即可．
【解答】解：如图，，
因为，，
所以，
所以，，
所以，，
因此，
因此，
因此．
答：四边形与正方形的面积比是．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形的高相等时，三角形的面积和三角形的底成正比；（2）四边形的面积占正方形的面积的．
15．【分析】在正方形中，因为，所以和相似，因为厘米，厘米，即，所以，由此即可求得的长度，再根据三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：，所以和相似，
因为厘米，厘米，
即，
所以，
，
（厘米）；
阴影部分的面积底高（平方厘米）；答：图中阴影部分的面积是平方厘米．
16．【分析】根据题干和全等三角形的定义可得，三角形1和三角形2是全等三角形，且三角形2和三角形3的高相等，它们的底边分别是6厘米，厘米，由此根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质可得三角形2与三角形3的面积之比是，由此设三角形3的面积是平方厘米，则三角形2和三角形1的面积就是平方厘米，由此利用三角形的面积公式可列出方程：，求出的值即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得，三角形1和三角形2的面积相等，
三角形2的面积：三角形3的面积，
设三角形3的面积是平方厘米，则三角形2和三角形1的面积就是平方厘米，由此利用三角形的面积公式可列出方程：，
，
，
答：阴影部分的面积是平方厘米．
17．【分析】延长后组成一个三角形，设虚线部分的长是，因为梯形的上下底互相平行，根据平行线分线段成比例定理可得：，据此解比例即可．
【解答】解：设虚线部分的长是分米，则根据平行线分线段成比例定理可得：




答：虚线部分的长是4.8分米．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的灵活应用．
18．【分析】三角形和长方形共用一条边，面积之比，则；同理可得．三角形的面积和长方形的比为，再则三角形的面积占长方形面积的，用乘法即可得阴影三角形的面积．
【解答】解：三角形和长方形共用一条边，面积之比，则；
同理． 三角形的面积和长方形的比为，
三角形的面积为．答：阴影三角形的面积为．
19．【分析】正方形中，边长为，，，不难看出三角形的面积三角形的面积；三角形的面积三角形的面积，根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质可得：三角形的面积三角形的面积，所以可得：三角形的面积三角形的面积，由此只要求出三角形的面积即可求出空白处四个小三角形的面积，则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半四个空白处小三角形的面积．
【解答】解：正方形中，，，不难得出：
三角形的面积三角形的面积；三角形的面积三角形的面积，
因为，
所以三角形的面积三角形的面积的2倍；
则三角形的面积三角形的面积，
因为（厘米），
所以三角形的面积是（平方厘米），
则三角形的面积三角形的面积（平方厘米），
三角形的面积三角形的面积（平方厘米），
所以阴影部分的面积是：（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是36平方厘米．
20．【分析】由题意知，三角形的面积为30平方厘米，，由等高的三角形的面积之比等于底之比可先求出和的面积，进而求出的面积，即的面积，再用的面积减去的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解：因为，所以，
又因为平方厘米，所以（平方厘米）；
同理得（平方厘米）；
（平方厘米），
所以四边形的面积是：（平方厘米）．答：四边形的面积是110平方厘米．
21．
【分析】
因为黄色正方形的两个顶点均位于两个正方形两条对角线的交点，所以②的面积是：（平方厘米），④的面积是：（平方厘米），所以②的面积：④的面积，由于边长的平方比等于面积比，则①的面积：④的面积②的面积：③的面积，所以①的面积③的面积（平方厘米），然后把①②③④的面积相加即可求出黄色正方形的面积是多少．
【解答】解：根据分析可得：
②的面积是：（平方厘米），
④的面积是：（平方厘米），
所以②的面积：④的面积，
由于边长的平方比等于面积比，则①的面积：④的面积②的面积：③的面积，
所以①的面积③的面积（平方厘米），
黄色正方形的面积是：（平方厘米）．
答：黄色正方形的面积是27平方厘米．
【点评】此题重点考查学生对图形的分析能力，对于此类问题，应认真分析图意，找出各图形之间的关系；本题关键是明确：边长的平方比等于面积比．
22．【分析】由题目图中数据可知，三角形①与三角形②都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出三角形②的面积，再根据三角形①的面积比三角形②的面积大12平方厘米可求出三角形①的面积，进而得出三角形①的面积与三角形②的面积比，从而得出底的比，即可解答．
【解答】解：因为三角形①与三角形②都是等腰直角三角形，
所以三角形②的底为1厘米，三角形②的面积为平方厘米，
所以三角形①的面积为平方厘米，
，，
所以三角形①的底与高都是三角形②的7倍，三角形①的底，厘米．
答：长为7厘米．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质求出面积是解答本题的关键．