河南省南阳市第一中学校2024_2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份河南省南阳市第一中学校2024_2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设是等差数列，且，，则等于
A．13B．35C．49D．63
2．已知在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列的前项和，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
4．已知等比数列满足，，则（ ）
A．1B．2C．D．
5．已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日D．3月8日或3月13日
8．在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（ ）
A．1275B．1596C．1597D．1598
二、多选题（本大题共3小题）
9．数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列的前项和最大
B．若等比数列是单调递减数列，则公比满足
C．已知等差数列的前项和为，若，则
D．已知为等差数列，则数列也是等差数列
10．在数列中，，且，则（ ）
A．B．为等比数列
C．D．为等差数列
11．已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．设是首项为1的数列，且，则 ．
13．知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项．
14．某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是 ．（横线上给出一个满足条件的x的值即可）
附：，其中．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
16．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
17．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
18．已知数列满足，，为数列的前项和．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
19．设满足以下两个条件的有穷数列、、、为阶“曼德拉数列”：①；②
(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，直接写出一个满足条件的数列的通项（不需要证明）．
(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用、表示）．
(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据等差数列的性质可得，
所以，所以.
故选：C
2．【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，由，，得，因此，
所以.
故选：B
3．【答案】C
【详解】.
故选：C.
4．【答案】C
【分析】根据等比数列的性质得到，设出公比，从而得到，得到答案.
【详解】因为，所以，
设的公比为，则，
则，负值舍去，
故.
故选：C
5．【答案】D
【分析】根据条件先求解出的通项公式，A：根据的通项公式结合指数函数的单调性进行判断；B：根据的结果进行判断；C：根据的通项公式结合的表达式进行分类讨论再判断；D：判断的单调性，然后分析的取值范围.
【详解】当时，，
当时，，
所以不满足的情况，
所以，
对于A：当时，由指数函数单调性可知：，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：当时，，满足；
当时，，不满足，
故不恒成立，故C错误；
对于D：当时，，满足；
当时，由指数函数的单调性可知为递减数列，此时，
且恒成立，所以，也满足；
所以，故D正确；
故选：D.
6．【答案】A
【详解】当时，，
数列为递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，
恒成立，又，
，必要性不成立；
“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
7．【答案】D
【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积分为．
假设他连续打卡天，第天中断了，
则他所得积分之和为
，化简得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故选：D
8．【答案】A
【详解】设该数列为an，则由题意可知：，
即从第二项开始后一项与前一项之差构成等差数列，所以，
利用累加法可得，
所以.
故选：A
9．【答案】ACD
【详解】对于A选项，由，可得，
又因为，故数列前项的和最大，A对；
对于B选项，当，时，则对任意的，，
则，所以，，此时等比数列也是递减数列，B错；
对于C选项，，则，C对；
对于D选项，若为等差数列，则，，
则（为常数），所以，数列也是等差数列，D对，
故选：ACD.
10．【答案】ABD
【分析】根据数列的递推公式，可求,的值，判断A,C是否正确；利用等比数列的定义判断数列是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断是否为等差数列.
【详解】因为，且，
所以，，故A正确，C错误．
因为，所以，又，
所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3，
所以，所以，
所以为等差数列，且公差为3，故B,D均正确．
故选ABD.
11．【答案】AC
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为等差数列的前项和；
等比数列的前项和；
又，所以等比数列的公比，即.
不妨设，，是不为0的常数，
所以当时，
当时，
则，，
所以，.
故选：AC.
12．【答案】32
【详解】，得，又，得，所以.
故答案为：32．
13．【答案】4
【详解】解法一：∵，
∴当时，；当时，，
即，故数列的最大项为第4项．
解法二：设数列中的最大项为，则
即解得．
∵，∴．故数列的最大项为第4项．
14．【答案】14（答案不唯一）
【详解】由题意得，故，
所以.
故答案为：14（答案不唯一）.
15．【答案】(1);
(2)
【详解】（1）在等差数列中，，
解得，则 .
（2）因为，则.
当时，数列的前项和；
当时，数列的前项和.
故.
16．【答案】(1)，
(2)乙超市在第7年将被收购
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质即可求解；
（2）先根据前几年的年销售额，判断可能被收购的超市，再根据（1）中的表达式列出不等式求解即可.
【详解】（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为，
则，
因为时，，
则时，，
故；
设乙超市第年销售额为，则，
时，，
，
显然时也符合，
所以.
（2）当时，，，有；
当时，，，有；
当时，，，故乙超市有可能被收购，
当，令，则，
整理得，
又当时，，故当且时，必有，
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购.
17．【答案】(1)适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型
(2)
(3)估计2024年的企业利润为93.3亿元
【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出即可得解；
（3）令即可得解.
【详解】（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）对整理有：，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得的通项公式为，
得，所以．
（3）由（2）知，
所以
．
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）根据题意，一个满足条件条件的阶“曼德拉数列”的通项公式可以为.
（2）设等差数列、、、、的公差为，
因为，
即，所以，，
即，所以，，
当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，
当时，根据“曼德拉数列”的条件①②得，
，
即，即，
由得，即，
则.
当时，同理可得，即.
由得，即，
所以，.
综上所述，当时，；当时，.
（3）记、、、中非负项和为，负项和为，则，
得，，，即.
若存在，使，由前面的证明过程知：
，，，，，，，，且.
若数列为阶“曼德拉数列”，
记数列的前项和为，则.
所以，，
又，所以，，
则，，
又，
所以，，，，，
所以，，
又与不能同时成立，
所以，数列不为阶“曼德拉数列”.对工作满意
对工作不满意
男
5x
5x
女
4x
6x
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828