河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 设是等差数列，且，，则等于
A. 13B. 35C. 49D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列性质求解可得.
【详解】根据等差数列的性质可得，
所以，所以.
故选：C
2. 已知在等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项求出及.
【详解】设等比数列的公比为，由，，得，因此，
所以.
故选：B
3. 已知数列的前项和，则（ ）
A. 16B. 32C. 48D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】利用计算即可.
【详解】.
故选：C.
4. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质得到，设出公比，从而得到，得到答案.
【详解】因为，所以，
设的公比为，则，
则，负值舍去，
故.
故选：C
5. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求数列的解析式，再结合数列的解析式，以及条件，判断数列和的单调性，即可判断选项.
【详解】由条件可知，，
当时，，
当时，，
验证，当时，，
所以，
当时，，单调递减，此时，故A错误；
，单调递增，所以，故B错误；
当时，，成立，
当时，，故C错误；
当时，，
当时，单调递减，当时，数列取得最大值，，
当时，，
所以，故D正确.
故选：D
6. 数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论.
【详解】当时，，
数列递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，
恒成立，又，
，必要性不成立；
“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A. 3月5日或3月16日B. 3月6日或3月15日
C. 3月7日或3月14日D. 3月8日或3月13日
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列求和公式列方程求解.
【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积分为．
假设他连续打卡天，第天中断了，
则他所得积分之和为
，化简得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断”两次求和公式的应用.
8. 在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（ ）
A. 1275B. 1596C. 1597D. 1598
【答案】A
【解析】
分析】根据条件分析得出该数列逐项之差成等差数列，利用累加法及等差数列求和公式计算即可.
【详解】设该数列为，则由题意可知：，
即从第二项开始后一项与前一项之差构成等差数列，所以，
利用累加法可得，
所以.
故选：A
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则数列的前项和最大
B. 若等比数列是单调递减数列，则公比满足
C. 已知等差数列的前项和为，若，则
D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】解不等式，可判断A选项；利用等比数列的单调性可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的求和公式以及等差数列的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，由，可得，
又因为，故数列前项的和最大，A对；
对于B选项，当，时，则对任意的，，
则，所以，，此时等比数列也是递减数列，B错；
对于C选项，，则，C对；
对于D选项，若为等差数列，则，，
则（为常数），所以，数列也是等差数列，D对，
故选：ACD.
10. 在数列中，，且，则（ ）
A. B. 为等比数列
C. D. 为等差数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数列的递推公式，可求，的值，判断AC是否正确；利用等比数列的定义判断数列是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断是否为等差数列.
【详解】因为，且，
所以，，A正确，C错误．
因为，所以，又，
所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3，
所以，所以，
所以为等差数列，且公差为，B，D均正确．
故选：ABD
11. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列、等比数列求和公式及，推导出，不妨设，，是不为0的常数，即可表示出，，从而得解.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为等差数列的前项和；
等比数列的前项和；
又，所以等比数列的公比，即.
不妨设，，是不为0的常数，
所以当时，
当时，
则，，
所以，.
故选：AC.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 设是首项为1的数列，且，则___________．
【答案】32
【解析】
【分析】由递推公式可得，已知求，再求.
【详解】，得，又，得，所以.
故答案为：32．
13. 知数列的通项公式为，则数列的最大项为第______项．
【答案】4
【解析】
【分析】利用作差法比较判断数列的单调性，再找出其最大项即可.
【详解】解法一：∵，
∴当时，；当时，，
即，故数列的最大项为第4项．
解法二：设数列中的最大项为，则
即解得．
∵，∴．故数列的最大项为第4项．
【点睛】思路点睛：（1）利用数列的单调性求最大项或最小项；
（2）求数列中的最大项，只需满足求数列中的最小项，只需满足
14. 某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是__________．（横线上给出一个满足条件的x的值即可）
附：，其中．
【答案】14（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据卡方公式求出x的取值范围，再根据且，即可得解.
【详解】由题意得，故，
所以.
故答案为：14（答案不唯一）.
四、解答题（共77分）
15. 记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）讨论的符号去绝对值，结合等差数列求和公式求解.
【小问1详解】
在等差数列中，，
解得，则 .
【小问2详解】
因为，则.
当时，数列的前项和；
当时，数列的前项和.
故.
16. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．
（1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
【答案】（1），
（2）乙超市在第7年将被收购
【解析】
【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式；
（2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购.
【小问1详解】
设甲超市前年总销售额为，第年销售额为，
则，
因为时，，
则时，，
故；
设乙超市第年销售额为，则，
时，，
，
显然时也符合，
所以.
【小问2详解】
当时，，，有；
当时，，，有；
当时，，，故乙超市有可能被收购，
当，令，则，
整理得，
又当时，，故当且时，必有，
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购.
17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程；
（3）根据（2）结果，估计2025年的企业利润．
参考公式及数据：，．
【答案】（1）适宜
（2）
（3）99.25亿元．
【解析】
【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出即可得解；
（3）令即可得解
【小问1详解】
由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型．
【小问2详解】
由题意得：，，
，
所以．
【小问3详解】
令，估计2025年的企业利润为99.25亿元．
18. 已知数列满足，，为数列的前项和．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列；
（2）由（1）结合等比数列的通项公式可求；
（3）利用分组求和法可求.
【小问1详解】
对整理有：，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
【小问2详解】
由（1）得的通项公式为，
得，所以．
【小问3详解】
由（2）知，
所以
．
19. 设满足以下两个条件的有穷数列、、、为阶“曼德拉数列”：①；②
（1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，直接写出一个满足条件的数列的通项（不需要证明）．
（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用、表示）．
（3）记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“曼德拉”数列的定义可得出满足条件的一个阶数列；
（2）结合曼德拉数列的定义，首先得,然后分公差是大于、等于、小于进行讨论即可求解；
（3）记中非负项和为，负项和为，则，，进一步，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.
【小问1详解】
根据题意，一个满足条件条件的阶“曼德拉数列”的通项公式可以为.
【小问2详解】
设等差数列、、、、的公差为，
因为，
即，所以，，
即，所以，，
当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，
当时，根据“曼德拉数列”的条件①②得，
，
即，即，
由得，即，
则.
当时，同理可得，即.
由得，即，
所以，.
综上所述，当时，；当时，.
【小问3详解】
记、、、中非负项和为，负项和为，则，
得，，，即.
若存在，使，由前面的证明过程知：
，，，，，，，，且.
若数列为阶“曼德拉数列”，
记数列的前项和为，则.
所以，，
又，所以，，
则，，
又，
所以，，，，，
所以，，
又与不能同时成立，
所以，数列不为阶“曼德拉数列”.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到，，，，，，，，且，由此即可顺利得解.
对工作满意
对工作不满意
男
5x
5x
女
4x
6x
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828