南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在数列中，已知，且，则( )
A.B.1C.D.2
2．已知数列满足，且，则的值是( )
A.B.5C.4D.
3．中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里.”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为( )
A.B.C.D.
4．记数列的前n项和为，若是等差数列，，，则( )
A.B.C.0D.4
5．用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是( )
A.B.C.D.
6．已知数列是单调递增数列，，，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值，）( )
A.B.C.D.
8．已知等差数列满足，记数列的前n项和为，则当有最大值( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设数列的前n项和为，的前n项和为，满足，且，且，则( )
A.是等差数列B.时，n的最大值为26
C.若，则数列是递增数列D.若，则
10．数列的前n项和为，且，下列说法正确的是( )
A.若的首项为1，则为等差数列
B.若为等差数列，则的公差为2
C.
D.
11．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理､化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，，则( )
A.，
B.，使得，，成等比数列
C.，对，，，成等差数列
D.，
12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为，数列的前n项和为，则( )
A.数列是等比数列B.
C.恒成立D.存在正数m，使得恒成立
三、填空题
13．已知为等比数列的前n项和，，则______.
14．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则使成立的n的最小值为_____.
15．已知数列的前n项和分别为，，若任取，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
16．已知是数列的前项和，，且，，，则______.
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，且，.
（1）求，，并证明：数列为等比数列；
（2）求的值.
18．数列满足，.
（1）求数列的通项公式
（2）设，求数列的前n项和.
19．已知等差数列的前n项和为，公差为，且，，成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前30项的和.
20．在①；②，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列和等比数列，数列前n项和为，满足，，_____.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合A，B，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前70项和.
21．已知数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式都成立，求实数的取值范围.
22．已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求和；
（3）求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：在数列中，已知，且，
则，，.
故选：A.
2．答案：A
解析：由，可得，所以数列是公比为3的等比数列，
因为，
所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以该马七天所走的里程为，解得，
故该马第五天行走的里程数为.
故选：C.
4．答案：C
解析：因为是等差数列，，，
所以的公差，所以，
所以，
所以，
故选:C.
5．答案：D
解析：从到，等式的左边需要增乘的代数式是
.
故选：D.
6．答案：C
解析：由题意可得，由于数列为单调递增数列，即，，整理得，令，则，，易得数列单调递减，故是数列的最大项，则m的取值范围为，故选C.
7．答案：A
解析：设每月还款x元，共还款11个月，
所以，
.
故选：A.
8．答案：A
解析：设等差数列的公差为d，由，得，解得，
则，，数列是首项为正数的递减数列，
由，即，解得，
即，，于是，而，
因此，且，，
则，，，，
又，
所以中最大，即当时，取得最大值.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：对于A，由题意，，解得，
所以，，
当，时，，
当时，有，故，，故A正确；
对于B，令，解得，，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：若为等差数列，则可设,
所以，
所以，解得，，所以，
所以的首项为，公差为2，A错误，B正确；
因为，所以是以3为首项的等差数列，
，C错误；
，
因为，
即，D正确；
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：对于A，因为，
所以
，故A正确；
对于B，由递推公式可知，，中有两个奇数，一个偶数，不可能成等比数列，故B错误；
对于C，，所以，
故，，成等差数列，所以存在，使得，，成等差数列，故C正确；
对于D，由，，得，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：BC
解析：由题意可知，，，，
以此类推可得，，则，
所以当时，
，
经检验，当时，，故，
所以数列不是等比数列，故A错误；
所以，故B正确；
因为恒成立，故C正确；
因为，
根据一次函数与指数函数的单调性，所以数列无最大值，
因此不存在正数m，使得，故D错误.
故选：BC.
13．答案：3
解析：设等比数列的公比为q，
则
，
显然，
整理可得，解得，
因此，
.
所以.
故答案为:3.
14．答案：7
解析：因为，则，，
设等差数列的公差为d，从而有，
，
即，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：，所以，
所以，
则不等式即，
整理可得，解得或，
又n为正整数，故n的最小值为7.
故答案为：7.
15．答案：
解析：已知数列的前n项和分别为，由题意，
①，②，
得，即，
因为，所以，
故是首项为，公比为的等比数列，，
故；
当n为奇数时，恒成立，，
因为随着n的增大而减小，所以时取最大值，故；
当n为偶数时，恒成立，只需，
显然随着n的增大而增大，所以时取最小值，故，
所以.
故答案为：.
16．答案：582
解析：由已知可得，，
所以，
于是.
故，即，
所以，
所以
故答案为：.
17．答案：（1），，证明见详解
（2）968
解析：（1）由已知可得，解得，，
，
，，
两式相减得，即，
，又，
所以，因为，
所以数列为等比数列.
（2）由（1）得，，，
，
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，当时，由已知得，得，
当时，由，①
得，②
由①②得，
所以，
当时，也适合上式，
综上，.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，整理得：
，
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，则，解得，
则，故，
所以，解得，则，
故.
（2），
，
.
20．答案：（1）答案见解析
（2）6869
解析：（1）选①，
设正项等差数列的公差为d（）和等比数列的公比为q，
可得时，，解得，或（负的舍去），
当时，，又，
两式相减可得，
化为，
由，可得，即，
由，，可得，，
即有，，解得，
则；；
选②，可得，即，
又，即为，，
由，，可得，，
即有，，解得，
则；；
（2）数列的前70项为数列的前66项加上数列的前7项，
由通项公式可知；；，
故在前70项中有3项重复，所以需减去重复的4，16，64三项.
所以数列的前70项和为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）时，，即，所以.
时，，
所以，即，，
因为，所以，
所以是首项为1公比为2的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，
所以.
显然是递增数列，且，
所以，即，
所以，解得.
实数的取值范围是.
22．答案：（1）是等差数列，证明见解析
（2），
（3）证明见解析
解析：（1）是等差数列，证明如下：
由题设，显然不可能为0，则，且，
所以是首项、公差都为2的等差数列.
（2）由（1）知：，显然时也满足，则，
当时，，
而不满足上式，则.
（3）由
，且，
又当时成立，
综上，.