河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高二下学期2月月考 数学试题（含解析）

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1. 已知函数在处可导，且则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义计算可得.
【详解】因为函数在处可导，且，
所以.
故选：A
2. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得函数的导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
又由，则，即切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：A.
3. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.
【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行，
故曲线在点处的切线的斜率为2，
因为，所以，
所以，
故选：C.
4. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据基本初等函数求导法则以及复合函数求导法则计算即可.
【详解】因为，，，.
故选：C.
5. 已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出，由可得答案．
【详解】，则，解得．
故选：B.
6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】由题意得，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又函数在上单调递增，得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
7. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则
A. B. 0
C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【详解】分析：由曲线与曲线在交点处有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．
详解：由曲线，得，则，
由曲线，得，则，
因为曲线与曲线在交点处有公切线，
所以，解得，
又由，即交点为，
将代入曲线，得，所以，故选D．
点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
8. 若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出切点，由导数的意义，根据两直线的斜率相等求出，再由，求出即可.
【详解】设直线直线与曲线相切于，
与曲线相切于点，
曲线，其导数，则有，
则在点处切线的方程为，
即，曲线，其导数，则有，
则在处切线的方程为，即，
则有，则有，
又由，则有，则，
则；
故选：A．
二、多项选择题本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列求函数的导数正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.
【详解】选项A:正确；
选项B: 错误；
选项C：正确；
选项D：，正确；
故选：ACD
10. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选：AC．
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域是
B. 当时，的图象位于x轴下方
C. 存在单调递增区间
D. 有两个单调区间
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数定义域的求解可判断A,根据基本函数的性质可判断当时，可判断B,根据导函数与单调性的关系即可判断C,D.
【详解】由，得且，所以函数的定义域为，所以A不正确.
当时，，，所以，所以当时，的图象位于x轴下方，所以B正确.
，令，则，所以函数单调递增， ，故存在，使得，则函数只有一个根，当和时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数有三个单调区间，所以C正确，D不正确.
故选：BC
三、填空题本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线垂直即可求解.
【详解】函数的导函数为，
故函数在处的切线的斜率为.
∵直线的斜率为，切线与直线垂直，
所以，解得.
故答案为：3.
13. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，求导得，
依题意，不等式在上有解，等价于在上有解，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：．
14. 若对任意的、，且，，则的最小值是_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】分析出函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调递减区间，即可求得实数的最小值.
【详解】对任意的、，且，，易知，
则，所以，，即，
令，则函数在上为减函数，
因为，由，可得，
所以函数单调递减区间为，
所以，，所以，，因此，实数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题本题共 5 小题，共 77 分.
15. 求下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.
【小问1详解】
由可得
【小问2详解】
由可得
【小问3详解】
由得
【小问4详解】
由得
16. 已知函数.
（1）求曲线与直线垂直的切线方程；
（2）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）或5
【解析】
【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程；
（2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可.
【小问1详解】
因为斜率为，所以，
所以，又.
所以所求切线方程为，即.
【小问2详解】
，设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：，
则
则，整理得，所以，
所以或5.
17. 设函数.
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（1），；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.
(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.
【小问1详解】
定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：.
即a，b的值为：，.
【小问2详解】
由（1）知：.
①当时，在上恒成立，所以在单调递减；
②当时，令，解得：，
列表得：
所以，时，的递减区间为，单增区间为.
综上所述：当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，单增区间为.
【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.
18. 已知函数.讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据导数和因式分解，分类讨论导数的正负即可分析函数的单调性.
【详解】，
令，
则或，
①若，
则有，
所以函数在R上为增函数；
②若，
当或时，，
当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
③若，
当或时，，
当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
综上所述，
当时，函数在和上递增，在上递减；
当时，函数在R上为增函数；
当时，函数在和上递增，在上递减.
19 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，讨论零点个数.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求，根据a的范围分类讨论导数的正负，从而判断f(x)的单调性；
（2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题.
【小问1详解】
的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，，
令，则，
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
x
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增