广东省汕尾市普宁华美实验学校2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省汕尾市普宁华美实验学校2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，
所以，
根据等比数列的性质可知，解得.
故选：B
2. “直线与直线相互平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由求解.
【详解】若直线与直线相互平行，
则，即，解得，
∴“”是“直线与直线相互平行”的充要条件．
故选：B.
3. 已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式得解.
【详解】抛物线C的方程为，
，可得，
设，由抛物线的定义得，
所以，
故选：C.
4. 已知圆关于直线(为大于0的常数)对称，则ab的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的对称性可得直线过圆心，进而根据基本不等式求最大值即可.
【详解】由题意，圆的标准方程为，则圆心为，半径，
由圆关于直线对称，得在直线上，则，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；
因此，ab的最大值为，
故选：A
5. 已知函数，则（ ）
A. 有极小值，且极小值为0B. 有极小值，且极小值为
C. 有极大值，且极大值为0D. 有极大值，且极大值为
【答案】D
【解析】
【分析】对进行求导，令，得出极值点，根据极值定义进行求解
【详解】由，得，
令，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以时，函数有极大值为
故选：D
6. 已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式可得出，利用双曲线的定义、余弦定理可求得的值.
【详解】易知点，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，焦点到渐近线的距离为，
设，，由双曲线定义可得，
由余弦定理可得，
即，所以，.
故选：D.
7. 设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A. 的最小值是B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
【答案】C
【解析】
【分析】由得，所以数列为递减的等差数列，再由可得，，即可求出为的最大值.
【详解】由得，即，
∴数列为递减的等差数列，∵，∴，，
∴当且时，；当且时，；
∴有最大值，最大值为．
故选:C．
8. 已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案．
【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为，
联立，消去可得：，解得，
，，
由抛物线的定义可得，，
根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，
可知，
故，
故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为．
故选：B
二、多选题
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量共面
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量数量积为0得到向量垂直可判断B；根据投影向量的定义可计算出投影向量从而判断C，得出向量共面可判断D．
【详解】因为，所以，
可得，
则向量与向量的夹角为，故A错误；
因为，
，
所以，即B正确；
根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，所以C正确；
由向量，可知，
向量与向量共面，所以D正确．
故选：BCD.
10. 等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A. 若，则B. 若，则是中最大的项
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据可推得，利用等差数列的性质以及前n项和公式，可判断A；由可推出，进而判断 ，则 ，即可判断B；由可得，，，无法判断的正负，可判断C；由推出，，则，由此判断D.
【详解】由，得 ，
所以，
则 ，A正确；
因为，
所以，即，
因为，，
所以 ，则 ，等差数列为递减数列，
则则是中最大的项，B正确；
若，则，即 ，
因为，，则，故，无法判断的正负，
故，不能判断，C错误；
因为，所以，
因为，，所以，则，
则，D正确，
故选：
11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，为奇函数
B. 的图象关于直线对称
C. 当时，，
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇函数、轴对称的定义判断AB；取值计算判断C；分离参数构造函数，结合不等式性质判断D.
【详解】对于A，当时，，
，函数是奇函数，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，当时，，，C正确；
对于D，由，得，
令，，
而，，且均在时取等号，则，，
因此，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
三、填空题
12. 数列的前项和为，已知，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用并项求和法计算即可.
【详解】由，
得.
故答案为：.
13. 如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】可借助等角定理得到或其补角即异面直线与所成的角，结合余弦定理计算；或借助空间向量的线性运算得到，再利用夹角公式计算.
【详解】方法一 ：
如图，过点作交圆柱的上底面于点，连接，，
则由圆柱的性质易证四边形为矩形，所以，
所以或其补角即异面直线与所成的角，
在中，，所以，
因为为等腰直角三角形，且，所以，
所以，又，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.

方法二 ：
在中，，
所以，，
因为为等腰直角三角形，且，所以，
易知，所以，，，
所以，
所以，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】将构造成，运用导数研究单调性进而转化为（）恒成立，令，运用导数可求得最大值即可.
【详解】由，即，得.
因为，所以.
设，则.
因为，所以，所以在上单调递增.
因为，所以，所以，所以，所以.
设，则.
由，得，则在上单调递减；
由，得，则在上单调递增.
故，即.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.
（2）求导后根据导数的几何意义设切点，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.
【小问1详解】
．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
【小问2详解】
当时，
设切点，则切线方程为
因为切线过原点， 故， 即，
解得或
所以或.
16. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程.
（2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.
小问1详解】
椭圆的焦点为，故，
由双曲线的渐近线为，故，故，
故双曲线方程为：.
【小问2详解】
设，的中点为，
因为在直线，故，
而，，故，
故，
由题设可知的中点不为原点，故，所以，
故直线的斜率为.
此时，
由可得，整理得到：，
当即或，
即当或时，直线存在且斜率为1.
17. 如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；
（2）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法能证明平面平面．
【小问1详解】
证明：因为四边形是边长为的正方形，
平面，平面，且．
所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，平面的一个法向量为，
，所以，因为平面，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）可得，
设平面一个法向量，
则，令，得，
，，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
，所以，
所以平面平面．
18. 已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为
（1）求圆C方程;
（2）过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意设圆心，则圆的方程为
，由垂径定理结合弦长即可求解；
（2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可
【小问1详解】
设圆心，则圆的方程为
，
或舍去
圆的方程为
【小问2详解】
①当斜率不存在时，此时直线l方程为，
原点到直线的距离为，
令代入圆方程得或，
，
满足题意.
此时方程为
②当斜率存在时，设直线l的方程为，
圆心到直线l的距离，

原点O到直线l的距离，
整理，得，此时k无解．
综上所述，所求的直线的方程为
19. 已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）.
（1）当时，写出所有满足的数列；
（2）试判断数列是否为等差数列，并加以证明；
（3）当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差.
【答案】（1）2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.
（2）不可能是等差数列，证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）需要根据已知条件求出的表达式，再根据以及和或的条件来确定数列.
（2）根据等差数列的定义判断数列是否为等差数列.
（3）利用已知条件对分类讨论，设，求出范围，再根据是公差为的等差数列，求出，得到满足题意的.
【小问1详解】
，①
当时，，即，.
当时，，②
由①－②得：，即.
，，，即.
数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
.
由题意可得当且数列为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.
【小问2详解】
数列不可能为等差数列，证明如下：
假设是等差数列，公差为，
当时，由题意知，或3，此时，.
不是等差数列中的项，与题意不符.
不可能是等差数列；
当时，由题意，或.
此时，.
不是等差数列的项，与题意不符.
不可能是等差数列.
综上所述，不可能是等差数列.
【小问3详解】
由题意，，
当时，，，与题意不符；
当时，记，
当时，，
，
记表示集合中元素的最小值，则.
，与题意不符；
当时，取此时数列满足题意.
综上所述，.
【点睛】知识点点睛：本题考查了由与的关系式求，考查了等差数列的证明方法和基本量的计算，考查了分析问题，逻辑推理，分类讨论方法，属于较难题.