广东汕尾普宁华美实验学校2024~2025学年高二下册5月月考数学试卷[附解析]

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解.
【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以，
表示在上的平均变化率，
由图可知.
故选：A
2. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ）
A. 60B. 125C. 240D. 243
【答案】D
【解析】
【分析】有分步计算原理即可得出结果.
【详解】每个同学由3种选择方式，5名同学共有种选择方式
故选：D
3. 如图，是当取不同值的三种正态曲线的图象，那么的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查正态分布密度曲线的性质.
由图象可知，此正态分布为标准正态分布，其函数的解析式为．对于正态分布密度曲线，其标准差反映该组数据的离散程度．越大，数据越分散，曲线越矮胖；越小，数据越集中，曲线越瘦高.因而一定有
又由知，当时，
由图象知，则，所以.
故正确答案为
4. 若函数存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数存在零点，即方程有根，构造同构的形式，利用换元法转化为，利用导数研究函数的值域即可.
【详解】函数存在零点，即方程有根，
因为，所以方程有根，
设，则，即，
令，则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以当时，y有最小值1.
要使有解，只需.
故选：B.
5. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解.
【详解】由题意，解得，
而.
故选：A.
6. 已知随机变量的分布列为
则（ ）.
A. 1.32B. 1.71C. 2.94D. 7.64
【答案】D
【解析】
【分析】先由随机变量的分布列求出，再由期望的性质，即可求出结果.
【详解】由题意可得，随机变量的期望为，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查期望性质应用，熟记期望的性质即可，属于基础题型.
7. 设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由正态分布密度函数的概念即得.
【详解】由正态分布密度函数表达式知，.
故选：D.
8. 骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A. 事件A与B相互独立B. 事件B与C互为对立事件
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定事件A，B，C，D的概率，根据独立事件的乘法公式判断A；根据对立事件的概念判断B；根据条件概率的计算公式判断C；判断C，D不互斥，即可求得，判断D.
【详解】由题意得,
对于A，，，
故，则事件A与B相互独立，A正确；
对于B，事件“结果不小于3”“结果不大于2”不可能同时发生，故二者互斥，
且二者必有一个发生，故事件B与C互为对立事件，B正确；
对于C，，，
故，C正确，
对于D，事件“结果不大于2”与“结果奇数”不互斥，二者有相同事件“结果为1”
故，D错误，
故选：D
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则
B. 已知随机变量服从二项分布，则
C. 已知随机变量服从正态分布，且，则
D. 已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.
【详解】，故选项A正确；
，故选项B错误；
由题可知服从正态分布，由正态分布的对称性知，
，
，故选项C正确；
，，，，，的方差，
，，，，，的方差
，
标准差，故选项D正确.
故选:ACD.
10. 已知，则（ ）
A. 展开式中所有项的系数和为1
B. 展开式中二项式系数最大项为第1011项
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，令可得；对B，根据展开式有2023项可得；对C，令求得，再令即可求得；对D，对展开式两边分别求导再将代入可得.
【详解】在展开式中，令可得：，故A选项正确．
展开式有2023项，所以第1012项的二项式系数最大，故B选项错误．
在展开式中，令可得：，
再令，得
所以可得，故C选项正确．
对展开式两边分别求导得：，
再令可得，故D选项正确．
故选：ACD．
11. 已知递增的等差数列的各项均为整数，其前项和为，若，且成等比数列，则（ ）
A. B.
C. 是递增数列D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由等差数列的求和公式、等比中项、等差数列的性质可得A错误；由等差数列的求和公式可得B正确；由可得C正确；由等差数列的求和公式和通项公式代入计算可得D正确；
【详解】对于A，由题得，解得.
又成等比数列，所以，即，解得或（舍去）.
故，从而，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，即，所以是递增数列，故C正确；
对于D，因为，故，故D正确；
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知数列{an}中，a1=1，若an=2an-1+1（n≥2），则的值是___________.
【答案】31
【解析】
【分析】根据递推式和首项依次求出
【详解】因为a1=1，若an=2an-1+1（n≥2），
所以，
，
，
，
故答案为：31
13. 已知随机变量，且，其中，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.
【详解】由正态分布曲线的对称性可知：，
.
故答案为：.
14. 节约能源是人类面临重大课题，为了更好地配置电力资源，某市电力部门调查了一年的居民用电量，发现每户居民该年用电量X（单位：千瓦时）服从正态分布，且，在该市随机抽取500户居民，设这500户居民中该年用电量超过1200千瓦时的户数为，则______．
【答案】100
【解析】
【分析】根据正态分布求出，然后由二项分布期望公式可得.
【详解】由正态分布的对称性知，
则，所以．
故答案为：100
四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. 已知公差不为0的等差数列满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）记是数列的前项和，证明: .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；
（2）直接求出，再用裂项法即可.
【小问1详解】
设，则由已知有，.
将第一个等式展开化简可得，故由知.
再代入第二个等式可得，解得，从而.
故的通项公式是.
【小问2详解】
由于，
故
.
16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附表：
附：，其中.
【答案】（1）表格见解析，有关联
（2）分布列见解析，数学期望为1，方差为
【解析】
【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；
（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可
【小问1详解】
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05
【小问2详解】
由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，
所以，
，
，
，
，
，
的分布列为：
的数学期望为，的方差为.
17. 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表：
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5]内概率；
（2）求这50件产品尺寸的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求（）.
附：（1）若随机变量服从正态分布，则；（2）.
【答案】（1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587
【解析】
【分析】（1）直接根据频数分布表求尺寸落在[27.5，33.5）内的概率；
（2）由每一组数据的中间值乘以频率作和求得样本平均数；
（3）依题意，求得与，再由正态分布曲线的对称性求P（z≥27.43）＝0.1587．
【详解】（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在[27.5,33.5]内的概率为；
（2）样本平均数；
（3）依题意，而，，则，
，.
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用频率分布表求概率及平均数，属于基础题．
18. 某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为.
（1）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；
（2）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为，写出的概率分布列，并求及．
【答案】（1），
（2）分布列见解析，，.
【解析】
【分析】（1）设甲、乙能过关分别为事件A、B，利用互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验概率计算公式即可求解；
（2）由题意，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而即可求出的分布列及．
【小问1详解】
解：设甲、乙能过关分别为事件，
则，；
【小问2详解】
解：由题意，，
，
，，
，
.
19. 已知函数.
（1）讨论的极值点的个数；
（2）当时，设的极值点为，若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1），令，分两种情况讨论，判断方程根的个数即可；
（2）由（1）知，即，，先求得，进而可得答案即可.
【详解】（1），令
当时，由知，在有唯一零点，
故在有一个极值点；
当时，，的对称轴为，
若方程的，即，时，在有两个零点，
在有两个极值点；
若方程的，即，时，，
上单减，无极值点.
（2）由（1）知，即，……（*）
由且得，又∵，∴
代入（*）式，，
即解得，∴，
∴..
【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
X
0
1
2
3
P
a
5a
1
3
0.16
0.44
0.40
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
合计
男
女
合计
0. 1
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001
2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
合计
男
40
20
60
女
50
10
60
合计
90
30
120
0
1
2
3
4
数据分组
[12.5，15.5）
[15.5，18.5）
[18.5，21.5）
[21.5，24.5）
[24.5，27.5）
[27.5，30.5）
[30.5，33.5）
频数
3
8
9
12
10
5
3
1
2
3
0.2
0.6
0.2