山东省新泰市第一中学东校2023−2024学年高二下学期3月第二次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省新泰市第一中学东校2023−2024学年高二下学期3月第二次模拟考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
5．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
6．中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
7．已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．设，比较的大小关系（ ）
A．B．b
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．关于概率统计，下列说法中正确的是（ ）
A．两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强
B．某人解答5个问题，答对题数为X，若，则
C．若一组样本数据（，2，3，…，n）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.56
D．已知，若，则
11．设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知且恒成立，实数的最大值是 ．
13． 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
14．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？
(2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差.
参考数据：，.参考公式：，.
16．若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
(1)求的最大值；
(2)当时，均有，求满足条件的的个数.
17．已知的展开式的各项系数和为256.
(1)求展开式中的常数项；
(2)设，证明：；
(3)求证：.
18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.
(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；
(2)求聊天机器人答对题数的数学期望；
(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.
19．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:.
(1)直接写出具有的类似①、②的性质（不需要证明）：
(2)证明:当时，;
(3)求的最小值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选B.
2．【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选A.
3．【答案】D
【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.
【详解】，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上的最大值是．
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上的最小值是，
若，，恒成立，则，即，
所以，所以实数k的取值范围是．
故选:D．
4．【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选C.
5．【答案】C
【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而否定选项A和选项B，求得不等式的解集判断选项C；求得不等式的解集判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为
则且关于的方程的根为，，
则，解之得，
由，可得选项 A判断错误；
，故选项 B判断错误；
不等式可化为，解之得，故选项 C判断正确；
不等式可化为，即，
解之得或，故选项 D判断错误.
故选C。
6．【答案】C
【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.
【详解】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，
再将商、角插入4个空中的2个，有，
所以共有种．
故选C．
7．【答案】C
【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案.
【详解】定义域为R，
，
所以函数为偶函数，又因为，
时，，
时，，
故，
所以在上单调递增，
则不等，
即解得:.
所以不等式的解集为.
故选C.
8．【答案】C
【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系.
【详解】由，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
综上，.
故选C.
9．【答案】BD
【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D.
【详解】由已知有，故，.
所以.
对于A，取得，取得，
所以，A错误；
对于B，对求导得，
取得，B正确；
对于C，在中用替换，
得.
所以，特别地对有，C错误；
对于D，由有.
在中取得，
所以，D正确.
故选BD.
【思路导引】本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果.
10．【答案】BD
【分析】根据相关系数的几何意义即可判断A；根据二项分布的期望公式即可判断B；根据线性相关的定义即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D.
【详解】对于A，越大，则x与y之间的线性相关性越强，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为样本点都在直线上，
所以样本数据呈线性相关，且为正相关，所以，故C错误；
对于D，因为，，
所以，故D正确.
故选BD.
11．【答案】ACD
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对于A：因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，故A正确；
对于B：当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，故B错误；
对于C：当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，故C正确；
对于D：当时，，
所以，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】
【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，，
所以转化为，
可得，即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以实数的最大值是.
故答案为：.
【方法总结】利用基本不等式求最值的方法与技巧
(1)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧的使用,使其满足基本不等式的“一正”“二定”“三相等”的条件;
(2)利用基本不等式求最值时,要从整体上把握,有时可乘一个数或加一个数,注意“1”的代换等应用技巧.
13．【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
14．【答案】
【分析】根据，可得，再根据组合数的性质，计算即可得出答案.
【详解】根据题意可得，
因为
，
即，所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)，秒
(2)
【分析】（1）根据最小二乘法即可求解，
（2）由残差的计算公式即可求解.
【详解】（1）依题意可得，，
， ，
所以回归直线方程为，
将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是秒.
（2）根据（1）得到，；
所以步长为0.30残差和为.
16．【答案】(1)140
(2)42
【分析】（1）利用基本不等式求解即可.（2）利用排列组合的知识求解即可.
【详解】（1）由题意得
当且仅当时取等号，
即的最大值为140；
（2）由题意知，
从集合M中任取5个数，记为，共有种取法，然后剩余的两个数全排列，
故共有个满足条件.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意得，求出，再求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，从而可求出展开式中的常数项；
（2）根据阶乘公式化简等式右边即可；
（3）根据（2）的结论，利用裂项相消求和法可证得结论.
【详解】（1）因为的展开式的各项系数和为256，
所以，解得，
所以，
展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的常数项为；
（2）证明：因为
，
所以；
（3）证明：因为由（2）知，
所以
．
18．【答案】(1)
(2)3.75
(3)
【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；
（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到，根据二项分布期望公式求出答案；
（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.
【详解】（1）小王能全部答对的概率为；
（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则，
聊天机器人作答正确为事件，
则
，
故聊天机器人答对题数，
数学期望；
（3）由题意可得小王最少答对4道题，
小王能答对5道题的概率为，答对4道题的概率为，
由（2）知，聊天机器人答对题数，
故机器人能答对5道题的概率为，
机器人能答对4道题的概率为，
故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，
故机器人获胜的概率为，
小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，
其中都答对5道题的概率为，
都答对4道题的概率为，
所以小王获胜的概率为.
19．【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)0
【分析】（1）类比，写出平方关系，导数关系；
（2）构造函数，，求导，结合基本不等式，得到函数单调性，进而得证；
（3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在内单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出.
【详解】（1）平方关系：；
导数关系：；
（2）构造函数，，
可知，
由，
故恒成立，故单调递增，
则，故对任意，恒成立，满足题意；
（3），，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.
【思路导引】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.步频（单位：s）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步长（单位：）
90
95
99
103
117