江西省吉安县立中学2024-2025学年高二下学期2月重点班检测 数学试题（含解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 设函数 ，的单调递减区间为（ ）
A B. C. 和D.
3. 已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A. p：或，q：两条直线与平行
B. p：直线与曲线有两个不同交点，
C. 在圆外部，
D. p：直线与圆相离，
5. 设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为1，且满足，则双曲线的焦距为（ ）
A. B. 2C. D. 4
6. 已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（ ）
A.
B. 1
C. 4
D. 16
7. 函数在处有极值10，则为（ ）
A. B. 15C. 或15D. 不存在
8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 在方向上的投影向量的模为
10. 已知可导函数的导函数为，则（ ）
A. 有2个极值点
B. 有3个零点
C. 只可能在或者时取得最小值
D. 对，恒成立
11. “出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点为线段上任意一点，则为定值
B. 对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C. 对于平面上任意三点、、，都有
D. 若、为椭圆上的两个动点，则最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 等比数列中，且，，成等差数列，则________．（结果可用幂表示）
13. 已知函数在处取得极小值，则__________．
14. 如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分.
（1）小王同学的答题情况如图所示，
①求小王同学的得分；
②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率
（2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望.
16. 平面内，已知，，且．
（1）求动点P的轨迹E的方程．
（2）已知椭圆的离心率为，过E上任意一点M可作出椭圆的两条相互垂直的切线为切点．若延长与曲线E交于另一点D，O为坐标原点，直线的斜率存在，分别设为，，证明：为定值．
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求证：.
18. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
19. 如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
（1）求“等差椭圆”离心率；
（2）在“七星瓢虫曲线”中，若“等差椭圆”，且.
（ⅰ）求与和都相切直线的方程；
（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.