江西省吉安县立中学2024-2025学年高一下学期2月重点班检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省吉安县立中学2024-2025学年高一下学期2月重点班检测数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 设是两个集合，则“且”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知向量满足：，则（ ）
A. 1B. 3C. D. 10
3. 在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
4. 对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
5. 设，下列关于的说法正确的是（ ）
A. 是偶函数，是奇函数
B. 的零点相同，都是
C. 的单调递增区间是
D.
6. 设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 图象的一个对称中心可以是
C. 的一个单调递增区间可以是
D. 图象的一条对称轴可以是
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，把向量的起点移到同一个点，设，以为邻边构造平行四边形，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量是D. 平行四边形的面积为
10. 在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则存在实数使得
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，则的最大值是________．
13. 设三边满足关系，则面积的最大值是________．
14. 在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若，则是________（“锐角”，“钝角”，“直角”）三角形．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设，求：
（1）的值域，周期；
（2）的对称轴、对称中心；
（3）单调区间．
16. 三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花!
（1）如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值.
（2）如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值.
17. 三角形中，分别是角的对边，已知点是AB的中点，点在线段上，且，线段CD与线段交，
（1）求角的大小；
（2）若，求的值；
（3）若点是三角形的重心，求的最小值.
18. 中，点在线段上，平分．
（1）尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：；
（2）若，，则是多少？
19. 设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”．
（1）设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由；
（2）若在上是“可逆函数”，求实数的值；
（3）若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：．