江西省吉安市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（Word版含解析）

这是一份江西省吉安市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（Word版含解析），共19页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 两平行直线和间的距离为， 一条经过点的直线与圆， 已知直线， 的展开式中等内容，欢迎下载使用。

2024.1
（测式时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线一般式求得直线的斜率，进而得到其倾斜角，从而得解.
【详解】直线的斜率，其倾斜角（），
则，∴．
故选：C.
2. 已知空间中点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关于平面对称的点横纵坐标相同，竖坐标互为相反数.
【详解】空间中点，则点关于平面对称的点的坐标是．
故选：A
3. 两平行直线和间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线间的距离公式计算即可.
【详解】直线，即，
则平行线间距离．
故选：B.
4. 抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得.
【详解】抛物线的焦点为，
所以点到焦点的距离.
故选：B
5. 将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（ ）
A. 15种B. 18种C. 21种D. 24种
【答案】C
【解析】
【分析】利用隔板法求解即可.
【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法．
故选：C.
6. 一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】当直线的斜率不存在时，不合要求，设直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出或，得到直线方程.
【详解】由题意知，，设圆的半径为，则，
当直线的斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到直线距离为，
此时，舍去，
设直线的方程为，即，
点到直线的距离，
又，
故，解得或，
代入得或．
故选：D
7. 在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，
∵，，
∴，，，，
∴，，
已知是棱上一点，（），
则，
∵，∴，解得．
故选：C
8. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】设，可证得，设直线与直线的方程，表示出点和点坐标，由，求出直线的斜率.
【详解】则，，设，
则，
设（），则，
直线的方程为，则的坐标为，
直线的方程为，则的坐标为，
∴，解得或．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用两点的斜率公式和点在椭圆上，证明则，此时设（），则有，由求即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线：，则下列说法正确的有（ ）
A. 的一个方向向量为
B. 的截距式方程为
C. 若与直线互相垂直，则
D. 点到的距离为1
【答案】AD
【解析】
【分析】由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断A、B；由垂直关系的判定列方程求参判断C；应用点线距离公式求距离判断D.
【详解】由直线方程知：的一个方向向量为，A对；
由，则截距式为，B错；
与直线互相垂直，则，可得，C错；
点到的距离为，D对.
故选：AD
10. 的展开式中（ ）
A. 二项式系数之和为32B. 最高次项系数为32
C. 所有项系数之和为D. 所有项系数之和为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二项式系数和的性质判断A，结合展开式通项求解最高次项系数判断B，令得所有项系数之和判断CD.
【详解】二项式系数之和为，A正确；
设的展开式第项为，
令得的展开式中最高次项的系数为，B正确；
令得，所有项系数之和为，C错误，D正确.
故选：ABD
11. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ）
A.
B.
C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D.
【详解】由题意可得，，则，故A错误．
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
则，B正确．
设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线，
联立得，
则，即，C正确．
由，
设：；，，，
联立得，
∴，，
则
，
设，则，
∴，
又单调递减，则，∴，
故，D错误．
故选：BC
12. 在棱长为1的正方体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 直线与底面所成的角的正弦值为
C. 平面与底面夹角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出，得到，得到线面平行；B选项，得到平面的法向量，利用向量夹角公式求出线面角的正弦值；C选项，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式求出答案；D选项，利用点到平面的距离向量公式求出答案.
【详解】如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故A正确．
B选项，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，故B正确．
C选项，，，设平面的法向量，
则令，得，则．
设平面与底面的夹角为，
则，
∴平面与底面夹角的余弦值为，故C错误．
D选项，∵，平面，平面，
又，平面法向量，
∴点到平面的距离即为直线与平面的距离，故D错误．
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的一般方程中得到不等式，求出答案.
【详解】∵二元二次方程表示圆，
∴，故，解得．
故答案为：
14. 第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名．其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分组分配问题，结合古典概型的概率公式求解.
【详解】该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为，
15人选10人分两组的分法种数为，
∴两人都被选中且被分在不同组的概率．
故答案为：
15. 抛物线上有一动点，过作曲线切线，其中一个切点为，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，设，当最小时，即最小，求出的最小值，即可得解.
【详解】曲线即，表示圆心为，半径的圆，
设，当最小时，即最小，
其中，当且仅当时取等号,
即，所以，
所以.
故答案为：
16. 已知实数，满足，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】方程表示椭圆的右半边，为椭圆上的点与定点的斜率，与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的斜率，数形结合即可求得范围.
【详解】因为，所以，，
根据数形结合，，，可看作是椭圆的一半（如下图）：
又等价于过点和点的直线斜率，由图可知，当直线与椭圆相切时，斜率取最值.
设切线为，联立，消得，
令，解得，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 判断是否能被8整除？并推理证明．
【答案】能被8整除，证明见解析
【解析】
【分析】根据题意结合二项展开式分析证明.
【详解】能被8整除，证明如下：
因为
，
注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除，
所以能被8整除．
18. 已知为过点，，三点的圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线：与圆有公共点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为：，代入，，三点坐标，解方程求出，即可得出答案.
（2）直线与圆有交点，即到的距离，求解即可得出答案.
【小问1详解】
设圆的方程为：，
代入，，三点坐标可得
解得
∴圆的方程为：
【小问2详解】
由（1）知，
即圆心，半径为，
由题意可知到：的距离，
解得：
故的取值范围为：.
19. 在空间直角坐标系中，，，，．
（1）求；
（2）判断点，，，是否共面，并说明理由．
【答案】（1）
（2）不共面，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求出和即可求出；
（2）求出，设，列出方程组证明其无解即可.
【小问1详解】
由题意知，，
∴；
【小问2详解】
∵，，，
设，则无解，
即不存在，使得，，共面，
故点，，，不共面．
20. 已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标．
【答案】证明见解析，．
【解析】
【分析】联立直线方程和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，根据得到方程，得到，求出定点坐标.
详解】由题意得，
设，，联立方程组
整理得，，
则，．
，
，，
则，
由得，，
整理得，
∵，∴．
故，即．故此时，点为定点．
21. 如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）．
（1）若，证明：；
（2）若，且与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，即可得出结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法列出与平面所成角的正弦值为的方程，求解即可得出结果.
【小问1详解】
连接，交于点，如图所示．
∵底面是菱形，
∴，且，互相平分．
又，
∴，，
连接，交于点，连接，
则平面，
∴，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
，，．
∴，∴，
∴，
∴时，．
∵，
∴．
【小问2详解】
由（1）可得，
，，
设平面的法向量为，
则即
∴，令，得，
则，
设与平面所成角为，
则，
化简得
解得或（舍去）．
所以.
22. 设，，向量，分别为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知，，斜率不为0的直线过点且与轨迹交于，两点，若平分，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积运算律化简得，利用椭圆定义即可求解方程；
（2）设：，，，联立直线与椭圆方程，韦达定理，再根据平分线的性质得点的坐标关系，结合韦达定理求解，即可解答.
【小问1详解】
因为，，且，
所以，
该式子可看作是点到两个定点，的距离之和为4，
由椭圆定义可得，，，即，，
所以点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
直线斜率不为0，设：，，，
联立，消去得，，
所以，，①
由平分知，即，
又，则，整理得，
把①式代入，化简得，即，
所以直线的方程为即.