湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷（Word版附解析）

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命题､审题：长沙市一中高三数学备课组
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､考场号､填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知数列 满足 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，将 把 分别表示出来，结合不等式的性质计算即可.
【详解】设 ，则 ，
得 ，
所以 ．
故选：B
2. 双曲线 的一个焦点为 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
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【分析】由双曲线中的平方关系 即可得出答案.
【详解】由题意得 ，所以 ．
故选：A.
3. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用齐次化思想化简 ，代值计算即得.
【详解】 .
故选：C
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除 D，根据 且 时 ，可排除 A，C.
【详解】记 ，函数的定义域是 ，
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，所以函数 为偶函数，其图像关于 轴对称，故 D 错误；
当 且 时， ， ，即 ，图像在 轴下方，故 A，C 错误．
故选：B.
5. 已知 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足
，则 的最小值是（ ）
A 4 B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先确定向量 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值．
【详解】设 ， 共起点，
由 可得 得 ，
如图 终点在 直径的圆上，
设 中点为 ， ， 夹角为 ，
因此， 的最小值为圆心 到向量 所在直线的距离 2 减去半径 1，为 1.
故选：D.
6. 已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据函数 的奇偶性、单调性，由 得 ，可得答案.
【详解】因为 ，所以函数 的定义域为 ，
则定义域关于原点对称，且 ，
所以 为偶函数，
又 时， 是单调递增函数，而 是单调递减函数，
所以 是单调递减函数，
根据对称性知 时，所以 是单调递增函数，
函数 中， ，
由 得 ，解得 或 .
故选：D.
7. 如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同
的涂法共有（ ）
A. 400 种 B. 460 种 C. 480 种 D. 496 种
【答案】C
【解析】
【分析】完成此事可能使用 4 种颜色，也可能使用 3 种颜色，当使用 3 种颜色时， 和 涂一种颜色，利
用分类加法、分步乘法计数原理即可求解.
【详解】完成此事可能使用 4 种颜色，也可能使用 3 种颜色，
当使用 4 种颜色时， 有 6 种涂法， 有 5 种涂法， 有 4 种涂法， 有 3 种涂法，
所以共有 种方法；
当使用 3 种颜色时， 和 涂一种颜色，共有 6 种涂法，
有 5 种涂法， 有 4 种涂法，
所以共有 种方法；
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所以不同的涂法共有 种.
故选： .
8. 用平面 截圆柱面，圆柱的轴与平面 所成的角记为 ，当 为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数
学家 Dandelin 创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别
位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切，切点分别为 ．下列关于截口曲线的椭圆的结论中
不正确的有（ ）
A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 相等
C. 所得椭圆的离心率
D. 其中 为椭圆长轴， 为球 的半径，有
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用椭圆定义可判断 AB；结合图形的几何特征利用椭圆的离心率定义可判断 C；结合图
形的几何特征利用解三角形可判断 D.
【详解】设 P 为截口曲线的椭圆的一点，如图，过点 作线段 分别与球 切于点 ，
故有 ，
由椭圆定义可知，该椭圆以 ， 为焦点， 为长轴长，故 B 正确．
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设椭圆长半轴长为 ，半焦距为 ，设 O 为 的中点，
与球 切于点 ， ， ，故 ，
有 ，则
即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故 A 正确．
由题意可得 ，则 ，故 C 正确．
由题意知 （这是因为 ），
则 ，故 ，
即 ，故 D 错误．
故选：D．
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有 3 个零点
C. 点 是曲线 的对称中心
D. 直线 是曲线 的切线
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【答案】AC
【解析】
【分析】利用极值点的定义可判断 A，结合 的单调性、极值可判断 B，利用奇函数的对称性和平移可
判断 C；利用导数的几何意义判断 D.
详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，
所以 是极值点，故 A 正确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故 B 错误；
令 ，该函数的定义域为 ，
，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动 6 个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故 C 正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，
当切点为 时，切线方程为 ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 、 、 成等比数列
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B. 若 为等差数列，则 为等差数列
C. 若 为等比数列，则 为等差数列
D. 若 ， ， ，则 为等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】根据特殊数列法判断 A；利用等差数列的定义判断 B；取 判断 C；利用等比数列的定义
判断 D.
【详解】对于 A，当 时有 ，此时 、 、 不成等比数列，A 错；
对于 B，设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以， ，则 ，
因此，若 为等差数列，则 为等差数列，B 对；
对于 C，若 为等比数列，取 ，则当 为正奇数时， 无意义，C 错；
对于 D，因为 ，所以 ，
而 ， ， ， ，
因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，D 对
故选：BD.
11. 若复数 在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 在第二象限
B. 若 为纯虚数，则 在虚轴上
C. 若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为
D. 若 ，则 为实数
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【答案】BD
【解析】
【分析】运用复数除法计算可判断 A 项，由纯虚数所对应的点的坐标可判断 B 项，运用复数模的运算可判
断 C 项，设 ，则 ，计算 即可判断 D 项.
【详解】对于 A， ，故 ， 点在实轴上，故 A 错误；
对于 B，若 为纯虚数，则 在虚轴上，故 B 正确；
对于 C， ，则点 的集合所构成的图形是半径为 3 的圆，面积为 ，故 C 错误；
对于 D，设 ，则 ，
则 ，故 D 正确.
故选：BD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 如图：在 中， ， ， 三点分别在边 ， ， 上，则 ， ，
外接圆交于一点 ，称点 为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形 中， ，
， ， 为 边的中点，动点 在 边上， 与 的外接圆交于点 （异于
点 ），则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件确定正三角形，利用外接圆公共点确定点 Q 的位置，再结合外心和外接圆半径等条
件，通过余弦定理求出线段 BD 的长度，最后根据点与圆的位置关系求出 BQ 的最小值.
【详解】延长 ， 交于点 ，则由题可知 正三角形， 为正三角形，
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由题设结论 ， ， 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点 ，故点 在
的外接圆上，
如上图，又由题可知 ，即 为 的外心，且 外接圆半径为 2，
，
在 中，由余弦定理 ，所以 的最小值为 .
故答案为： .
13. 已知平面向量 、 、 满足 ， ， ， ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】如图，设 ， ，则 ，可知四边形 为菱形，求出
，利用平面向量数量积的定义可求出 的值.
【详解】如图，设 ， ，以 为邻边作 ，
则 .
由 ， ， ，可得 ，
故 为菱形，且 ，
故 .
故答案为： .
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14. 已知事件 A， 满足 ， ， ，则
的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件概率公式和已知条件得 ，设 ， ，列出
关于 x，y 的函数式，通过导数求出最值即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，又 ，
，
所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，得 ，
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又 ，即 ，符合题意，
令 ，解得 ； ，解得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ， 取得最大值，
所以 ，
的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：通过条件概率的定义，将目标函数转化为关于 和 的表达式，通过求导和极值分
析，找到 的最大值.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 （ 为常数），曲线 在点 处的切线平行于直
线 .
（1）求函数 的解析表达式；
（2）求函数 的极值.
【答案】（1）
（2）极大值为 ，极小值为
【解析】
【分析】（1）求导，由 求得 的值，得解；
（2）利用导数判断单调性，求出极值.
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【小问 1 详解】
根据题意， ，则 ，
解得 ，
.
【小问 2 详解】
由（1） ，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以当 或 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，极大值为 ，
当 时， 取得极小值，极小值为 .
16. 记锐角 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）证明： ；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差化积公式及和差角的余弦公式计算推理得
证.
（2）由（1）可得 ，再利用和角的正切公式及基本不等式求出 的最小值即可.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，得 ，
则 ，
而 ，则 ，于是 ，
整理得 ，因此
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，
所以 .
【小问 2 详解】
在锐角 中，由（1）知， ，则 ，
而 ，则
，当且仅当 时取等号，
因此 ， ，所以 的最大值为 1.
17. 预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查
一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机
抽查了 50 只，得到如下的样本数据（单位；只）：
发病 没发病 合计
接种疫苗 7 18 25
没接种疫苗 19 6 25
合计 26 24 50
（1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
（2）从该地区此动物群中任取一只，记 表示此动物发病， 表示此动物没发病， 表示此动物接种疫苗，
定义事件 的优势 ，在事件 发生的条件下 的优势 ，利用抽样的样本数
据，求 的估计值.
（3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取 3 只动物，记抽取的 3 只动物中接种疫苗
的只数为 ，求随机变量 的分布列、数学期望.
附： ，其中 .
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0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）接种该疫苗与预防该疾病有关.
（2）
（3）分布列见解析， .
【解析】
【分析】（1）求得卡方值，比较临界值即可判断；
（2）由条件概率计算公式即可求解；
（3）由题意确定 ，进而可求解；
【小问 1 详解】
根据列联表可得
，
所以，在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关.
【小问 2 详解】
由于 .
所以 ， ，
,
由列联表中的数据可得 ， ，所以 .
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【小问 3 详解】
由题可知，抽取的 24 只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为 18 人和 6 人，所以从没发病
的动物中随机抽取 1 只，抽取的是接种了疫苗的概率为 ，
则由题意可知 ，且 ，
， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
所以随机变量 的数学期望为 .
18. 如图 1，已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，过点 作倾斜角为 的直
线交抛物线于 两点（点 在第一象限）．当 时， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）如图 2，把 沿 翻折为 ，使得二面角 的大小为 ．
①若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
②证明：三棱锥 的体积为定值．
【答案】（1）
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（2）① ；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出 ，进而得出抛物线；
（2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角
形面积公式计算求解.
【小问 1 详解】
当 时， ，所以点 的坐标为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
所以抛物线 的方程为 ．
【小问 2 详解】
①在平面直角坐标系中，若 ，则直线 的方程为 ，
联立
所以点 的坐标分别为 ．
过 O 点作平面 的垂线为 轴，如图建立空间直角坐标系，则 ，
当二面角 的大小为 时，点 ，即
，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
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则 即 解得 取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
②由题意得 ．
，
当 时， ，
当 时，在平面直角坐标系中，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
设点 的坐标分别为 ，
联立 得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，
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，
综上所述，三棱锥 的体积为定值 ．
19. 已知函数 图像如图 1 所示， ， 分别为图像的最高点
和最低点，过 ， 作 轴的垂线，分别交 轴于 ， ，点 为该部分图像与 轴的交点，且
， 与 轴的交点为 ．将绘有该图像的纸片沿 轴折成如图 2 所示的二面角
．折叠后，当二面角 的值为 时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）在图 2 中， 的图像上存在点 ，使得 平面 ，请确定点 的个数，并简要说明理由；
（3）如图 3，在折叠过程中，若二面角 的范围是 ，求二面角 的余弦值的
取值范围．
【答案】（1）
（2）可确定存在两个点 满足条件，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意： ， ，利用绘有图像的纸片折叠前，存在关系
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，以及折叠后存在关系 ，列方程组求得： 与 的
值，从而求得 ，再由 与 轴的交点为 ，求得 ，从而求得解析式；
（2）①在平面 内，过点 作 图象的切线，斜率为 ， 连线的斜率 ， 连线的
斜率 ，过点 作 交 轴于 ，则直线 斜率为-2，由 可得直
线 一定交 的图像于 ，②在平面 上，过 作 平行于 的交 于 ，连接 ．可
证得平面 平面 ，从而证得 平面 ，故可确定存在两个点 满足条件.
（3）以过 且平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设二面角
， ，通过空间向量法求得二面角 的余弦值为
，令 ， ，则 ，即可得解.
【小问 1 详解】
由题意： ， ，
当绘有图像的纸片折叠前，有 ，
于是 ①
又当二面角 的值为 时，可得
，代入上式： ②
联立①②，解得： ， ．
所以 ，
又 与 轴的交点为 ，可得 ，解得 (舍)或 ，
所以 .
【小问 2 详解】
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①在平面 内，过点 作 图象 切线，斜率为 ，
又点 ， ，
故 连线的斜率 ， 连线的斜率 ，
于是，过点 作 交 轴于 ，则直线 斜率为-2，
因为 ，故直线 一定交 的图像于 ，
②在平面 上，过 作 平行于 的交 于 ，连接 ．
由 ， ，且 ，可得平面 平面 ，
又 平面 ，
从而 平面 ，
综上，可确定存在两个点 满足条件，即 ， 平面 ．
【小问 3 详解】
根据题意，依图 3，以过 且平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设二
面角 ， ，
于是， ， ， ，
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所以 ， ，
设平面 的法向量
于是
令 ，得
设平面 的法向量
于是
令 ，得
结合法向量方向可判断，二面角 的余弦值为
令
化简得：
令 ， ，
于是 ．
易知，该函数为定区间上的单调递增函数，所以， ，
二面角 的余弦值的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：对于折叠问题，要注意折叠前后不变的量以及其内在联系.
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