湖南省长沙市师大附中2025届高三下学期模拟考试一数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市师大附中2025届高三下学期模拟考试一数学试卷（Word版附解析），文件包含2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题原卷版docx、2025届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
本试卷共 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、座位号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 （ ， 是虚数单位），则 的值分别等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知单调递减的等比数列 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 512 D. 1024
4. 已知直线 ： 与圆 ： 交于 ， 两点，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 2
5. 如图，在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， 的中点，则正方体
被平面 所截得的截面周长是（ ）
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A. B. C. D.
6. 已知椭圆 的短轴长为 4，上顶点为 B ，O 为坐标原点，点 D 为 OB 的中点，
曲线 的左、右焦点分别与椭圆 C 的左、右顶点 重合，点 P 是双曲线 E
与椭圆 C 在第一象限的交点，且 三点共线，直线 的斜率 ，则双曲线 E 的实轴长为
（ ）
A B. C. D.
7. 已知定义域为 的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集是
（ ）
A. B. C. D.
8. 在数列 中， ， ， ，前 项和为 ，则下列说法中不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
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9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 为了得到函数 图象，可将 的图象向右平移 个单位长度
C. 在 上的值域为
D. 两个相邻的零点之差的绝对值为
10. 已知各项均不为零的数列 ，其前 项和是 ，且 . 下列说法正确
的是（ ）
A.
B. 若 为递增数列，则 的取值范围是
C. 存在实数 ，使得 为等比数列
D. ，使得当 时，总有
11. 某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮
次，若投中次数不低于投篮次数的 ，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为 0.9，
每次是否投中相互独立.若 ，记甲通过考核的概率为 ，若 ，记甲通过考核的概率为 ，若
，记甲通过考核的概率为 ，若 ，记甲通过考核的概率为 ，若 ，记甲通过考核的
概率为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的极值点为________.
13. 已知 ，则 __________.
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14. 若正整数 m，n 的公约数只有 1，则称 m，n 互质.对于正整数 是小于或等于 n 的正整数中与 n
互质的数的个数.函数 以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 ，则 .若
数列 的前 n 项和为 ，则 ____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只
等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片 中， ， ， 所对的边分别为 ，
， ， 的面积为 ， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 ， 是 的中点，现需要对纸片 做一次折叠，使 点与 点
重合，求折叠后纸片重叠部分的面积 .
16. 某绿色水果生态园在某种水果收获 .随机摘下该水果 100 个作为样本，其质量分别在 ，
， ， ， ， （单位：克）中，经统计，样本的频率分
布直方图如图所示：
（1）求图中 a 的值；
（2）现按分层抽样 方法从质量为 ， 的水果中随机抽取 6 个，再从 6 个中随机抽取
3 个，求这 3 个水果中恰有 1 个质量在 内的概率；
（3）某经销商来收购水果时，该生态园有水果约 10000 个要出售.
经销商提出如下两种收购方案：
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方案 A：所有水果以 10 元/千克收购；
方案 B：对质量低于 250 克的水果以 2 元/个收购，不低于 250 克的以 3 元/个收购.假设同组中的每个数据都
用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？
17. 如图，在三棱锥 P⁃ABC 中，平面 PAB⊥平面 PAC，BC=2AB=2，∠ABC= .
（1）证明:PB⊥AC;
（2）若侧面 PAB 是等边三角形，点 D 满足 =λ （0