黑龙江省东三省精准教学联盟2025届高三下学期联合模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足： ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的轴截面是一个斜边长为 的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等比数列 前 项和为 ，若公比 ， ，则 （ ）
A. 49 B. 56 C. 63 D. 112
5 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 ， 若 是 上的增函数，
，且 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知 为函数 （ ， ）的一个零点，直线 为曲线
的一条对称轴，设 的最小正周期 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数 ， ， 满足 ， ， ，其中
为自然对数的底数.则 ， ， 的大小关系是（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知一组样本数据分别为：31，6，12，19，17，16，11，则该组样本数据的（ ）
A. 极差为 27 B. 上四分位数为 19 C. 平均数为 15.5 D. 方差为
10. 设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 上一点，则（ ）
A. 的焦距为
B. 当 在 的右支上，且 时，
C. 当 时，点 到 的两条渐近线距离之和为
D. 当 时， 为直角三角形
11. 如图，四棱台 的底面是正方形， ， 底面 .动点
满足 ，则下列判断正确的是（ ）
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A. 点 可能在直线 上
B. 点 可能在直线 上
C. 若点 在底面 内，则三棱锥 的体积为定值
D. 若点 在棱 上，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中，常数项为__________.
13. 已知平面向量 ， 满足 ，且 在 上的投影向量为 ，则向量 与向量 的夹角为
__________.
14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短
半轴长的乘积.已知平面内，椭圆 经过平移和旋转后，能得到以 为一个焦
点，且过点 的椭圆 ，则椭圆 面积的最大值为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 为 的中点， ， ，求 的面积.
16. 设函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处 切线方程；
（2）若 为增函数，求 的取值范围.
17. 如图所示，正三角形 的边长为 2， ， ， 分别是各边的中点，现将 ， ，
分别沿 ， ， 折起，使得 ， ， 所在平面均与底面 垂直.
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
18. 如果随机变量 全部可能取到的值是有限的或者可列无限多对的，那么我们就称 是二维离
散型的随机变量.甲、乙两人参加一次知识竞赛，竞赛过程有一轮抢答环节，共有三题供甲、乙二人抢答.已
知甲、乙抢到每题的概率相等，且抢到每题与否相互独立.在抢到任意一题后，甲、乙答对的概率分别为 和
.对于每一个题，抢到题并回答正确的得 1 分，没抢到题的得 0 分，抢到题但回答错误的扣 1 分（即得
分），三题抢答结束后，得分高者获胜（每题都有人抢答）.记这次比赛中，甲、乙得分数分别为 ， ，
是二维离散型随机变量.把 所有可能的取值，和取这些值的概率画在一张表中，这张表为二
维离散型随机变量 的分布列.
0 1 2 3
0
1
2
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3
其中 .
（1）求 ， ；
（2）求 ；
（3）已知随机事件 发生了，求随机变量 的分布列.
19. 在平面直角坐标系 中，若圆 与抛物线 有公共点
，且圆 与抛物线 在点 处有相同的切线，则称 为抛物线 的和谐数，圆 为 的和
谐圆.
（1）试判断 3 是否为抛物线 的和谐数.若是，求出 3 的和谐圆；否则，请说明理由.
（2）设 ， ，…， 均为抛物线 的和谐数，且 ，记 ， ，…， 的和谐
圆分别为圆 ， ，…， ，设圆 ， ，…， 与抛物线 的公共点分别为 ， ，…， ，已知
，且 ，圆 与 外切.
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）设点 ，记 的面积为 ，证明： .
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