黑龙江省东三省精准教学联盟2025届高三下学期联合模拟考试数学试题 含解析

这是一份黑龙江省东三省精准教学联盟2025届高三下学期联合模拟考试数学试题 含解析，共20页。试卷主要包含了 已知 ， ，则， 已知一组样本数据分别为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合 ，再利用交集的定义求解.
【详解】由 ，
由 ，
所以 .
故选：C
2. 已知复数 满足： ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘除法求出复数 z，可得复数 ，由模长公式即可求得答案.
详解】由 ，得 ，
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所以 .
故选：D.
3. 已知圆锥的轴截面是一个斜边长为 的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由轴截面可得底面半径及母线长，再由表面积公式即可求解；
【详解】因为轴截面是一个斜边长为 的等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径 ，母线 ，
所以圆锥的表面积 .
故选：D.
4. 已知等比数列 的前 项和为 ，若公比 ， ，则 （ ）
A. 49 B. 56 C. 63 D. 112
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式推导出 与公比 的关系，再结合已知条件求出 的
值.
【详解】∵ ，∴ .
故选：B.
5. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求出 与 的值，再利用三角函数的两角和公式求出 ，最后根据
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二倍角公式求出 .
【详解】由 ，可得 ，且
，
故 .
故选：C.
6. 已知函数 ， 若 是 上的增函数，
，且 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合的包含关系，分类讨论 时， 的解集即可求解；
【详解】 是 上的增函数，得 ，
考虑
当 时， 等价于 得： .
当 时， 等价于 ，
当 时，由 ，可得： ，又 ，此时解集为 ，
也即 的解集为 符合题意；
当 时，由 ，可得： ，又 ，此时解集为 ，
也即 的解集为 ，不符合题意；
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当 时，由 ，可得： ，又 ，此时解集为 ，
也即 的解集为 ，符合题意；
综上可知： 的取值范围是 .
故选：B
7. 已知 为函数 （ ， ）的一个零点，直线 为曲线
的一条对称轴，设 的最小正周期 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的图象性质，通过图象中两个特殊点的距离与周期的关系求出周期 ，再结合周期
公式求出 ，最后代入特殊点求出 ，进而求得 的值.
【详解】由三角函数的图象与性质可得 ， ，解得 ， ，
又因为 ，故有且仅有 时满足题意，此时 ，解得 ，
此时 ，代入 ，可得 ， ，
又因为 ，故有且仅有 时满足题意，此时 .故 .
故选：C.
8. 已知实数 ， ， 满足 ， ， ，其中
为自然对数的底数.则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构建函数 ，利用导数分析 的单调性，根据题意可得 ，
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， ，且 ， ， ，结合单调性分析判断.
【详解】设 ，可知函数 的定义域为 ，且 ，
因为 在定义域上单调递增，且 ，
若 ，则 ；若 ，则 ；
可得 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ， ， ，
可得 ， ， ，
即 ， ， ，且 ， ， ，
可知 ，且 ， ， ，所以 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构建函数 ，结合函数的单调性分析判断.
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知一组样本数据分别为：31，6，12，19，17，16，11，则该组样本数据的（ ）
A. 极差为 27 B. 上四分位数为 19 C. 平均数为 15.5 D. 方差为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均数、方差以及极差求解可判断 ACD，根据百分位数计算即可判断 D.
【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列为：6，11，12，16，17，19，31.
对于 A，根据极差定义可知，该组数据的极差为 ，故 A 错误；
对于 B，因为 ，所以该组数据的上四分位数为 19，故 B 正确；
对于 C，该组数据的平均数为 ，故 C 错误；
对于 D，该组数据的方差为
，
故 D 正确.
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故选：BD
10. 设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 上一点，则（ ）
A. 的焦距为
B. 当 在 的右支上，且 时，
C. 当 时，点 到 的两条渐近线距离之和为
D. 当 时， 为直角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】由椭圆方程可得 c 的值，判断 A；确定 P 点坐标结合双曲线定义判断 B；求出渐近线方程结合点
到直线的距离公式可判断 C；求出 P 点坐标结合向量垂直的坐标运算可判断 D.
【详解】由双曲线 可知 ，
得 的焦距为 ，故 A 正确；
由 在双曲线 的右支上，且 可得 ，从而 ，
又因为 ，此时 轴，即 ，所以 ，故 B 正确；
的渐近线方程为 ，当 时， ，
故点 到 的两条渐近线距离之和为 ，故 C 错误；
由 可得 ，而 ，取 ，
， ，则 ，所以 ，
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因此 为直角三角形，由对称性可知当 时也成立，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 如图，四棱台 的底面是正方形， ， 底面 .动点
满足 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 点 可能在直线 上
B. 点 可能在直线 上
C. 若点 在底面 内，则三棱锥 的体积为定值
D. 若点 在棱 上，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A：由 与 所在直线相交且不垂直可判断；对于 B，通过 可判断，对于 C，
通过等体积 可判断，对于 D，通过求证 ，得到 可判断；
【详解】点 的轨迹是过点 且与 垂直的平面 （不包括点 ），因为 与 所在直线相交且不垂
直，因此直线 与平面 相交，所以 A 正确；
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因为 底面 ， 在底面 内，所以 ，
又 ， ， 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因此平面 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ，故 B 不正确；
若点 在底面 内，则点 在直线 上，而 平面 ，
所以点 到平面 的距离为定值，
所以 为定值，故 C 正确；
设 的中点为 ，
若点 在棱 上，则 ， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
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在梯形 中，可以求得 ， ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中，常数项为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据二项式定理得到通项公式，再通过令该项中 的次数为 ，求出 的值，进而得到常数项.
【详解】二项式 的展开式的第 项为 ，则 的展开式的第 项
为 ， ，
令 ，得 ，所以常数项为 .
故答案为： .
13. 已知平面向量 ， 满足 ，且 在 上的投影向量为 ，则向量 与向量 的夹角为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到 ，再利用向量夹角公式，即可求解.
【详解】因 在 上的投影向量为 ，即 ，
则 ，又 ，则得 ，
所以 ，
又 ，故向量 与向量 的夹角为 ，
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故答案为： .
14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短
半轴长的乘积.已知平面内，椭圆 经过平移和旋转后，能得到以 为一个焦
点，且过点 的椭圆 ，则椭圆 面积的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出椭圆半焦距 c 的范围，即可求得短半轴 b 的范围，即可求得答案.
【详解】由椭圆 可知 ，结合题意知椭圆的面积为 ，
设椭圆 另外一个焦点为 ，则 ， ，即 ，
所以 在以 为圆心，1 为半径的圆上，故 ，即 ，
当 三点共线时等号成立（F 在 之间），
所以 ，所以椭圆 面积的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
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（2）若 为 的中点， ， ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理进行边角互化，再利用二倍角的正弦公式结合特殊角的三角函数关系即可求得
答案；
（2）由 为 的中点得 ，左右平方实数化可得边 ，再利用三角形的面积求解即可
.
【小问 1 详解】
由正弦定理，得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 .
【小问 2 详解】
因为 为 的中点，所以 ，
两边平方得到 ，
又 ， ，
所以 ，整理可得 ，
解得 或 （舍去）
所以 的面积 .
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16. 设函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 为增函数，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）法一：参变分离得到 在 上恒成立，构造函数 求最值即可；
法二：构造函数 ，通过分类讨论求最值即可求解；
【小问 1 详解】
当 时， ，
所以 ， ， ，
∴曲线 在 处的切线方程为 ，
整理得， ，
∴曲线 在 处的切线方程为 .
【小问 2 详解】
， ，
是增函数，即 在 上恒成立，
方法一：即 在 上恒成立，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
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∴当 时， 取得极大值，也是最大值，
∵ ，∴ 的取值范围是 .
方法二：即 在 上恒成立，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
①若 ，则 ， 在 上单调递增，
当 趋近于 0 时， 趋近于 ，即 不恒成立，
所以 在 上不单调递增，与题意不符，舍去.
②若 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则当 时， 取得极小值，也是最小值，
∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围是 .
17. 如图所示，正三角形 的边长为 2， ， ， 分别是各边的中点，现将 ， ，
分别沿 ， ， 折起，使得 ， ， 所在平面均与底面 垂直.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直 性质定理和面面平行的判定定理证明即可；
（2）以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求
出平面 和平面 的法向量，利用空间向量法求解即可.
【小问 1 详解】
因为 为正三角形，且 ， ， 分别是各边的中点，
所以 ， ， 均为正三角形.
分别取 ， ， 的中点 ， ， ，
则 ， ， ， ，
又因为平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可得 平面 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ， ，所以 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
18. 如果随机变量 全部可能取到的值是有限的或者可列无限多对的，那么我们就称 是二维离
散型的随机变量.甲、乙两人参加一次知识竞赛，竞赛过程有一轮抢答环节，共有三题供甲、乙二人抢答.已
知甲、乙抢到每题的概率相等，且抢到每题与否相互独立.在抢到任意一题后，甲、乙答对的概率分别为 和
.对于每一个题，抢到题并回答正确的得 1 分，没抢到题的得 0 分，抢到题但回答错误的扣 1 分（即得
分），三题抢答结束后，得分高者获胜（每题都有人抢答）.记这次比赛中，甲、乙得分数分别为 ， ，
是二维离散型随机变量.把 所有可能的取值，和取这些值的概率画在一张表中，这张表为二
维离散型随机变量 的分布列.
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0 1 2 3
0
1
2
3
其中
（1）求 ， ；
（2）求 ；
（3）已知随机事件 发生了，求随机变量 的分布列.
【答案】（1） ，
（2）
（3）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知分布列表格计算结合独立事件概率公式计算求解；
（2）应用条件概率计算求解即可；
（3）先应用条件概率分别计算概率，再写出随机变量的分布列.
【小问 1 详解】
， 情况有，甲抢到 2 题并答对 2 题，乙未抢到题，不符合题意；
甲抢到 2 题并答对 2 题，乙抢到 2 题并答对 1 题答错 1 题，不符合题意，所以 ，
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， 的情况有，甲抢到 2 题并答对 2 题，乙抢到 1 题并答错 1 题，
所以 .
【小问 2 详解】
，故 .
【小问 3 详解】
表示：甲抢到 2 题并答对 1 题答错 1 题，或甲抢到 0 题，
故 ，
已知 ，则 的可能取值有 ， ，1，3，
，
，
，
，
因此，随机事件 发生了，随机变量 的分布列如下：
1 3
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19. 在平面直角坐标系 中，若圆 与抛物线 有公共点
，且圆 与抛物线 在点 处有相同的切线，则称 为抛物线 的和谐数，圆 为 的和
谐圆.
（1）试判断 3 是否为抛物线 的和谐数.若是，求出 3 的和谐圆；否则，请说明理由.
（2）设 ， ，…， 均为抛物线 的和谐数，且 ，记 ， ，…， 的和谐
圆分别为圆 ， ，…， ，设圆 ， ，…， 与抛物线 的公共点分别为 ， ，…， ，已知
，且 ，圆 与 外切.
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）设点 ，记 的面积为 ，证明： .
【答案】（1）是，
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先假设 3 是抛物线 的和谐数，进而结合题意求解即可；
（2）（ⅰ）不妨设 ，由 为抛物线 的和谐数，可得 的和谐圆为 ，
进而结合（1）得到 ， ，进而结合题意可得 ，进而
得到数列 是等差数列，进而求解；
（ⅱ）由题意可得 ， ， ，可得 为等腰三角形，可得
的面积 ，进而放缩得到当 时， ，结合裂
项相消法求证即可.
【小问 1 详解】
假设 3 是抛物线 的和谐数，则 3 的和谐圆为 ，
由对称性，不妨设圆 与抛物线 有公共点 ，
显然抛物线 在点 处的切线，即曲线 在点 处的切线，
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易知该切线的斜率为 ，
∵圆 与抛物线 在点 处有相同的切线，
∴ ，解得 ，
∴圆 与抛物线 有公共点 ，
∴和谐圆的半径为
∴3 是抛物线 的和谐数，且 3 的和谐圆为 .
【小问 2 详解】
由对称性，只需考虑 ， ，…， 均在 轴上方的情形，不妨设 ，
（ⅰ）∵ 为抛物线 的和谐数，
∴ 的和谐圆为 ，
∴由（1）可知， ，解得 ，
∴ ，
∵ 在圆 上，∴ ，
∵ ，圆 与 外切，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴数列 是等差数列，其公差为 2，首项为 ，
∴ ，即 ，
∴数列 的通项公式为 .
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（ⅱ）证明：显然点 为抛物线 的焦点，∴ ，
易知 ，且 ，∴ 为等腰三角形，
易知 的面积 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴不等式 得证.
【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解
的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
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