江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2025届高三下学期一模适应性练习数学试卷（含答案）

这是一份江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2025届高三下学期一模适应性练习数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x∈Z|x2−5x−60,P(A∪B)=P(A)+P(B)是事件A与事件B互斥的充要条件
D. 已知P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)
10.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量X∼B9,23，则D(3X+1)=18
B. 经验回归方程y=3x+1相对于样本点(2,6.5)的残差为0.5
C. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为x1，x2和s12，s22，若x1=x2，则总体方差s2=12s12+s22
D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4
11.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60 ∘,AB=AA1=2，P为CC1的中点，点Q满足DQ=λDC+μDD1λ∈0,1,μ∈0,1，则下列结论正确的是( )
A. 若λ+μ=13，则四面体A1BPQ的体积为定值
B. 若A1Q= 5，则点Q的轨迹为一段圆弧
C. 若▵A1BQ的外心为O，则A1B⋅A1O为定值2
D. 若λ=1且μ=12，则存在点E在线段A1B上，使得AE+EQ的最小值为 9+2 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角α= ．
13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象，如图所示，其中A>0,ω>0,−π20)的左、右焦点分别为F1和F2，以Γ的实轴为直径的圆记为C，过点F1作C的切线l，l与Γ的两支分别交于A，B两点，且cs∠F1BF2=35，则Γ的离心率的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=alnx−x−1，a∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)n为正整数，当a=1时，曲线y=fx在点n,fn处的切线记为Ln，直线Ln与y轴交点的纵坐标记为yn，证明：y1+y2+y3+⋅⋅⋅+yn≤n2−5n2．
16.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中a=1，csA=2c−12b．
(1)求角B的大小；
(2)如图，D为▵ABC外一点，AB=BD，∠ABC=∠ABD，求sin∠CABsin∠CDB的最大值．
17.(本小题12分)
如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A1B1，AB//CD，AD⊥AB，AB=6，CD=9，AD=6，且AA1=BB1=4，Q为线段CC1中点，
(1)求证：BQ//平面ADD1A1；
(2)若四棱锥Q−ABB1A1的体积为32 33，求平面ABB1A1与平面CDD1C1夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为12；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为34和14.已知居民第一天选择路线A的概率为13，选择路线B的概率为23．
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为Pn．
(i)请写出Pn+1与Pn(n∈N∗)的递推关系；
(ii)设Mn=1615Pn−9−4，求证：n4−10时x0时，fx在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减；
(2)由题设fx=lnx−x−1，则f′x=1−xx，
则fn=lnn−n−1，f′n=1n−1，
此时在(n,lnn−n−1)处的切线方程为y−(lnn−n−1)=(1n−1)(x−n)，
与y轴交点纵坐标为lnn−2；
所以y1+y2+y3+⋅⋅⋅+yn=ln1+ln2+⋯+lnn−2n，
对于y=x−lnx且x≥1，则y′=1−1x≥0，即y=x−lnx在[1,+∞)上单调递增，
所以y=x−lnx≥1−ln1=1，即x−1≥lnx，
所以y1+y2+y3+⋅⋅⋅+yn≤0+1+⋯+(n−1)−2n=n(n−1)2−2n=n2−5n2，得证．
16.解：(1)因为a=1，所以csA=2c−a2b，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC，可得csA=2sinC−sinA2sinB，
整理可得2sinBcsA=2sinC−sinA，
又因为sinC=sinA+B=sinAcsB+sinBcsA，
化简可得sinA=2sinAcsB，
而sinA≠0，则csB=12，又B∈0,π，则B=π3
(2)在▵BCD中，由BCsin∠CDB=CDsin∠CBD可得sin∠CDB=sin23πCD，
在▵ABC中，由BCsin∠CAB=ACsin∠ABC可得sin∠CAB=sinπ3AC，
所以sin∠CABsin∠CDB=CDAC，
设AB=BD=tt>0，
由余弦定理CD2=BA2+BC2−2BA⋅BC⋅cs∠CBD，
AC2=BA2+BC2−2BA⋅BC⋅cs∠CBA，
可得CD2=t2+1+t，AC2=t2+1−t，
因此CD2AC2=t2+1+tt2+1−t=1+2tt2+1−t≤1+22 t⋅1t−1=3，
当且仅当t=1t时，即t=1等号成立，
所以sin∠CABsin∠CDB的最大值为 3，此时AB=BD=1．
17.解：(1)证明：如图所示：
分别延长线段AA1，BB1，CC1，DD1交于点P，将四棱台补成四棱锥P−ABCD．
∵A1B1=13AB，∴PC1=13PC，∴CQ=QC1=C1P，
取DD1的中点E，连接QE，AE，
∵QE//CD//AB，且QE=123+9=6=AB，∴四边形ABQE为平行四边形．
∴BQ//AE，又AE⊂平面ADD1A1，BQ⊄平面ADD1A1，
∴BQ//平面ADD1A1；
(2)由于VQ−ABB1A1=23VC−ABB1A1，所以VC−ABB1A1=16 3，
又梯形ABB1A1面积为8 3，
设C到平面ABB1A1距离为ℎ，则VC−ABB1A1=13S梯形ABB1A1⋅ℎ=16 3，得ℎ=6．
而CD//AB，AB⊂平面ABB1A1，CD⊄平面ABB1A1，
所以CD//平面ABB1A1，
所以点C到平面ABB1A1的距离与点D到平面ABB1A1的距离相等，
而ℎ=6=AD，所以AD⊥平面ABB1A1．
以A为坐标原点，以直线AB为x轴，以直线AD为y轴，建立空间直角坐标系，
易得▵PAB为等边三角形，所以A0,0,0，B6,0,0，C9,6,0，D0,6,0，P3,0,3 3
设平面CDD1C1的法向量为m=x,y,z，
则m⋅DP=x,y,z⋅3,−6,3 3=3x−6y+3 3z=0m⋅DC=x,y,z⋅9,0,0=9x=0,
得x=0，y= 32z，不妨取m=0, 3,2，
又平面ABB1A1的一个法向量为n=0,1,0．
则csm,n=m⋅nmn= 3 7⋅1= 217，
平面ABB1A1与平面CDD1C1夹角的余弦值为 217．
18.解：(1)记附近居民第ii=1,2天选择路线A,B分别为事件Ai,Bi，
依题意，P(A1)=13,P(B1)=23，P(A2A1)=P(B2A1)=12，P(A2B1)=34,P(B2B1)=14，
则由全概率公式，得居民第二天选择路线A散步的概率P(A2)=P(A1)P(A2A1)+P(B1)P(A2B1)=13×12+23×34=23；
记第二天选择路线A散步的人数为Y，则Y～B(4,23)，
则P(Y=0)=(13)4=181，P(Y=1)=C41⋅23⋅(13)3=881，
P(Y=2)=C42⋅(23)2⋅(13)2=2481=827，P(Y=3)=C43⋅(23)3⋅13=3281，
P(Y=4)=(23)4=1681，
则Y的分布列为：
故Y的数学期望E(Y)=4×23=83．
(2)(i)当第n天选择路线A时，第n+1天选择路线A的概率Pn+1=12Pn；
当第n天选择路线B时，第n+1天选择路线A的概率Pn+1=34(1−Pn)，
所以Pn+1=12Pn+34(1−Pn)=−14Pn+34(n∈N∗)．
(ii)由(i)知Pn+1=−14Pn+34(n∈N∗)，则Pn+1−35=−14(Pn−35)，而P1=13，
于是数列{Pn−35}是首项为P1−35=13−35=−415，公比为−14的等比数列，
因此Pn−35=−415⋅(−14)n−1，即Pn=35−415⋅(−14)n−1，Mn=1615Pn−9−4=4n−4，
当n≥2时，MnMn+1=4n−44n+1−4=4n−44(4n−1)n4−3(141+142+143+⋯+14n)=n4−(1−14n)>n4−1，
所以n4−1