2024-2025学年上海市浦东新区建平中学西校九年级（下）第一次月考数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区建平中学西校九年级（下）第一次月考数学试卷 （含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列语句中正确的是
A．直径是经过圆心的直线B．经过圆心的线段是半径
C．半圆是弧D．以直径为弦的弓形是半圆
2．（3分）下列命题中正确的是
A．垂直于弦的直线平分这条弦
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦
D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦
3．（3分）下列命题中正确的是
A．相等的圆心角所对的弦相等
B．相等弦所对的圆心角相等
C．同圆中，相等弦所对的弧相等
D．等弧所对的弦相等
4．（3分）下列说法中正确的是
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
5．（3分）的半径为，直线与有公共点，如果圆心到直线的距离为，那么与的大小关系是
A．B．C．D．
6．（3分）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是
A．内含B．内切C．外离D．相交
二、填空题（24分）
7．（2分）在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为 ．
8．（2分）中，点在直径上，，过点作弦，那么 度．
9．（2分）在△中，，截△三边所得的线段相等，那么的度数是 ．
10．（2分）在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，如果大圆的弦长为，那么这两个圆所形成的圆环面积为 ．
11．（2分）在中，直径的长为12厘米，是弦的弦心距，与相交于，那么的长为 厘米．
12．（2分）已知弓形的弦长为30，半径为17，那么弓形的高为 ．
13．（2分）点、、在上，是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ．
14．（2分）如果与内切，的半径是、，那么的半径为 ．
15．（2分）已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是 ．
16．（2分）已知与相交于点、，，，的半径为5，那么的半径为 ．
17．（2分）如果与内含，，的半径是3，那么的半径的取值范围是 ．
18．（2分）如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为 ．
三、解答题（58分）
19．（4分）如图，在△中，，是高，，的正切值为2．点在以为圆心为半径的弧上，，求的值．
20．（4分）已知：如图，在中，弦，、分别是、的中点．求证：．
21．（7分）已知：如图，与相切于点，如果过点的直线交于点，交于点，于点，于点．
求：（1）求的值；
（2）如果和的半径比为，求的值．
22．（7分）如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度（弧所对的弦的长）为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，且，求水面上升的高度．
23．（9分）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点，抛物线的对称轴为直线．
（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点的坐标；
（2）如果直线经过、两点，且与轴交于点，点关于直线的对称点为，试证明四边形是平行四边形；
（3）点在直线上，且以点为圆心的圆经过、两点，并且与直线相切，求点的坐标．
25．（15分）在半径为4的中，点是以为直径的半圆的中点，，垂足为，点是射线上的任意一点，，与相交于点，设，．
（1）如图1，当点在射线上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）如图2，当点在上时，求线段的长；
（3）如果以点为圆心、为半径的圆与相切，求线段的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（18分）
1．（3分）下列语句中正确的是
A．直径是经过圆心的直线B．经过圆心的线段是半径
C．半圆是弧D．以直径为弦的弓形是半圆
解：、直径是经过圆心的弦，原说法错误，不符合题意；
、经过圆心的线段不一定是半径，原说法错误，不符合题意；
、半圆是弧，原说法错误，不符合题意；
、以直径为弦的弓形是半圆，正确，符合题意，
故选：．
2．（3分）下列命题中正确的是
A．垂直于弦的直线平分这条弦
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦
D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦
解：根据直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，逐项分析如下：
、垂直于弦的直线不一定平分这条弦，原命题是假命题，不符合题意；
、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意；
、平分弧的直线不一定垂直于弧所对的弦，原命题是假命题，不符合题意；
、原命题是真命题，符合题意．
故选：．
3．（3分）下列命题中正确的是
A．相等的圆心角所对的弦相等
B．相等弦所对的圆心角相等
C．同圆中，相等弦所对的弧相等
D．等弧所对的弦相等
解：根据相关的概念和性质进行分析命题中正确与否如下：
、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原命题是假命题，不符合题意；
、在同圆或等圆中，相等弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意；
、同圆中，相等弦所对的优弧和劣弧分别相等，原命题是假命题，不符合题意；
、原命题是真命题，符合题意；
故选：．
4．（3分）下列说法中正确的是
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
解：根据定点和定长与圆的关系，逐项分析如下：
、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意；
、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意；
、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意；
、原说法正确，符合题意．
故选：．
5．（3分）的半径为，直线与有公共点，如果圆心到直线的距离为，那么与的大小关系是
A．B．C．D．
解：直线与有公共点，
直线与圆相切或相交，即．
故选：．
6．（3分）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是
A．内含B．内切C．外离D．相交
解：，
，
这两个圆的位置关系不可能外离．
故选：．
二、填空题（24分）
7．（2分）在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为 ．
解：如图，中，，
过作于，
，
，，
，
，
，
，
的圆心角所对的弦长为．
故答案为：．
8．（2分）中，点在直径上，，过点作弦，那么 120 度．
解：连接，
，，
，
，
．
故答案为：120．
9．（2分）在△中，，截△三边所得的线段相等，那么的度数是 ．
解：如图，，过点作与，于，于，
截△三边所得的线段相等，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
10．（2分）在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，如果大圆的弦长为，那么这两个圆所形成的圆环面积为 ．
解：如图，令大圆的弦与小圆相切于点，连接并延长交大圆于点，连接，设大圆的半径为 ，小圆的半径为 ，
与小圆相切于点，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
圆环面积为 ，
故答案为：．
11．（2分）在中，直径的长为12厘米，是弦的弦心距，与相交于，那么的长为 4 厘米．
解：如图，连接，
是弦的弦心距，
，
，
，
是△的中位线，
，，
△△，
，
，
直径的长为12厘米，
厘米，
厘米，
故答案为：4．
12．（2分）已知弓形的弦长为30，半径为17，那么弓形的高为 9或25 ．
解：过作直径于，连接，则是弓形的高或是弓形的高，
，为直径，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
（负值已舍），
，．
故答案为：9或25．
13．（2分）点、、在上，是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 6或30 ．
解：如图，
是的内接正十边形的一边，
是的内接正十五边形的一边，
，，
当点在外时，；
当点在上时，；
即以为边的内接正多边形的中心角的度数为或．
多边形的边数为6或30．
故答案为：6或30．
14．（2分）如果与内切，的半径是、，那么的半径为 1或 ．
解：设的半径为，
根据与的位置关系分两种情况讨论：当在内部时；当在内部时，
当在内部时，，解得：；
当在内部时，，解得：；
综上可知，的半径为1或，
故答案为：1或．
15．（2分）已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是 或 ．
解：分别作，，垂足分别是、．
，，根据垂径定理得，，
，，
根据特殊角的三角函数值可得，，
，，
，
或．
故答案为：或．
16．（2分）已知与相交于点、，，，的半径为5，那么的半径为 或 ．
解：分三种情况考虑：
①当两圆心与位于公共弦两侧时，如图所示：
为与的公共弦，
，且为的中点，
，，
在△中，，，
根据勾股定理得：，
又，矛盾；
②当两圆心与位于公共弦一侧时，如图所示：
为与的公共弦，
，且为的中点，
，，
在△中，，，
根据勾股定理得：，
又，，
在△中，，，
根据勾股定理得：，
③在左侧2个单位时，，
综上，的半径为或，
故答案为：或．
17．（2分）如果与内含，，的半径是3，那么的半径的取值范围是 ．
解：根据题意两圆内含，
故知，
解得．
故答案为：．
18．（2分）如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为 ．
解：如图所示，连接三个圆的圆心，则．
．
．
阴影部分的周长为．
三、解答题（58分）
19．（4分）如图，在△中，，是高，，的正切值为2．点在以为圆心为半径的弧上，，求的值．
解：，是高，
，
，
在△中，的正切值为2，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心为半径的弧上，
，
过作交延长线于点，
，
，，
四边形是矩形，
，
在△中，，
．
20．（4分）已知：如图，在中，弦，、分别是、的中点．求证：．
【解答】证明：连接，，，，
点、分别是、的中点，
，，，
，
，
，
又，
△△，
，
，
，
即．
21．（7分）已知：如图，与相切于点，如果过点的直线交于点，交于点，于点，于点．
求：（1）求的值；
（2）如果和的半径比为，求的值．
解：（1），，过，过，
，，
；
（2）连接，必过切点，连接、，
，，
，
即，，
，
，
和的半径比为，即，
．
22．（7分）如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度（弧所对的弦的长）为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，且，求水面上升的高度．
解：（1），，
，经过圆心，
设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，
，
，
联结，设半径，，
，
，
在中，，
，
解之得．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设与相交于点，联结，
，，
，
，
在中，，
，
设水面上升的高度为米，即，则，
，
在中，，
，
化简得，解得 （舍去），，
答：水面上升的高度为1米．
23．（9分）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）如图1，连接，，，
、是的两条弦，且，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
；
（2）如图2，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点，抛物线的对称轴为直线．
（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点的坐标；
（2）如果直线经过、两点，且与轴交于点，点关于直线的对称点为，试证明四边形是平行四边形；
（3）点在直线上，且以点为圆心的圆经过、两点，并且与直线相切，求点的坐标．
解：（1）抛物线经过点和点，
，
，
，
对称轴为直线，顶点；
（2）如图1，
点关于直线的对称点为，
，
直线经过、两点，
，
，
，
与轴交于点，
，
又，
是平行四边形；
（3）设，过点作于，连接、，如图2，
则，
又，
，
△中，，
即：，解得：，
，．
25．（15分）在半径为4的中，点是以为直径的半圆的中点，，垂足为，点是射线上的任意一点，，与相交于点，设，．
（1）如图1，当点在射线上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）如图2，当点在上时，求线段的长；
（3）如果以点为圆心、为半径的圆与相切，求线段的长．
解：（1）连接．
在中，是的弦，，
．
，
．
．
点是以为直径的半圆的中点，
．
，，
，．
．定义域为；
（2）当点在上时，连接、．
，
．
．
（3）当与外切于点时，．
，
，，
，（舍去）．
．
当与内切于点时，．
，
，．
，（舍去）．
．
当与内切于点时，．
，
，．
，（舍去）．
．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
D
D
D
B
C