2024-2025学年上海市民办闵行区上宝中学九年级（下）第一次月考数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市民办闵行区上宝中学九年级（下）第一次月考数学试卷 （含解析），共25页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列根式中，的同类二次根式是
A．B．C．D．
2．（4分）已知，下列不等式成立的是
A．B．C．D．
3．（4分）如果，，那么一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（4分）已知一组数据，2，4，1，6的中位数是4，那么可以是
A．0B．2C．3D．5
5．（4分）下列命题中，真命题的是
A．四条边相等的四边形是正方形
B．四个内角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6．（4分）如图，半径为1的圆与半径为3的圆相内切，如果半径为2的圆与圆和圆都相切，那么这样的圆的个数是
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．（4分）计算： ．
8．（4分）在实数范围内因式分解： ．
9．（4分）函数的定义域是 ．
10．（4分）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
11．（4分）布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是 ．
12．（4分）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为，根据题意可列方程 ．
13．（4分）近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是 元．
14．（4分）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，如果，那么 ．
15．（4分）如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是 厘米．
16．（4分）如图，在中，、上的中线、相交于点，如果，那么的值为 ．
17．（4分）在中，，，，为边上一动点，将绕点旋转，使点落在边上的点处，过点作交边于点，联结，当是等腰三角形时，线段的长为 ．
18．（4分）已知矩形中，，以为半径的圆和以为半径的圆相交于点、，如果点到直线的距离不超过3，设的长度为，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7题，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，已知是的直径，弦与相交于点，，，．
（1）求的值；
（2）求点到弦的距离．
22．（12分）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的处，花洒的长度为20厘米．
（1）已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点与墙面的距离．（结果保留根号）
（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？
23．（12分）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，联结、．
（1）求证：；
（2）设点为的中点，联结、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与轴的负半轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）设点在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接．
①如果与线段交于点，且，求的正切值；
②如果与轴交于点，以为半径的，与以为半径的外切，求点的坐标．
25．（12分）如图，在梯形中，，，，，点为边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交射线于点．
（1）当圆过点时，求圆的半径；
（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；
（3）当劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列根式中，的同类二次根式是
A．B．C．D．
解：与不是同类二次根式，则不符合题意；
与不是同类二次根式，则不符合题意；
，它与不是同类二次根式，则符合题意；
，它与不是同类二次根式，则不符合题意；
故选：．
2．（4分）已知，下列不等式成立的是
A．B．C．D．
解：已知，
两边同乘得，则不符合题意；
两边同乘，再同时加2得，则符合题意；
两边同乘2得，则不符合题意；
两边同时减得，则不符合题意；
故选：．
3．（4分）如果，，那么一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：当一次函数，，经过第二三四象限，不经过第一象限，
故选：．
4．（4分）已知一组数据，2，4，1，6的中位数是4，那么可以是
A．0B．2C．3D．5
解：根据题意，得
，2，4，1，6的中位数是4，所以前3个数是1，2，4，那么剩下的两个就是，6，
所以可以是大于或大于4的任意一个数．
故选：．
5．（4分）下列命题中，真命题的是
A．四条边相等的四边形是正方形
B．四个内角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
解：、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；
、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项命题错误，不符合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意；
故选：．
6．（4分）如图，半径为1的圆与半径为3的圆相内切，如果半径为2的圆与圆和圆都相切，那么这样的圆的个数是
A．1B．2C．3D．4
解：观察图象可知，满足条件的圆有三个，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ．
解：．
故答案为：．
8．（4分）在实数范围内因式分解 ．
解：．
故答案为：．
9．（4分）函数的定义域是 ．
解：根据题意得到：，
解得．
故答案为：．
10．（4分）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
解：关于的方程有两个实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
11．（4分）布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是 ．
解：布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，其中4是合数，
从布袋中随机抽一个小球，这个小球上的数字是合数的概率是，
故答案为：．
12．（4分）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为，根据题意可列方程 ．
解：根据题意得，，
故答案为：．
13．（4分）近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是 17.5 元．
解：其中18元的占总份数的，
其中20元的占总份数的，
（元，
即食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是17.5元．
故答案为：17.5．
14．（4分）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，如果，那么 ．
解：连接，
，
设，则，，
的垂直平分线交边于点，
，
，
，
故答案为：．
15．（4分）如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是 厘米．
解：如图，设厘米，则厘米，
由勾股定理得，
，
即，
解得，或（舍去），
即正八边形的边长为厘米，
故答案为：．
16．（4分）如图，在中，、上的中线、相交于点，如果，那么的值为 ．
解：连接，
、上的中线、相交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的值为，
故答案为：．
17．（4分）在中，，，，为边上一动点，将绕点旋转，使点落在边上的点处，过点作交边于点，联结，当是等腰三角形时，线段的长为 ．
解：分别过点和点作边的垂线，垂足分别为和，
，，，
，，
．
在和中，
，
，
，．
在中，
，
设，，
则．
．
在中，
，
又，
，
．
，，
．
又，
．
在中，
．
在中，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解．
．
故答案为：．
18．（4分）已知矩形中，，以为半径的圆和以为半径的圆相交于点、，如果点到直线的距离不超过3，设的长度为，则的取值范围是 ．
解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，
已知矩形，，，
四边形为矩形，，，
，，
，
，为圆心，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
在△中，，
解得：，
如图，当在的右侧时，连接，，，过作于，交于，
已知矩形，，，
，，四边形为矩形，
，
同理可得：
，，
，
，
，
在△中，，
，
综上所述：点到直线的距离不超过3，则；
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）解方程组：．
解：，
由②，得，
．
当，时，
，；
当，时，
，．
原方程组的解为或．
21．（10分）如图，已知是的直径，弦与相交于点，，，．
（1）求的值；
（2）求点到弦的距离．
解：（1）如图，过点作直径，连接，
是直径，
，
在中，，，
，
是直径，，
，
，
又，
，
，
即，
解得，，
；
（2）过点作于点，
在中，，
由于，
即，
，
即点到弦的距离是6．
22．（12分）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的处，花洒的长度为20厘米．
（1）已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点与墙面的距离．（结果保留根号）
（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？
解：（1）如图，过点作，作，，垂足分别为，，
，
，
，
厘米，
厘米，厘米，
厘米，
，
，
，
厘米，
（厘米），
答：水流喷射到地面的位置点与墙面的距离为厘米；
（2）设每个花洒的原价是元，则现在的价格是元，
根据题意得：，
解得或（舍去），
经检验：是原方程的解，
答：这个此款花洒的原价是120元．
23．（12分）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，联结、．
（1）求证：；
（2）设点为的中点，联结、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1），
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）连接，如图，
点为的中点，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与轴的负半轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）设点在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接．
①如果与线段交于点，且，求的正切值；
②如果与轴交于点，以为半径的，与以为半径的外切，求点的坐标．
解：（1）把、代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为，
在中，令得：，
解得：或，
点的坐标是；
（2）①过作于，如图：
、，
直线解析式为，，
，
，
，
，
，
在中，令得，
，
，
，，
，
的正切值是；
②过作轴于，如图：
设，则，
，
直线解析式为，
令得，
，
以为半径的与以为半径的外切，
，
，
，
轴，
，
，
，
解得：（舍去）或，
，．
25．（12分）如图，在梯形中，，，，，点为边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交射线于点．
（1）当圆过点时，求圆的半径；
（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；
（3）当劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值．
解：（1）作于点，连接，
梯形中，，且、、，
、，
，
，
设，则、，
，
，
，
，
，
解得：或，
当时，，舍去；
，
则圆的半径为3．
（2）如图2，
由（1）知，、、，
，
，
四边形是梯形，且，
，
，
，，
，
，
又，即，
解得：舍去），
则，即圆的半径为，
圆与圆相交，且，
；
（3）在圆上取点关于的对称点，连接，作于，于，
则、、、，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知、、，
、，
、，
，
，，
，
故线段和的比值为定值．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
D
D
C