2025-2026学年上海市浦东新区建平中学西校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区建平中学西校九年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组.每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4.沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是( )
A. B.
C. D.
3.如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b=c：x，那么下列作图正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列说法不正确的是( )
A. 设e为单位向量，那么|e|=1
B. 已知a、b、c都是非零向量，如果a=2c，b=−4c，那么a//b
C. 四边形ABCD中，如果满足AB//CD，|AD|=|BC|，那么这个四边形一定是平行四边形
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
5.如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，已知∠ACB=90∘，BC=1.下列线段中，其长为sinA的是( )
A. BD
B. AC
C. BC
D. AD
6.如图，在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=6，GC=8，则BG的长为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.已知：ba+b=37，那么ab= .
8.计算：(a−12b)−12(2a+b)= .
9.已知线段a是线段b、c的比例中项，b=2cm，c=8cm，那么a= cm.
10.上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约______厘米．
11.如图，已知点C、D都是线段AB的黄金分割点，若AB=8+4 5，则CD的长是 .
12.如图，AB//CD//EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC=6，CE=9，AF=10，那么DF的长为______.
13.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么sin∠BAC的值为 .
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，cs∠A=45，则BD的长度为______.
15.如图，小明在距离地面27米的P处测得A处的俯角为15∘，B处的俯角为60∘.若斜面坡度为1： 3，则斜坡AB的长是 米.
16.如图，∠CDE=∠B，四边形ABED与△EDC的面积之比是16：9，那么点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是 .
17.新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数( 5−12)，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，△ABC是“精准三角形”，AB=AC=2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为 .
18.折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60∘，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC时，AP的长为______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：sin30∘−ct60∘+813−12− 3.
20.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，CE与对角线BD交于点F，设AE=a，AD=b.
(1)用向量a、b表示向量FB；
(2)在图中求作向量DF分别在a、b方向上的分向量.(不写作法)
21.(本小题8分)
中国空间站核心舱上的机械臂，是我国目前智能程度最高，难度最大，系统最复杂的制造系统，大臂“天和机械臂”有两段长的臂杆和7个活动关节，本身自重约0.74吨，最大承载力25吨，相当于普通人的一只胳膊能抬起100公斤重的东西，是当之无愧的“大力士”，如图是处于工作状态的“天和机械臂”示意图，已知AB⊥l，垂足为A，DE⊥l，垂足为点E，DE=0.6米，AB=0.91米，∠ABD=72∘，∠CBA=126∘，BC=CD，求机械臂BC的长.(参考数据sin72∘≈0.95，cs72∘≈0.31，sin54∘≈0.81，cs54∘≈0.60)
22.(本小题8分)
已知图1、图2、图3都是12×9的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点.
(1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，联结BA、DC并延长交于点O，那么OC的长为______；
(2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺.我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来联结格点作线段.
以下两题请你只能使用无刻度的直尺和铅笔作图(保留作图痕迹)：
①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出△ABC的重心G；
②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边AB上作出点M，使得△ACM与△MBD相似.
23.(本小题8分)
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE⋅GD.
(1)求证：∠ACF=∠ABD；
(2)连接EF，求证：EF⋅CG=EG⋅CB.
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”.平面直角坐标系xOy中有一点A(−2,6)，把线段OA绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B，若“旋似角”为90∘：
(1)当“旋似比”为32时，直接写出点B的坐标；
(2)过点B作BD⊥x轴，点D为垂足，连接AB，若△ABO与△BOD相似，求此时点B的坐标；
(3)当“旋似比”为12时，设线段AB与y轴交于点E，点F是y轴上一点，且满足∠BFO+∠BOE=135∘，直接写出点F的坐标.
25.(本小题8分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，cs∠BAC=35.点M是射线AC上一点，过点A作AD⊥BM，分别交射线BM、BC于点D、F.
(1)当点M在AC上(点M与点C不重合)时，
①如图，如果CF=32，求AM的长；
②设CF=x，△ABM的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)过点A作AE//BC，交直线BD于点E，当△ABE为等腰三角形时，求CF的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以两个正方形相似；
而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形
故选：D.
根据相似多边形的性质逐一进行判断后即可确定正确的选项．
本题考查考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】
解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4.
A、∵4BC=48=12，对应边ABBC=68=34，12≠34，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、∵2AC=12，对应边ACBC=12，即：2AC=ACBC，∠C=∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C、∵3AC=34，对应边ACAB=46=23，34≠23，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、∵36=3AB=12，
ABBC=34，12≠34，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误.
故选：B.
3.【答案】B
【解析】解：A、a：b=x：c与已知a：b=c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b=c：x与已知a：b=c：x符合，故选项B正确；
C、a：c=x：b与已知a：b=c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：x=b：c与已知a：b=c：x不符合，故选项D不正确；
故选：B.
利用比例式a：b=c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．
本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示形式．
根据单位向量的定义，向量平行的定义以及平行四边形的判定进行判断．
【解答】
解：A、设e为单位向量，那么|e|=1，故本选项说法正确．
B、已知a、b、c都是非零向量，如果a=2c，b=−4c，那么a、b方向相反，则a//b，故本选项说法正确．
C、四边形ABCD中，如果满足AB//CD，|AD|=|BC|即AD=BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误．
D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确．
5.【答案】A
【解析】解：∵CD是边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90∘.
又∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCD=90∘，
∴∠A=∠BCD.
在Rt△BCD中，
sin∠BCD=BDBC.
∵BC=1，
∴sin∠BCD=BD，
即sinA=BD.
故选：A.
根据“同角的余角相等”得出∠BCD=∠A，再根据正弦的定义即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义及“同角的余角相等”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，延长BG交AC于点H；
∵点G是△ABC的重心，
∴AH=CH；
∵AG⊥GC，
∴AC=2GH，
∴BG=AC.
由勾股定理得：
AC2=AG2+GC2，而AG=6，GC=8，
∴AC=10，
∴BG=10.
故选：C.
延长BG交AC于点H，证明BG=2GH；证明BG=AC，求出AC，即可解决问题．
本题考查了三角形重心的性质及其应用问题，解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
7.【答案】43
【解析】解：∵ba+b=37，
∴3a+3b=7b，
∴3a=4b，
∴ab=43.
故答案为：43.
根据题意可求出3a=4b，从而即得出ab=43.
本题考查线段的比，交叉相乘求出a和b的关系是解题关键．
8.【答案】−b
【解析】解：(a−12b)−12(2a+b)
=a−12b−12×2a−12b
=a−a−(12+12)b
=−b.
故答案为：−b.
根据向量的运算法则计算即可．
本题考查平面向量，关键是掌握向量的运算法则．
9.【答案】4
【解析】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，b=2cm，c=8cm，
∴a2=bc=2×8=16，
∴a=4(负值舍去)，
∴a=4cm.
故答案为：4.
根据题意可得a2=bc，代入数值，解答出即可，注意线段为正值．
本题主要考查了比例线段，注意理解比例中项的定义．
10.【答案】7
【解析】解：设图上距离为x厘米，则
1：5000000=x：35000000，
所以x=7.
即上海与南京的图上距离约7厘米．
故答案为：7.
根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的图上距离．
本题主要考查了比例尺的应用，注意单位的统一，1千米=1000米=100000厘米．
11.【答案】4
【解析】解：由题知，
因为点C、D都是线段AB的黄金分割点，
所以ADAB=BCAB= 5−12.
因为AB=8+4 5，
所以AD=BC= 5−12×(8+4 5)=6+2 5，
所以CD=AD+BC−AB=6+2 5+6+2 5−(8+4 5)=4.
故答案为：4.
根据黄金分割的定义进行计算即可．
本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出DF是解决问题的关键，属于基础题．
根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可．
【解答】
解：∵AB//CD//EF，
∴BECE=AFDF，
∴6+99=10DF，
∴DF=6，
故答案为6.
13.【答案】 22
【解析】解：连接BC，
由勾股定理可得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠BAC=BCAC= 5 10= 22，
故答案为： 22.
根据网格求出三角形△ABC的三边，得到△ABC是直角三角形，再进行求解．
此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用．
14.【答案】154
【解析】解：∵∠C=90∘，AC=4，cs∠A=ACAB=45，
∴AB=5，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
∵∠DBC=∠A.
∴cs∠DBC=cs∠A=BCBD=45，
∴BD=154，
故答案为：154.
在Rt△ABC中，由锐角三角函数的定义求出AB的长，再由勾股定理求出BC的长，最后在Rt△BCD中由锐角三角函数余弦的定义，结合条件∠DBC=∠A，即可求出BD的长．
本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数余弦的定义是解题关键．
15.【答案】18 3
【解析】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，过点P作PH⊥BC交CB的延长线于点H，
∵斜面坡度为1： 3，
∴tan∠ABF=AFBF=1 3= 33，
∴∠ABF=30∘，
∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15∘，山脚B处的俯角为60∘，
∴∠HPB=30∘，∠APB=45∘，
∴∠HBP=60∘，
∴∠PBA=90∘，
∴∠BAP=45∘，
∴∠BAP=∠APB，
∴PB=AB，
∵PH=27m，
∴sin60∘=PHPB=27PB= 32，
解得：PB=18 3(m)，
故AB=18 3m，
故答案为：18 3.
如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，过点P作PH⊥BC交CB的延长线于点H，根据三角函数的定义得到∠ABF=30∘，根据已知条件得到∠HPB=30∘，∠APB=45∘，求得∠HBP=60∘，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB=AB是解题关键．
16.【答案】53
【解析】解：作AF⊥BC于点F，EH⊥DC于点H，设S△EDC=9m，
∵四边形ABED与△EDC的面积之比是16：9，
∴S四边形ABED=169S△EDC=16m，
∴S△ABC=S△EDC+S四边形ABED=9m+16m=25m，
∴S△ABCS△EDC=25m9m=259，
∵∠B=∠CDE，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴S△ABCS△EDC=(ABED)2，AFEH=ABED，
∴(ABED)2=259，
∴ABED=53或ABED=−53(不符合题意，舍去)，
∴AFEH=ABED=53，
∴点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是53，
故答案为：53.
作AF⊥BC于点F，EH⊥DC于点H，设S△EDC=9m，因为四边形ABED与△EDC的面积之比是16：9，所以S四边形ABED=16m，则S△ABC=25m，所以S△ABCS△EDC=25m9m=259，由∠B=∠CDE，∠C=∠C，证明△ABC∽△EDC，则S△ABCS△EDC=(ABED)2=259，所以AFEH=ABED=53，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地添加辅助线并且证明△ABC∽△EDC是解题的关键．
17.【答案】5−2 52
【解析】解：取AB中点E，连接CE，
此时CE为中线，AE=BE=12AB=1，
由新定义可知CEAB= 5−12，
∵AB=AC=2，
∴CE= 5−1，
设BD=x，
则DE=BE−BD=1−x，AD=AE+DE=1+1−x=2−x，
∵CD⊥AB，
∴Rt△CDE中，CD2=CE2−DE2，
Rt△CDA，CD2=AC2−AD2，
∴( 5−1)2−(1−x)2=22−(2−x)2，
解得x=5−2 52，
∴BD=5−2 52.
故答案为：5−2 52.
取AB中点E，连接CE，根据题目中“精准三角形”的定义可得CEAB= 5−12，根据勾股定理得到CE2−DE2=AC2−AD2即可求解．
本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．
18.【答案】12或32
【解析】【分析】
分两种情形：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J.如图2中，当PD⊥BC于点J时，分别求出PB，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图1中，当DP⊥BC，延长DP交BC于点J.
∵∠C=90∘，AC=1，∠A=60∘，
∴∠B=30∘，
∴AB=2AC=2，BC= 3AC= 3，
由翻折变换的性质可知，∠D=∠B=30∘，DM=BM= 32，
∴JM=12DM= 34，
∴BJ=BM−JM= 34，
∴PB=BJcs30∘=12，
∴AP=AB−PB=2−12=32.
如图2中，当PD⊥BC于点J时，同法可得MJ=JC= 34，
∴BJ=3 34，
∴PB=BJcs30∘=32，
∴AP=AB−PB=2−32=12.
综上所述，AP的值为12或32.
故答案为：12或32.
19.【答案】解：原式=12− 33+2−(2+ 3)
=12−43 3.
【解析】根据特殊角的三角函数值、分数指数幂和二次根式的分母有理化计算即可．
本题考查分数指数幂、实数的运算和特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是本题的关键．
20.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BECD=BFDF，
∵点E是边AB的中点，
∴AB=2AE=2a，
∴CD=AB=2a，
∴BFDF=12，
∴FB=13BD，
∵AB−=2a，AD=b，
∴DB−=DA−+AB−=2a−−b−
∴FB=13DB−=23a−13b；
(2)如图所示，DF=DH+DG
.
【解析】(1)证△BEF∽△DCF知BECD=BFDF，结合E是AB中点得FB=13BD，再根据平行四边形法则求解可得；
(2)过点F作FG//AD交DC于G，过点F作FH//DC交AD于H，据此由平行四边形法则可得．
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
21.【答案】解：如图所示，过点C作CH⊥BD于H，过点D作DF⊥AB于F，
∵AB⊥l，DE⊥l，DF⊥AB，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AF=DE=0.6m，
∴BF=AB−DE=0.31m，
在Rt△BDF中，cs∠DBF=BFBD，
∴BD=BFcs∠DBF=0.31cs72∘≈1(m)，
∵BC=CD，CH⊥BD，
∴BH=12BD=0.5m，
∵∠ABD=72∘，∠CBA=126∘，
∴∠CBH=∠CBA−∠ABD=54∘，
在Rt△HBC中，cs∠HBC=BHBC，
∴BC=BHcs∠HBC=0.5cs54∘≈0.83(m)，
∴机械臂BC的长为0.83m.
【解析】过点C作CH⊥BD于H，过点D作DF⊥AB于F，先证明四边形AEDF是矩形，得到AF=DE=0.6m，则BF=AB−DE=0.31m，解Rt△BDF得到BD≈1m，由三线合一定理得到BH=12CD=0.5m，再解Rt△HBC即可求出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
22.【答案】4 55；
①图见解析；
②图见解析．
【解析】解：(1)由图形可得AC//BD，AC=2，BD=7，CD= 22+42=2 5，
∴△ACO∽△BDO，
∴ACBD=OCOD，
∴27=OCOC+2 5，
解得OC=4 55，
故答案为：4 55；
(2)①如图，△ABC的重心G即为所求：
②如图作点E与D关于AB对称，连接CE与AB的交点即为点M，
此时∠C=∠E=∠D，∠CAB=∠DBA=90∘，
∴△ACM∽△BDM.
(1)由图形可得AC//BD，则ACBD=OCOD，代入求值即可；
(2)①找到AB和BC的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G；
②作点E与D关于AB对称，连接CE与AB的交点即为点M，∠C=∠E=∠D，∠CAB=∠DBA=90∘，则△ACM∽△BDM.
本题考查相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵CG2=GE⋅GD，
∴CGEG=GDGC.
又∵∠CGD=∠EGC，
∴△GCD∽△GEC.
∴∠GDC=∠GCE.
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC.
∴∠ACF=∠ABD.
(2)∵∠FBG=∠ECG，∠BGF=∠CGE，
∴△BGF∽△CGE.
∴FGBG=EGCG.
又∵∠FGE=∠BGC，
∴△FGE∽△BGC.
∴EFCB=EGCG.
∴EF⋅CG=EG⋅CB.
【解析】(1)先根据CG2=GE⋅GD得出CGEG=GDGC，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE.根据AB//CD得出∠ABD=∠BDC，可得出结论；
(2)先根据∠FBG=∠ECG，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故FGBG=EGCG.再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
24.【答案】(1)B(9,3) (2)点B的坐标为(2,23)或(18,6) (3)F点的坐标为(0,52)或(0,−12)
【解析】解：(1)B(9,3)；理由如下：
如图1，平面直角坐标系xOy中有一点A(−2,6)，把线段OA绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B，“旋似角”为90∘，作AD⊥y轴于D，BC⊥x轴于C，则∠ADO=∠BCO=90∘，
，
由题意可得：∠AOB=∠DOC=90∘，OBOA=32，AD=2，OD=6，
∴∠AOD+∠DOB=∠DOB+∠BOC，
∴∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴OCOD=BCAD=OBOA=32，
∴OC=9，BC=3，
∴B(9,3)；
(2)如图2，作AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，
，
由(1)可得：△AOC∽△BOD，
∴COAC=ODBD=62=3，
∵∠AOB=∠BDO=90∘，
若△ABO与△BOD相似，依题意得：AOOB=ODBD=3或OBAO=ODBD=3，
当AOOB=ODBD=3时，则“旋似比”为13，
根据△AOC∽△BOD得：OD=13OC=2，BD=13AC=23，
∴此时B的坐标为(2,23)；
当OBAO=ODBD=3时，则“旋似比”为3，
根据△AOC∽△BOD得：OD=3OC=18，BD=3AC=6，
∴此时B的坐标为(18,6)；
综上所述，点B的坐标为(2,23)或(18,6)；
(3)F点的坐标为(0,52)或(0,−12).理由如下：
当“旋似比”为12时，由(1)可得点B的坐标为(3,1)，
如图3，延长AB交x轴于点G，
，
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得：
3k+b=1−2k+b=6，
解得：k=−1b=4，
∴直线AB的解析式为y=−x+4，
当x=0时，得：y=4；
当y=0时，得：−x+4=0，
解得：x=4，
∴E(0,4)，G(4,0)，
∴OG=OE=4，
∴∠OEG=45∘，
∴∠OBE+∠BOE=135∘，
∵∠BFO+∠BOE=135∘，
∴∠OBE=∠BFO，
在y轴负半轴取点F，
∵∠OEB=∠BEF，∠OBE=∠BFO，
∴△EOB∽△EBF，
∴EBEO=EFEB，
∴EB2=EO⋅EF，即(0−3)2+(1−4)2=4EF，
解得：EF=92，
则F点的坐标为(0,−12)；
在y轴正半轴取点F′，同理可证△OBE∽△OF′B，
∴OBEO=OF′OB，
∴OB2=EO×OF′，即( 10)2=4OF′，
解得：OF′=52，
则F′点的坐标为(0,52)；
综上所述，F点的坐标为(0,52)或(0,−12).
(1)作AD⊥y轴于D，BC⊥x轴于C，则∠ADO=∠BCO=90∘，由题意可得：∠AOB=∠DOC=90∘，OBOA=32，AD=2，OD=6，证明△AOD∽△BOC，由相似三角形的性质可得OC=9，BC=3，即可得解；
(2)作AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，由(1)可得：△AOC∽△ODB，再由相似三角形的性质可得COAC=ODBD=62=3，由∠AOB=∠BDO=90∘，得出若△ABO与△BOD相似，则有AOOB=ODBD=3或OBAO=ODBD=3，再分情况求解即可；
(3)当“旋似比”为12时，由(1)可得点B的坐标为(3,1)，延长AB交x轴于点G，待定系数法求出直线AB的解析式为y=−x+4，从而得出OG=OE=4，进而得出∠OEF=45∘，证明∠OBE=∠BFO，在y轴负半轴取点F，证明△EOB∽△EBF，求出EF=92，即可得出F点的坐标为(0,−12)；在y轴正半轴取点F′，同理可证△OBE∽△OF′B，求出OF′=52，即可得出F′点的坐标为(0,52).
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，一次函数等知识，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)①如图1，
在Rt△ACB中，cs∠BAC=ACAB=35，
∵AC=3，
∴AB=5，
∴BC= 52−32=4，
∵AD⊥BM，
∴∠ADM=90∘=∠ACB，
∵∠AMD=∠CMB，
∴∠DAM=∠CBM，
∴tan∠DAM=tan∠CBM，
∴CFAC=CMBC，即323=CM4，
∴3CM=6，
∴CM=2，
∴AM=3−2=1；
②由①知：CFAC=CMBC，即x3=CM4，
∴CM=43x，
∴AM=3−43x，
∴y=12⋅AM⋅BC
=12×4×(3−43x)
=6−83x，
∵y>0，即6−83>0，
∴x