2024-2025学年苏科版（2012）第二学期八年级数学期中模拟卷（04）（含答案）

这是一份2024-2025学年苏科版（2012）第二学期八年级数学期中模拟卷（04）（含答案），共36页。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．某校为了解八年级500名学生的数学学习情况，随机抽取了50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．每名学生被抽到的机会都是相等的B．500名学生是总体
C．50名学生是样本D．以上说法都正确
3．如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
4．将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （ ）
A．对角线互相平分B．两组对角相等C．对角线互相垂直D．两组对边相等
7．若分式的值是负整数，则m的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
8．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（ ）
A．B．2C．D．
10．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点的对称点处，当时，则的长（ ）
A．或5B．或C．1或D．5或
第II卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号）
13．有40个数据，共分成6组，第组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是 ．
14．如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是 ．

15．若分式方程有增根，则 ．
16．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则点的坐标为 ．
17．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ．
18．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ．
三、解答题（10小题，共66分）
19．计算：
(1) (2)
20．解方程：
(1)； (2)．
21．先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)与关于原点O成中心对称，画出；
(2)的面积为______；
(3)若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为_____．
23．某化工企业响应节能减排倡议，严格控制温室气体二氧化硫的排放量．2024年暑假数学兴趣小组对该工厂2024年二氧化硫排放量进行了调查，根据材料，解决问题．阅读材料：
1．该工厂在2024年前7个月的二氧化硫排放情况如图1所示，该工厂7月份排放量可以看作4个工作周的总和，排放情况如图2所示；
2．该工厂提出2024年度减排目标：二氧化硫总排放量不超过42吨．
解决问题：
(1)根据材料计算该工厂2024年7月份二氧化硫排放量，并补全图1；
(2)该工厂计划从2024年8月开始，每个月二氧化硫排放量都比前一个月减少吨，请你通过计算说明，该工厂能否完成2024年度减排目标？
24．对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）；
(2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由．
25．2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，动力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量，某店某品牌款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元．
(1)今年5月份款新能源汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，门店决定再经销同品牌的款新能源汽车，已知款每辆进价为8万元，款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？
(3)按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果款每辆售价为8.8万元，为打开款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆款新能源汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是______万元．
26．［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．
【解决问题】
（1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法．
解：设分式的“关联分式”为，
则，
，
．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”；
【拓展延伸】
（3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________；
②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
28．2023年3月24日，第17届欧洲杯预选赛正式打响，本届欧洲杯足球场采用了几种喷灌系统，如图1是喷灌系统可以旋转的喷嘴工作实景图，已知足球场可以近似看成长为96米，宽为64米的矩形．
某实验室为进一步研究喷灌技术，按比例尺制作了一个足球场沙盘矩形，如图2．
(1)________米， _________米；
(2)如图3，在足球场沙盘左右半场的两个中心位置分别安装一个覆盖半径为4.95米的喷嘴P、Q，请问两个喷嘴同时工作时，能否覆盖整个足球场沙盘？请说明理由；
(3)如图4，在足球场沙盘中装有一个可以平行移动的喷灌杆，初始位置为，喷灌杆平移喷灌时覆盖范围呈菱形区域，M、N、E、F在沙盘边界上，已知米，求的长；
(4)利用无人机沿着足球场沙盘的对称轴或对角线飞行并进行左右对称喷灌，喷灌覆盖范围呈正方形，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，请在上述规定的飞行路线中，任意选择其中的两条路线，直接写出无人机喷灌面积的最小值分别是_________平方米（面积相同算同一种）．
答案与解析
第I卷（选择题）
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
故选：B．
2．某校为了解八年级500名学生的数学学习情况，随机抽取了50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．每名学生被抽到的机会都是相等的B．500名学生是总体
C．50名学生是样本D．以上说法都正确
【答案】A
【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论．
【详解】A、每名学生被抽到的机会都是相等的，故该选项正确；
B、500名学生的数学学习情况是总体，故该选项错误；
C、50名学生的数学学习情况是样本，故该选项错误；
D八以上说法不都正确，故该选项错误．
故选：A．
3．如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
∴，
∴缩小为原来的，
故选：B．
4．将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据必然事件的定义（必然事件发生的可能性为1）即可得．
【详解】解：由题意，若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是1
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件，熟记必然事件的定义是解题关键．
5．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可．
【详解】解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为：
，
故选：A．
6．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （ ）
A．对角线互相平分B．两组对角相等C．对角线互相垂直D．两组对边相等
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形，菱形的性质，理解并识记它们的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质“对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分”，菱形的性质除了具备平行四边形的性质，还具有“四条边长度相等；对角线垂直且平分”，由此进行分析判断即可求解．
【详解】解：A、平行四边形、菱形都具备对角线互相平分，不符合题意；
B、平行四边形、菱形都具备两组对角相等，不符合题意；
C、平行四边形的对角线不一定垂直、菱形的对角线互相垂直，符合题意；
D、平行四边形、菱形都具备两组对边相等，不符合题意；
故选：C ．
7．若分式的值是负整数，则m的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解．
【详解】解：∵分式的值是负整数，
∴且的整数，
选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意，
故选：B．
8．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点关于x轴对称的性质，等边三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，通过计算的长度，利用等边三角形的性质得到的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而确定点的坐标，最后根据平行四边形的性质求出点的坐标，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵点与点关于轴对称，点的坐标是，
∴的坐标为
，，
是以的对角线为边的等边三角形，
，
，
，
，
，
∴点的坐标是，
故选：C．
9．如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形的中位线定理，取的中点，取的中点，连接，可推出四边形是矩形，得到M为的中点；进而可得当点P从点B运动到点C，点从点运动到点，据此即可求解；
【详解】解：取的中点，取的中点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵M为的中点，
∴M为的中点，
∴当点P从点B运动到点C，点从点运动到点，
∵的中点为，的中点为，
∴是的中位线，
∴，
即：点M运动的路径长为，
故选：D
10．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点的对称点处，当时，则的长（ ）
A．或5B．或C．1或D．5或
【答案】D
【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长．
【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴即，
解得，
如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，
同理可得：，，，，
，，
∴即，
解得，
综上，的长为或，
故选：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号）
【答案】②
【分析】本题考查概率公式．比较出事件发生的可能性的大小即可．
【详解】解：①“向上一面的点数是奇数”的可能性为，
②“向上一面的点数是3的倍数”的可能性为，
③“向上一面的点数不小于”的可能性为，
，
故其中发生的可能性最小的事件是②，
故答案为：②．
13．有40个数据，共分成6组，第组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是 ．
【答案】0.2
【分析】此题主要考查了频数与频率，正确理解频数与频率的定义是解题关键．
直接根据已知求出第组的频率和，再结合第5组的频率，进而得出答案．
【详解】∵第组的频数分别为10、5、7、6，
∴第1～4组的频率和为：．
∵第5组的频率是0.1，
∴6组的频率是：．
故答案为：0.2．
14．如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是 ．

【答案】16
【分析】本题考查菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，直角三角形形斜边上的中线等于斜边的一半．根据四边形是菱形得到，结合点是的中点，得到，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
故答案为：16．
15．若分式方程有增根，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查分式方程的增根．将原分式方程去分母，变形为整式方程，用含k的式子表示出方程的解，再根据分式方程有增根得到，即可求出k的值．
【详解】解：，
去分母，得，
解得，
分式方程有增根，
，
，
解得，
故答案为：5．
16．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．由平行四边形的性质可知，，则、有相同的纵坐标进而可得点坐标．
【详解】解：∵、、的坐标分别是，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，则、有相同的纵坐标，
∴点的坐标为，
故答案为：．
17．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可．
【详解】解：∵，方程，
∴，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴方程的解是，
故答案为：．
18．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形．
过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵在长方形中，，，
∴，
∴，
∵将长方形沿对角线折叠，得，
∴，
∴，
过点作于点，连接过点作于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
∵点到直线，垂线段最短，
∴当时， 最小，即点与点重合，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：的最小值为．
三、解答题（10小题，共66分）
19．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的减法，因式分解，约分化简解答即可．
（2）根据分式的乘除混合运算解答即可．
本题考查了分式的减法，分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
20．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
（1）先去分母，化分式方程为整式方程，再求解整式方程，最后检验得结论．
（2）先去分母，化分式方程为整式方程，再求解整式方程，最后检验得结论．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
整理，得，
所以．
经检验：是原方程的解．
所以原方程的解为：．
（2）解：，
原方程可化为：，
去分母，得，
整理，得，
所以．
经检验：不是原方程的解．
所以原方程无解．
21．先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，2
【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】解：

，
，，
，，
当时，原式．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)与关于原点O成中心对称，画出；
(2)的面积为______；
(3)若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为_____．
【答案】(1)作图见解析
(2)2.5
(3)
【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）分别作出，，的对应点，，并依次连接即可．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
（3）根据平行四边形的性质画出图形利用平移法即可解决问题．
【详解】（1）解：即为所作：
（2）解：；
（3）解：∵，，．
∴可知点向右平移了3个单位，向上平移了1个单位得到点，
则向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点，
∴点的坐标为．
故答案为：．
23．某化工企业响应节能减排倡议，严格控制温室气体二氧化硫的排放量．2024年暑假数学兴趣小组对该工厂2024年二氧化硫排放量进行了调查，根据材料，解决问题．阅读材料：
1．该工厂在2024年前7个月的二氧化硫排放情况如图1所示，该工厂7月份排放量可以看作4个工作周的总和，排放情况如图2所示；
2．该工厂提出2024年度减排目标：二氧化硫总排放量不超过42吨．
解决问题：
(1)根据材料计算该工厂2024年7月份二氧化硫排放量，并补全图1；
(2)该工厂计划从2024年8月开始，每个月二氧化硫排放量都比前一个月减少吨，请你通过计算说明，该工厂能否完成2024年度减排目标？
【答案】(1)该工厂2024年7月份二氧化硫排放量为吨；补全图1见解析
(2)能；计算见解析
【分析】本题考查的是折线统计图，条形统计图，有理数加法的应用，能从统计图中获取解题信息是解题的关键．
（）根据条形图计算月份二氧化硫排放量，再补全折线统计图即可；
（）根据折线统计图中的数据结合从8月开始， 每个月二氧化硫排放量都比前一个月的排放量减少吨，列式计算即可；
【详解】（1）解：月份二氧化碳排放总量为（吨），
补全图如图所示：
（2）解：二氧化硫排放总量为：
（吨），
，
∴该工厂能够完成年度减排要求．
24．对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）；
(2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由．
【答案】(1)、、
(2)
【分析】（1）用优等品数除以抽取球数即可得出答案；
（2）根据随着抽取球数的增加，频率稳定于0.90可得答案．
【详解】（1）解：完成表格如下：
故答案为：、、．
（2）估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是，
由表知，随着抽取球数的增加，频率稳定于，
所以估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
25．2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，动力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量，某店某品牌款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元．
(1)今年5月份款新能源汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，门店决定再经销同品牌的款新能源汽车，已知款每辆进价为8万元，款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？
(3)按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果款每辆售价为8.8万元，为打开款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆款新能源汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是______万元．
【答案】(1)今年5月份款汽车每辆售价为万元
(2)共有种进货方案，方案一：购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆
(3)
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设今年5月份款汽车每辆售价为万元，则去年5月份款汽车每辆售价为万元，根据“卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案；
（3）设总获利为万元，购进款汽车辆，由题意得出关于的关系式，结合题意得出，即可得解．
【详解】（1）解：设今年5月份款汽车每辆售价为万元，则去年5月份款汽车每辆售价为万元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意；
∴今年5月份款汽车每辆售价为万元；
（2）解：设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的值可以为、、，
∴共有种进货方案，方案一：购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆；
（3）解：设总获利为万元，购进款汽车辆，
则，
∵要使（2）中所有的方案获利相同，
∴，
∴．
26．［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．
【解决问题】
（1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法．
解：设分式的“关联分式”为，
则，
，
．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”；
【拓展延伸】
（3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________；
②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值．
【答案】（1）是；（2）；（3）①，②，
【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.
（1）根据关联分式的定义进行判断；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可.
【详解】解：（1）
，
，
是的“关联分式”，
故答案为：是；
（2）设分式的“关联分式”是，
则，
，
，
，即分式的“关联分式”为．
（3）①解：①设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
故答案为：；
②由题意得
，．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．
(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标；
(2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或或．
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标，联立方程组求出点的坐标即可；
（2）先根据得到、的关系，然后求出，，并都用字母表示，根据列式求出的值，从而可求出的值，继而可推出点的坐标以及直线与的解析式；
（3）由于、、三点已经确定，要确定点的位置，分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：在直线中，令，得，
∴点，
在直线中，令，得，
∴点，
由，解得：，
∴点；
（2）解：∵，
∴，
整理得：，
∴，，
而，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的函数表达式为：，
的函数表达式为：；
（3）解：存在，
过点P作直线平行于x轴，过点B作的平行线交于点，过点A作的平行线交于点，过点A、B分别作、的平行线交于点．
①∵且，
∴是平行四边形，此时，
∵，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
②∵且，
∴是平行四边形，此时，
∴；
③∵且，
∴是平行四边形，
∵且，
∴，
同理可得：，
由，得：，
∴，
综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或．
28．2023年3月24日，第17届欧洲杯预选赛正式打响，本届欧洲杯足球场采用了几种喷灌系统，如图1是喷灌系统可以旋转的喷嘴工作实景图，已知足球场可以近似看成长为96米，宽为64米的矩形．
某实验室为进一步研究喷灌技术，按比例尺制作了一个足球场沙盘矩形，如图2．
(1)________米， _________米；
(2)如图3，在足球场沙盘左右半场的两个中心位置分别安装一个覆盖半径为4.95米的喷嘴P、Q，请问两个喷嘴同时工作时，能否覆盖整个足球场沙盘？请说明理由；
(3)如图4，在足球场沙盘中装有一个可以平行移动的喷灌杆，初始位置为，喷灌杆平移喷灌时覆盖范围呈菱形区域，M、N、E、F在沙盘边界上，已知米，求的长；
(4)利用无人机沿着足球场沙盘的对称轴或对角线飞行并进行左右对称喷灌，喷灌覆盖范围呈正方形，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，请在上述规定的飞行路线中，任意选择其中的两条路线，直接写出无人机喷灌面积的最小值分别是_________平方米（面积相同算同一种）．
【答案】(1)，
(2)不能覆盖整个足球场沙盘
(3)
(4)任意选择其中的两条路线，直接写出无人机喷灌面积的最小值分别是、平方米
【分析】（1）根据比例尺计算即可；
（2）由即可知道不能覆盖整个足球场沙盘；
（3）先证明，再设，即可得到，再利用菱形的性质可得，利用勾股定理列方程计算即可；
（4）利用无人机沿着足球场沙盘的对称轴或对角线飞行并进行左右对称喷灌，喷灌覆盖范围呈正方形，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，分类讨论求出对应正方形边长即可．
【详解】（1）∵按比例尺制作了一个足球场沙盘矩形，
∴，
故答案为：，；
（2）由P、Q是足球场沙盘左右半场的两个中心位置可得，，
∴，
∴；
∴不能覆盖整个足球场沙盘；
（3）延长交于
，
∵菱形区域，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴中，，
中，，
∴，解得
∴
（4）当无人机沿着足球场沙盘的对称轴飞行时，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，喷灌覆盖范围呈正方形的边长是，此时无人机喷灌面积为平方米；
当无人机沿着足球场沙盘的对称轴飞行时，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，喷灌覆盖范围呈正方形的边长是，此时无人机喷灌面积为平方米；
当无人机沿着足球场沙盘的对角线或飞行时，过作于，当无人机恰好能喷灌整个足球场沙盘时，喷灌覆盖范围呈正方形的边长是，
∵
∴,
∵
∴
∴此时无人机喷灌面积为平方米；
∵
∴任意选择其中的两条路线，直接写出无人机喷灌面积的最小值分别是、平方米．
【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及到菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是把实际问题转换成我们熟悉的数学图形问题．
抽取球数
优等品数
优等品频率
例如与．
解：，
，
是的“关联分式”．
抽取球数
优等品数
优等品频率
抽取球数
优等品数
优等品频率
例如与．
解：，
，
是的“关联分式”．