2024-2025学年内蒙古通辽市科左中旗民族职业中专高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古通辽市科左中旗民族职业中专高二（上）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={−1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={−1,0,1}，则∁U(A∩B)=( )
A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2,3}D. {−1,0,1,3}
2.设z=5+i，则i(z−+z)=( )
A. 10iB. 2iC. 10D. −2
3.若点A(−3,−4)，B(6,3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为( )
A. 79B. −13C. 79或13D. −79或−13
4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3
5.已知向量a=(2,4,x)，b=(2,y,2)，若|a|=6, a⊥b，则x+y的值是( )
A. −3或1B. 3或1C. −3D. 1
6.已知圆O1：(x−1)2+(y+2)2=9，圆O2：x2+y2+4x+2y−11=0，则这两个圆的位置关系为( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
7.已知双曲线C的一个焦点是F1(0,2)，渐近线为y=± 3x，则C的方程是( )
A. x2−y23=1B. x23−y2=1C. y2−x23=1D. y23−x2=1
8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”.则下列结论不正确的是( )
A. E，F为对立事件B. G，H为互斥不对立事件
C. E，G不是互斥事件D. G，R是互斥事件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点A，B是椭圆C：x24+y23=1上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，F1，F2分别是C的左、右焦点，O为原点，则( )
A. C的离心率为12
B. |AF2|+|BF2|=8
C. |AB|的值可以为3
D. 若△AF1F2的面积为32，则|AF1|⋅|AF2|=154
10.已知空间中三个向量a=(1,2,0)，b=(−1,2,1)，c=(−1,−2,1)，则下列说法正确的是( )
A. a与c是共线向量
B. 与a同向的单位向量是( 55,2 55,0)
C. c在a方向上的投影向量是(−1,−2,0)
D. a与b的夹角为90°
11.已知直线l1：4x−3y+4=0，l2：(m+2)x−(m+1)y+2m+5=0(m∈R)，下列选项正确的是( )
A. 过点(−1,2)且垂直于直线l1的直线方程为3x+4y−5=0
B. 直线l2过定点(3,−1)
C. 当m=1时，l1⊥l2
D. 当l1//l2时，两直线之间的距离为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆(x−3)2+(y−4)2=25被直线3x+4y−10=0截得的弦长为______．
13.已知F1，F2分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆E的离心率为______．
14.已知P为椭圆x216+y212=1上一动点，记原点为O，若OP=2OQ，则点Q的轨迹方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)b=1，c= 15，焦点在y轴上．
(2)a=10，c=6．
(3)经过点P(−2 3,0)，Q(0,2)两点．
16.(本小题12分)
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．
(1)求x−，y−，s12，s22；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−⩾2 s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)( 76≈8.718)．
17.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴长为4，且椭圆C的离心率12，其左右焦点分别为F1，F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为 3且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求弦长|PQ|．
18.(本小题12分)
已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M(1, 3).
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l经过点M(1, 3)且与圆C相切，求直线l 的方程．
(3)已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y−4=0的距离的最大值．
19.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，BB1的中点．
(1)求证：CF//平面A1BE；
(2)求平面EA1B与平面A1BA成角的正弦值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.D
5.A
6.C
7.D
8.D
9.AD
10.BC
11.AD
12.8
13. 53
14.x24+y23=1
15.
16.解：(1)由题中的数据可得，
x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10，
y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，
s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2+(9.8−10)2
+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；
s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2
+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；
(2)y−−x−=10.3−10=0.3，
2 s12+s2210=2 0.036+0.0410=2 0.0076≈0.174，
所以y−−x−>2 s12+s2210，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
17.解：(1)由题可得2a=4ca=12b2=a2−c2，解得：a2=4b2=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1；.
(2)因为F2(1,0)，直线l过F2且斜率为 3，
所以直线l：y= 3(x−1)，设P(x1,y1)，Q1(x2,y2)，
联立x24+y23=1y= 3(x−1)，消去y得：5x2−8x=0，
所以x1+x2=85,x1x2=0，
所以|PQ|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+( 3)2⋅ (85)2−4×0=165．
18.解：(1)由题意，r= 1+3=2，
∴圆C的方程为x2+y2=4；
(2)由题意M为切点，∴直线l 的方程x+ 3y=4；
(3)圆心到直线的距离为d=4 2=2 2
∴点P到直线x+y−4=0的距离的最大值为2 2+2．
19.
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5