2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列{an}中，a3=1，a5=2，则首项a1=( )
A. 14B. 12C. 22D. 0
2.已知f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=e−x，则曲线y=f(x)在x=−1处的切线经过点( )
A. (0,0)B. (−1,e)C. (2,0)D. (−2,0)
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )
A. −12B. −10C. 10D. 12
4.定义在R上的函数f(x)=−x3+m与函数g(x)=f(x)−kx在[1,2]上具有相同的单调性，则k的取值范围是( )
A. (−∞,−12]B. [−3,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3]
5.在数列{an}中，a1=1，n(n+1)(an+1−an)=1(n∈N^)，则a2022=( )
A. 40432022B. 40412021C. 20202021D. 20212022
6.在函数f(x)=ax−2的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y=x的对称点A′，B′在函数g(x)=ex的图像上，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,e)B. (0,e2)C. (0,e)D. (0,e2)
7.等差数列{an}的首项为正数，其前n项和为Sn.现有下列命题，其中是假命题的有( )
A. 若Sn有最大值，则数列{an}的公差小于0
B. 若a6+a13=0，则使Sn>0的最大的n为18
C. 若a9>0，a9+a100，a9+a101
12.已知函数f(x)=(x2+1)lnx−m(x2−1)，则下列结论正确的是( )
A. 当m=0时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x
B. 当m≤1时，f(x)在定义域内为增函数
C. 当m>1时，f(x)既存在极大值又存在极小值
D. 当m>1时，f(x)恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知曲线y=f(x)在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x+5，则f(2)+f′(2)的值为______．
14.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，a1+a5+a9a2+a10+a18= ______．
15.若函数f(x)=ax−x3(a>0,a≠1)有两个不同的零点，则a的取值范围是 ．
16.已知k∈R，设函数f(x)=x2−2kx+2k,x≤1(x−k−1)ex+e3,x>1，若关于x的不等式f(x)≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为−8，求这四个数．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+1−4lnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在[1,3]上的最大值与最小值．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=2，an=3an−1+2(n≥2,n∈N∗)，bn=lg3(an+1)，cn=1b2n−1b2n+1．
(1)证明：{an+1}为等比数列；
(2)设数列{cn}的前n项和Sn，求证：13≤Sn0)，
∴f′(x)=2−4x=2(x−2)x，
∴f′(1)=−2，又f(1)=3，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=−2(x−1)，即2x+y−5=0；
(2)由f′(x)=2(x−2)x，得x∈[1,2)时，f′(x)0，
∴f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
∴f(x)极小值=f(2)=5−4ln2，也是[1,3]上的最小值；
又f(1)=3，f(3)=7−4ln30，
∴−12n+1bln(x−1)+blna，
即2exa+b(x−lna)>2(x−1)+bln(x−1)．
构造函数ℎ(x)=2x+blnx，则2exa+blnexa>2(x−1)+bln(x−1)等价于ℎ(exa)>ℎ(x−1)．
因为02，则H′(x)=ex−2−1．
显然H′(x)是增函数，则H′(x)>H′(2)=0，H(x)单调递增，
所以H(x)>H(2)=0，故exa−x+1>ex−2−x+1>0，则exa>x−1>1．
又ℎ(exa)>ℎ(x−1)，所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)=2+bx≥0恒成立，
即b≥(−2x)max=−2，故b的取值范围是[−2,+∞)．