2022-2023学年安徽省合肥重点中学高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥重点中学高一（下）第二次月考数学试卷

1.  下列命题中成立的是(    )

A. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D. 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体

2.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积单位：平方丈为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平行四边形中，、分别是、的中点，交于，记、分别为、，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  在中，已知，那么一定是(    )

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

6.  一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中，，，，分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
直线与直线是异面直线；
直线与直线是异面直线；
直线与直线共面；
直线与直线是异面直线．
其中正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔．现在在塔底共线三点，，处分别测塔顶的仰角为，，，且米，则文星塔高为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8.  刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一如图一记正方形的边长为，设，过点作平面平行于平面，由勾股定理有，故此正方形面积是如果将图一的几何体放在棱长为的正方体内如图二，不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于如图三设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为，不难发现对于任何高度，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积(    )
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．

 

A.  B.  C.  D.

9.  已知平面向量，，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. ， D. 向量在上的投影向量为

10.  设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

11.  已知是边长为的等边三角形，点是边上，且，点是边上任意一点包含，点，则的取值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知直三棱柱中，，，点是棱的中点，点是线段的中点，点是线段上的动点，则下列说法正确的是(    )

A. 当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B. 无论点在上怎么运动，都有
C. 当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D. 当点在上运动时，直线与所成角可以是
 

13.  如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是______ ．

14.  在正方体中，点，分别在棱，上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______．

15.  如图，一个正三棱柱容器，底面边长为，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是          ．

16.  已知是边长为的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为          ．

17.  已知复数是方程的一个复数根，且的虚部大于零．
求；
若为虚数单位，求．

18.  已知，向量，．
如图，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
若点为线段的靠近点的三等分点，求点的坐标．

19.  在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，点是的重心，且，求的面积．

20.  如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、、分别是棱、、的中点．
证明：平面；
若，，求点到平面的距离．

21.  如图所示，在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站观察站高度忽略不计，已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东方向，俯角为的处，若分钟后，又测得该船在海岛北偏西方向，俯角为的处．
求船的航行速度是每小时多少千米？
若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛的距离？

22.  如图，在直角梯形中，，，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为．
当时，求证：平面平面；
若为的中点，当时，求二面角的正切值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，
所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误；

对，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，
则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；
对于，如图所示，若，，
满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误；

对，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体，
比如底面为三角形的直三棱柱，故D错误．
故选：．
根据相关空间几何体的定义，举出部分反例空间几何体即可判断．
本题考查柱体与锥体的结构特征，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由可得：．
故选：．
由复数的运算法则计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则有，，
解得，
又圆台的高为丈，
所以圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为．
故选：．
设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求出和，然后由圆台的侧面积公式求解即可．
本题考查了圆台的几何性质的运用，圆台的侧面积公式的运用，解题的关键是求出圆台的上下底面半径，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：过点作的平行线交于，
则是的中点，
且
，
则∽
从而，

又

故选B．
欲求出向量则，关键是求出向量则与向量的线性．关系过点作的平行线交于，则是的中点，
利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问题．
本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
，，
已知等式化简得：，
整理得：，
，
则一定是等腰三角形．
故选：．
已知等式利用正弦、余弦定理化简，整理后得到，即可确定出三角形为等腰三角形．
此题考查了正弦、余弦定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对，因为，，，分别为，，，的中点，
所以，又，则，故F，，，四点共面，
故直线与直线是共面直线，错误；
对，在过，，，四点的平面外，
故直线与直线是异面直线，正确；
对，，重合，故直线与直线共面，正确；
对，在过，，，四点的平面外，故直线与直线是异面直线，正确；
综上有正确．
故选：．
作出直观图，根据直线共面的判定与性质逐个判断即可．
本题考查异面直线的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理及解三角形的实际应用，属于中档题．
 设塔顶为，塔底为，高度，由题意知，，，，在和中，分别由余定理得、，根据即可求得结果．

【解答】

解：设塔顶为，塔底为，高度，
则，
在和中利用余弦定理，则：
，
，
因为，故，可得：
，
解得或舍去．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：，，
由祖暅原理可得图二中牟合方盖外部的体积等于，
图一中几何体的体积为，
牟合方盖体积为．
故选：．
计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中的几何体的体积，从而得出结论．
本题考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，，所以，故A选项错误；
对于选项，，则，，故B选项正确；
对于选项，，，，，故C选项错误；
对于选项，向量在上的投影向量为，故D选项正确．
故选：．
选项，根据向量坐标运算得，进而求出模长；选项根据向量数量积的坐标运算法则计算即可；选项，利用向量的夹角公式计算；选项，代入公式求出投影向量即可．
本题考查平面向量的坐标运算、数量积、夹角、模的运算、投影向量，根据公式依次计算即可，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线、平面间的位置关系，考查空间想象力，属于基础题．
由直线、平面的位置关系逐一判断即可得解．

【解答】

解：对选项，由，可得或与相交或，故A选项错误；
对选项，由，可得或与相交或，故B选项错误；
对选项，若，，则或，故C选项错误；
对选项，若，，由垂直于同一条直线的两平面平行可得，故D选项正确．
故选D．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．
根据条件，可设，其中，再借助于数量积的应用以及参数的范围即可求解结论．

【解答】

解：如图，
点是边上任意一点包含，点，
可设，其中，



，
，
的取值范围是：，
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的判定与性质、异面直线所成角，属于中档题．
构造线面角，由已知条件求出的值即可判断；
利用线面垂直的判定与性质定理证明，即可判断；
由中线的性质可得，即可判断；
由直线的平行关系构造线线角为，结合动点分析角度取值范围，即可判断．

【解答】

解：在直三棱柱中，，．
对于，当点运动到线段的中点时，则点为棱的中点，连接E、，如图所示，

因为点、分别为线段、的中点，所以，且，
因为平面，所以平面，
所以直线与平面所成的角的正切值，
因为，，所以，故A正确；
对于，连接交于点，连接，如图所示，

因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可证，又，B、平面，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
对于，点运动到线段的中点时，即在中，，均为中线，

所以点为中线的交点，即为的重心，
所以，故C错误；
对于，因为，所以直线与直线所成的角为与所成的角或补角，
当点在线段上运动时，

当与点或重合时，取得最大值为，
当在的中点时，取得最小值为，
所以不可能是，故D错误．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：由直观图画出的原图形，如图所示：
由题意知，，且，，
所以的面积是．
故答案为：．
由直观图画出的原图形，结合题意即可求出的面积．
本题考查了平面图形的直观图应用问题，是基础题
 

14.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则异面直线与所成角的余弦值为：
，
．
故答案为：．
根据空间向量夹角公式直接求解即可求出异面直线与所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的定义、线线平行的判定与性质、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正三棱柱的体积的运算，考查三棱柱的性质、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
图中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图中，求同三棱柱的体积，能求出图中容器内水面的高度．

【解答】

解：在图中，水中部分是四棱柱，
四棱柱底面积为，高为，
四棱柱的体积为，
设图中容器内水面高度为，
则，解得．
图中容器内水面的高度是．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
作出图形，由平面与平面垂直且时，三棱的体积最大，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点，利用几何关系计算出球的半径，然后利用球体表面积公式可得出答案．

【解答】

解：由题可知，平面平面，且到的距离最大时，三棱锥体积达到最大，如右图所示，
设的内角，，的对边分别为，，，
此时三角形面积最大，，
即最大，
在三角形中，，
，
，当且仅当，有最大值，
此时设点，点分别为，的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点．
点是此三棱锥外接球的球心，即为球的半径．
在中，，，
由正弦定理可知，，
，
延长交于点，延长交于点，
四边形是矩形，且平面，则有，
又，．
．
故答案为：．

17.【答案】解：由，即，
可得，解得，
因为的虚部大于零，所以
由知，因为，所以
则，
解得，，
所以． 

【解析】根据复数根的求解即可得，进而可求，
利用复数的乘法运算以及复数相等的充要条件即可列方程求解．
本题主要考查了复数的概念及复数的基本运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：设，则，且，
四边形为平行四边形，
，
，，，；
设，则，
点为线段的靠近点的三等分点，
，即，
，解得，
． 

【解析】设，然后得出，根据题意得出，然后即可求出点的坐标；
设，然后得出，根据题意得出，然后即可求出点的坐标．
本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：，
由正弦定理得，
．
，
，即，
，即，
又，则，
，解得；
点是的重心，
，
，
即，解得或不合题意，舍去，
则． 

【解析】由正弦定理边化角，利用辅助角公式求解，即可得出答案；
由点是的重心，求出边，然后由三角形的面积公式求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：、、分别是棱、、的中点．
所以，，又平面，平面，所以平面，
又由为平行四边形，所以，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面；
，
解：取的中点，连接，，所以，且，
所以可得，
因为，，所以，即，
同理可得，，又，，平面，所以平面，
又，，平面，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，
所以，，，
设到平面的距离为，由，
所以，解得，
又因为为的中点，即，到平面的距离相等，
所以到平面的距离为． 

【解析】依题意可得，，即可得到平面，再由为平行四边形得到，从而得到平面，即可得到平面平面，可证结论；
取的中点，连接，，依题意可得，利用勾股定理逆定理可得，同理可得，，从而可证平面，平面，求出，，设到平面的距离为，由，可求得，由为的中点，即，到平面的距离相等，从而得解．
本题考查利用面面平行证线面平行，求点到面的距离，属中档题．
 

21.【答案】解：在中，，，，
在中，，，
在中，，，
则船的航行速度为千米时；
在中，，
所以，
在中，，
所以，
由正弦定理得，
，
故此时船距岛有千米． 

【解析】先、中确定、的长，进而求得，，最后利用勾股定理求得，用里程除以时间即为船的速度．
利用锐角三角函数求出，，利用两角差的正弦公式求得的值，进而利用正弦定理求得．
本题主要考查了正弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．
 

22.【答案】证明：当时，平面平面．
在直角梯形中，，所以，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：取的中点，连接，因为，所以，
因为为的中点，连接，则为的中位线，所以，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，即，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，
所以过作，交于点，则平面，
平面，，过作与点，连结，
，所以所以为二面角的平面角，
在中，，，，
所以，
在中，，
在中，，
所以，故二面角的正切值为． 

【解析】当时，可证得平面，从而证得平面平面；
取的中点，连接，证得为二面角的平面角，过作于点，过作与点，证得为二面角的平面角，解三角形得结果．
本题考查了空间中的垂直关系以及二面角的求解，属于中档题．