2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点(−3,2,−1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (3,2,−1)B. (3,−2,1)C. (−3,−2,1)D. (−3,−2,−1)
2.直线l：2x+y−1=0的一个方向向量为( )
A. (2,1)B. (1,−2)C. (2,−1)D. (−1,−2)
3.若椭圆x2λ+y24=1的左焦点的坐标为(−1,0)，则λ的值为( )
A. 1B. 1或5C. 5D. 3或5
4.已知点A(−2,1)，B(−1,3)，若过点(1,−1)的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A. (−∞,23]∪[2,+∞)B. (−∞,−2]∪[−23,+∞)
C. [−2,0]D. [−2,−23]
5.圆C1：(x+2)2+(y−2)2=4与圆C2：(x−1)2+(y+2)2=9的公切线条数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知椭圆x26+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为2时，PF1⋅PF2等于( )
A. 0B. 1C. 2D. 12
7.在四棱锥P−ABCD中，AB=(−3,−6,3)，AD=(3,0,6)，AP=(−5,1,3)，则此四棱锥的高为( )
A. 26B. 29C. 6D. 8
8.已知M，N是圆O：x2+y2=8上两点，且|MN|=4，若直线x−ay+6=0上存在点P使得OM+ON=OP，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,− 52]∪[ 52,+∞)B. (−∞,− 52)∪( 52,+∞)
C. [− 52, 52]D. (− 52, 52)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量m=(2,−1,1)，n=(−4,2,−2)分别为两个不同的平面α，β的法向量，c=(1,0,−2)为直线l的方向向量，且l⊄β，则( )
A. α//βB. l/​/βC. l⊥αD. α⊥β
10.已知直线l：kx−y+2k=0，圆C：(x+1)2+(y−2)2=9，则下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(−2,0)
B. 直线l与圆C恒相交
C. 直线l被圆C截得的弦长为4时，k=±12
D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为x+2y+2=0
11.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，|BF1|=2|AF1|，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，则下列说法正确的有( )
A. 椭圆E的离心率为13
B. 若PF1⊥F1F2，则cs∠PF2F1=45
C. 直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值
D. 符合条件PF1⋅PF2=0的点P有且仅有2个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆，则m的取值范围是 ．
13.若直线l1：ax+2y+6a=0与直线l2：x−2y=0平行，则直线l1与l2之间的距离为______．
14.已知空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.利用此结论，解决下面问题：已知平面α的方程为2x+y−z−2=0，直线l是两平面3x+y+1=0与2x−z−3=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−2,−1,2)，b=(−1,1,2)，c=(x,2,2)．
(1)当|c|=2 2时，若向量ka−b与c垂直，求实数k的值；
(2)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值．
16.(本小题15分)
已知两直线l1：3x+y−9=0和l2：2x−y−1=0的交点为P．
(1)若直线l过点P且与直线x+2y−1=0平行，求直线l的一般式方程；
(2)若圆C过点(−2,5)且与l1相切于点P，求圆C的标准方程．
17.(本小题15分)
已知动点P到定点F(1,0)的距离和它到直线l：x=4的距离的比是常数12，P点的轨迹称为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若倾斜角为π4的直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=247，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
A1D在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE/​/BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)在线段A1C上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN夹角余弦值为 34？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
定义：若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足x1x2a2+y1y2b2=0，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[A,B].已知椭圆C的离心率为 32，且椭圆C过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程；
(3)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，PQ//OA，(2)中的直线l与椭圆C交于两点B1，B2，且B1点的纵坐标大于0，设四点B1，P，B2，Q在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形B1PB2Q的面积小于8．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.C
6.A
7.B
8.A
9.AB
10.ABD
11.AC
12.(1,2)∪(2,3)
13.6 55
14. 2114
15.解(1)根据题意，c=(x,2,2)且|c|=2 2，
x2+22+22=2 2，解得x=0，
则c=(0,2,2)，
因为ka+b=(−2k−1,1−k,2k+2)，且向量ka+b与c垂直，
所以(ka+b)⋅c=0，则有2−2k+4k+4=2k+6=0，
∴k=−3．
(2)因为向量c与向量a，b共面，所以设c=λa+μb(λ,μ∈R)．
因为(x,2,2)=λ(−2,−1,2)+μ(−1,1,2)，
x=−2λ−μ,2=μ−λ,2=2λ+2μ,所以x=−12,λ=−12,μ=32.
所以实数x的值为−12．
16.解：联立方程组3x+y−9=0,2x−y−1=0,解得x=2,y=3.
所以直线l1：3x+y−9=0和l2：2x−y−1=0的交点P(2,3)．
(1)因为直线l与直线x+2y−1=0平行，故可设直线l：x+2y+c1=0．
又直线l过点P，则2+6+c1=0，解得c1=−8，
即直线l的方程为x+2y−8=0．
(2)设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
直线l1：3x+y−9=0的斜率为−3，故直线CP的斜率为13，
由题意可得(−2−a)2+(5−b)2=r2,(2−a)2+(3−b)2=r2b−3a−2=13,解得a=−1,b=2,r2=10,
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=10．
17.(1)设P(x,y)，则 (x−1)2+y2|x−4|=12，
整理得3x2+4y2=12，
∴曲线C的方程为x24+y23=1；
(2)由题意设直线l：y=x+m，
联立y=x+mx24+y23=1得：7x2+8mx+4m2−12=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由Δ=64m2−28×(4m2−12)>0，得m2