江苏省如皋中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省如皋中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果.
【详解】易知.
故选：D
2. 若函数，则可以化简为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式求出答案.
【详解】，C正确；
其他选项不满足要求.
故选：C
3. 在中，为边上的中线，为的中点．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】因为中，为边上的中线，为的中点，
所以，
故选：A．
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和（差）的余弦公式得到方程组，求出、，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为，，
所以，解得，
所以
故选：A.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解.
【详解】由，则，
又，，
而
.
故选：D.
6. 在中，，，则的形状为（ ）
A. 等腰直角三角形B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形D. 等腰（非直角）三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断.
【详解】因为，即，即，
所以，即，则，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以，又，所以，
所以，
所以是等腰直角三角形．
故选：A
7. 已知α，β为锐角，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值.
【详解】∵为锐角，，
∴，
∴．
又，∴.
故选：B．
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解.
【详解】因为，
将式子的左右两侧同时除以，可得
，
即.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中；有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则与的夹角为钝角D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可.
【详解】
故选：AD
10. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角恒等变换，化简求值.
【详解】A.
，故A正确；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D.
，故D正确.
故选：ACD
11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为2
C. 最大值为
D. 若，且在上投影向量为，则与的夹角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D.
【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；
对于B：，
所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确；
对于C：因为，
所以，
所以当时取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D：在上的投影向量为，所以，
所以，
又，所以，此时，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式可求得结果.
【详解】由已知条件可得
.
故答案为：.
13. 已知，则的面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可.
【详解】因为，所以，
故，由向量的模长公式得，，
且设的面积为，则.
故答案为：5
14. 如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.
【详解】因为，，所以为正三角形，所以，，
因为，所以，
因为，所以，所以.
因为是线段上的一个动点，所以可设，
所以
，
因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：4；
【点睛】关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关键.
四、本题共5小题，共77分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，且．
（1）若向量与互相垂直，求的值．
（2）若向量与互相平行，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小问1详解】
，，
，，即，得，
若向量与互相垂直，则，
即得，
，解得或.
【小问2详解】
由，所以，所以不共线，
由向量与互相平行，
可知存在实数，使得，
，解得，
当时，；当时，.
或.
16. 已知，，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求出角的正弦值和余弦值，再利用两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【小问1详解】
解：因为，则，，
由可得，
所以，.
【小问2详解】
解：因为，，则，所以，，
所以，，
因此，
.
17. 化简与证明：
（1）．
（2）．
【答案】（1） （2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）将变成，利用两角和差的正弦公式化简得解；
（2）利用两角和与差的余弦公式，平方关系从左向右证化简证明.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
左边
.
左边右边，得证.
18. 电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，．
（1）请据此算出电视塔AB的高度；
（2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大?
【答案】（1）150米
（2）米
【解析】
【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，然后根据题意列方程可求出；
（2）由图可知，设米，给两边取正切化简，结合基本不等式可求得其最大值.
【小问1详解】
在中，，得
在中，，得
因为，
所以，解得米．
答：电视塔的高度大约是150米．
【小问2详解】
由图可知，设米，则
当且仅当，即时等号成立．
显然且在单调递增，即最大时最大．
答：当为米时，欣赏彩灯的视角最大．
19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标；
（2）记向量的相伴函数为.
（I）当且时，求的值；
（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（I） （II）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解；
（2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解；
（II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解.
【小问1详解】
，
∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标.
【小问2详解】
由题可知：向量的相伴函数.
（I），，即.
，，.
；
（II）当时，不等式f(x)+kfx+π2=2sin(x+π3)+2kcs(x+π3)>0可化为，即恒成立.
，.
当，即时，，恒成立，∴k>−tan(x+π3)max.
，，∴k>−tan(x+π3)max=−3；
当，即时，，，不等式恒成立；
当，即时，，恒成立，.
，，.
综上，实数的取值范围为..
【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围.A
√
根据向量的运算律可知，A正确
B
×
表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等
C
×
当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角
D
√
若与中至少有一个零向量，则，此时与共线；
若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得．
又，所以或，即与共线，反之也成立．
综上，