2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一下册3月数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一下册3月数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了 已知，若，则实数的值为， 若，则， 已知，且，则， 已知，则， 在中，，则， 下列命题正确的是， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B. 3C. D.
【正确答案】B
【分析】根据平面向量垂直的坐标运算求解参数.
【详解】因为，
又因为，所以
则实数
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用二倍角余弦公式化简即得结果.
【详解】因为，所以，
因此
故选：A
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解．
【详解】因为，且，
所以
所以，
所以，
因为，所以，
故选：A．
4. 在中，为上一点，且，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值.
【详解】
，
因此，
因为三点共线，所以，，
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】正用、逆用两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】即变形得.
故选：C
6. 在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（ ）
A 0B. C. 1D.
【正确答案】C
【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解.
【详解】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系.
已知，则；因为，，，所以，
又因为，可得，即，
解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，.
因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，即.
所以，.
可得.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可.
【详解】
从而
故选：D
8. 在中，，则（ ）
A. 9B. C. 6D.
【正确答案】A
【分析】由得出点是的三等分点，再用分别表示出，即可计算出．
【详解】因为，所以点是三等分点，
所以，则，
又，
所以，
故选：A．
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 已知向量满足条件，则为等边三角形
C. 在中，若，则为直角三角形
D. 在中，若，则为等腰三角形
【正确答案】BCD
【分析】由向量数量积的定义即可判断A；设OA=OB=OC=r>0，由及向量数量积的运算律得出，，，即可判断B；由向量数量积的定义及运算律即可判断C；由平面向量的线性运算及数量积的几何含义即可判断D．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，设OA=OB=OC=r>0
由得，，
所以，即，
所以，
又∈0,π，所以，
同理可得，，
所以为等边三角形，故B正确；
对于C，由，得，
展开整理得，即，故C正确；
对于D，设，则射线是的平分线，
又，所以，
所以为等腰三角形，故D正确；
故选：BCD．
10. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】ACD
【分析】对于A选项利用诱导公式将化为，化为，式子呈现两角和余弦公式形式，进而得出，算出结果.对于B选项先由平方差公式展开，再依据平方关系和二倍角公式，对比结果判断对错.对于C选项分子分母同除，结合，变形为两角和正切公式形式，求出值.对于D选项先将化为，通分后用二倍角公式，再把化为展开化简得结果.
【详解】根据诱导公式可得，.
则.
可得.
因为，所以选项正确.
可得.
则.可得.
所以，选项错误.
分子分母同时除以，
可得.
因为，所以.
可得，C选项正确.
.
可得.
则.
可得.
所以，选项正确.
故选：ACD.
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】由两角和与差的余弦和正切以及同角的三角函数关系逐项判断即可.
【详解】由题意可得，所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，故D错误；
故选：BC
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为__________.
【正确答案】##
【分析】先根据投影向量求出数量积，再根据向量夹角公式求结果.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，
又向量在向量上的投影向量为，所以，，
，
，.
故
13. 若，则__________.
【正确答案】##
【分析】先将用表示，再根据诱导公式以及二倍角余弦公式求得结果.
【详解】因为
故答案为.
14. 已知，则__________.
【正确答案】
【分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解；
【详解】由，
得：，
，
，
所以，
故
四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）且
【分析】（1）先求出，再利用平方法求；（2）根据a+λb⋅a+2b>0，且与不能同向共线，即可得出结果
【小问1详解】
，，
又，
，，
.
【小问2详解】
与的夹角为锐角，
∴a→+λb→⋅a→+2b→>0，∴a→2+2λb→2+(2+λ)(a→⋅b→)>0，
，，，∴|a→|2+2λ|b→|2>0，∴3+2λ>0，∴λ>−32.
又与不共线，，，
且.
16. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由二倍角公式得出齐次式，求解即可；
（2）由两角差的正切公式求得，再根据两角和与差的正弦余弦公式将化为齐次式，代入求解即可．
【小问1详解】
，．
【小问2详解】
因为，
所以．
17. 已知向量.
（1）若与共线，，求的值；
（2）设函数，求的值域.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果；
（2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域.
【小问1详解】
与共线
即
【小问2详解】
所以当时单调递增，当时单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减
又
所以函数的值域为
18. 在等腰梯形中，为线段中点，与交于点.
（1）求的值；
（2）求的余弦值；
（3）求与的面积之比.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用基底表示即可；
（2）先用模长公式求出和，再利用向量的夹角公式求解；
（3）设，再利用基底表示，再利用三点共线得出系数和为1，即可求出，进而求出，将面积之比转化为线段之比即可.
【小问1详解】
取线段的中点，连接，
因，则四边形为边长为2的菱形，
又，则为等边三角形.
则
【小问2详解】
，
所以.
【小问3详解】
设，因为为线段的中点，所以
因为三点共线，所以即
因为，所以，
又因为，所以
因为，所以
19. 在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点.
（1）若，求；
（2）在（1）条件下，求的最大值；
（3）设，求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出.
（2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求最大值.
（3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值.
【小问1详解】
因为，
同理所以为的外心，，
因为，，所以.
【小问2详解】
设，
.
所以当时，最大值为.
【小问3详解】
设，，，，
两边同时平方得，，，
令，，
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为.