湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期1月期末考试试卷含解析

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期1月期末考试试卷含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果.
【详解】，
又，所以.
故选：B.
2. 已知，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式得，然后根据充分条件、必要条件的概念求解即可.
【详解】由得，故成立时，不一定成立，
比如，满足，但是，不满足；
反之当成立时，一定成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可.
【详解】对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误.
故选：C.
4. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得在上为减函数，比较的大小，结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，
则在上也是减函数，则在上为减函数，
.
所以，
所以.
故选：C
5. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：)
A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知数据先求出，可得，则由解出即可.
【详解】，，即，解得，
，则，
解得，则，
故累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为5天.
故选：D.
6. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（）
A. 9B. 6C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】问题化为在区间上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求参数范围.
【详解】关于x的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6.
故，可得.
故选：D
7. 在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角（）交单位圆于点A、顺时针旋转角（）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为，且的面积为，则点B的纵坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设得，，显然，利用三角形面积公式列方程得，进而得到并求，结合点B在第四象限即可得答案.
【详解】由题设，点A的纵坐标为，得，，显然，
而，即，
又，则，故，则，
所以，
又点B在第四象限，所以点B的纵坐标为.
故选：A
8. 若集合，，均有恒成立，则t的最大值为（）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先根据指数对数转化减少未知量得出，再根据函数的单调性得出不等关系即可求出最值.
【详解】令，，，，
，
单调递减，且，
当时，，，t的最大值为4.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知得，，确定的范围判断A；列方程组求解与的值，再求值，判断B与C；由两边平方，可得，化简，即可求值，判断D.
【详解】由，，
得，，则，故A正确；
，，，
则，
当时，联立，
解得，，则；
当时，联立，
解得，，则，故B、C错误；
由，两边平方可得，，
则，，故D正确.
故选：AD.
10. 若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（）
A. 当时，的最大值为18
B. 当时，的最小值为
C. 当时，ab的最小值为
D. 当时，的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式的变形，结合整体法逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】A，当时，，，，
当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确；
B，当时，，则，
所以，即，
当且仅当时，，有最小值，最小值为，选项B正确；
C，当时，，则，
当时，，
当且仅当时等号成立，此时，无解；
当时，，
当且仅当时等号成立，此时，
解得或，故ab有最小值为，选项C错误；
D，当时，，，
则，当且仅当或时等号成立，
有最小值，最小值为，选项D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数则下列说法正确的是（）
A. 函数有3个零点
B. 关于x方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可.
【详解】当时，，当时，，
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
当时，则，，
依次类推，可得函数解析式，作出函数的大致图象如图所示，
对于A，由，得，
令，由图象可知与的图象只有3个交点，
所以函数有3个零点，所以A正确，
对于B，当时，，即，由图象可知与图象只有3个交点，
所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误，
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，
由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确，
对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，
当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，
当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……，
当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】问题化为时能成立，结合指数函数的性质求参数范围.
【详解】由题设命题为真命题，即时能成立，故能成立，
所以.
故答案为：
13. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性可知，外层函数是增函数，结合对任意的，恒成立，根据这两个条件可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为且，则内层函数在上为减函数，
由于函数且在区间上单调递减，
则外层函数是增函数，则，
且对任意的，恒成立，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.
【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设，且，
即为等腰三角形，，且，
取AC中点M，连接BM，
则，，
由，得，
得，得，得，
则，
即A点纵坐标为1，，，
因为，所以，解得，
即，解得，所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可得，再由齐次式求的值；
（2）由，求得，再根据可求的值.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
由，为锐角，则，而，
则，于是得，
所以.
16. 已知函数，，.
（1）当，且时，解关于x的不等式；
（2）若，，，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）解含参数的一元二次不等式，分、和求解即可；
（2）代入，再变形为，结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，；
当时，即时，；
当时，即时，不等式无解；
当时，即时，，
综上，时，解集为；
时，解集为；时，解集为.
【小问2详解】
由，，
当且仅当时，取到等号，，
由于，，解得，
当且仅当时，取到等号，故的最小值为.
17. 设函数.
（1）当时，求方程的实数解；
（2）当时，
（ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）根据已知有，应用绝对值方程解法及指数函数性质求解即可；
（2）根据指数函数性质及解析式判断单调性，（ⅰ）利用函数单调性，将问题化为上，即可求参数范围；（ⅱ）求出两个函数在上的值域，将问题化为求参数范围.
【小问1详解】
当时，，由题意得，
所以或，解得或.
【小问2详解】
当时，，该函数在上单调递增.
（ⅰ）存在，使不等式成立，
即成立，即成立，从而，
又当时，，所以.
（ⅱ）当时，的值域为，
当时，的值域为，
根据题意，得，从而，解得.
故实数b的取值范围为.
18. 已知.
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围；
（3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值.
【答案】（1），.
（2）
（3）92
【解析】
【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解；
（2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算求对勾函数最值即可求解根；
（3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解．
【小问1详解】
.
令，，则，，
故的单调递增区间为，.
【小问2详解】
，即对任意的恒成立，
则对任意恒成立，
令，
因为，则，
由对勾函数的性质知在上单调递减，
又，所以，
则的最大值为，故.
【小问3详解】
令，
，，
令，又，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，的图象与直线共有6个交点，即，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问.
19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；
（2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性；
（3）已知，k为给定的正实数，若函数具有性质，求a的取值范围.
【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由见解析
（2）偶函数 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由性质的定义，代入计算，即可判断；
（2）根据题意，由性质的定义，即可得到，结合函数奇偶性的定义即可判断；
（3）根据题意，由性质的定义，列出不等式，结合对数函数的单调性以及运算，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
对任意，得，
所以具有性质；
对任意，得.
当时，，所以不具有性质.
【小问2详解】
设二次函数满足性质，则对任意，
满足.
当时，，此时b可以为任何实数；
当时，恒成立，所以，又，故.
综上所述，函数具有性质时，，
此时，即为偶函数.
【小问3详解】
由于，函数的定义域为，
易得，
若函数具有性质，则对于任意实数x，
有，
即，即，
由于函数在上单调递增，得，即，
当时，，由，得，
得，得，
由题意得对任意实数x恒成立，
所以即，所以a的取值范围为.